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2020 山东省高考压轴卷数学
一、选择题：本题共 8 道小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合 A={x︱x>－2}且 A∪B=A，则集合 B 可以是（ ）
A. {x︱x2>4 } B. {x︱ }
C. {y︱ } D. {－1,0,1,2,3}
2.若 （i 是虚数单位），则复数 z 的模为（ ）
A. B. C. D.
3.已知 ， ， ，则 a、b、c 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4.若对任意的正数 a，b 满足 ，则 的最小值为
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
5.如图，在四边形 ABCD 中， ， ， ， ，将 沿 BD
折起，使平面 平面 BCD 构成几何体 A-BCD，则在几何体 A-BCD 中，下列结论正确的是（ ）
A. 平面 ADC⊥平面 ABC B. 平面 ADC⊥平面 BDC
C. 平面 ABC⊥平面 BDC D. 平面 ABD⊥平面 ABC
6. 展开式的常数项为（）
A. 112 B. 48 C. -112 D. -48
7.已知 F 是双曲线 的一个焦点，点 P 在 C 上，O 为坐标原点，若 ，则
的面积为（ ）
2y x= +
2 2,y x x R= − ∈
( )22z i i− = −
1
2
1
3
1
4
1
5
4log 5a = 2log 3b = sin2c =
a b c< < c a b< <
b c a< < c b a< <
3 1 0a b+ − =
3 1
a b
+
AD BC∥ AD AB= 45BCD∠ = ° 90BAD∠ = ° ABD∆
ABD ⊥
( ) 5
2 11 2x x
− −
2 2
: 14 5
x yC - = =OP OF OPF△答案第 2 页，总 18 页
A. B. C. D.
8.已知函数 ，且实数 ，满足 ，若实数 是函数
的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
二．多项选择题：本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题的四个选项中，有多个符合题目
要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有错选的得 0 分。
9.已知函数 ，给出下面四个命题：①函数 的最小值为 ；②函数 有两个零
点；③若方程 有一解，则 ；④函数 的单调减区间为 .
则其中错误命题的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．已知点 是直线 上一定点，点 、 是圆 上的动点，若 的最
大值为 ，则点 的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．数列 的前 n 项和为 B．数列 的通项公式为
C．数列 为递增数列 D．数列 为递增数列
12．如图，梯形 中， ， ， ， ，将 沿对角线 折起.
设折起后点 的位置为 ，并且平面 平面 .给出下面四个命题正确的：()
A． B．三棱锥 的体积为
C． 平面 D．平面 平面
第 II 卷（非选择题）
3
2
5
2
7
2
9
2
2( ) 2 logxf x x= + 0a b c> > > ( ) ( ) ( ) 0f a f b f c < 0x ( )y f x=
0x a< 0x a> 0x b< 0x c<
( ) lnf x x x= ( )f x
1
e
− ( )f x
( )f x m= 0m ≥ ( )f x
1, e
−∞
A : 2 0l x y+ − = P Q 2 2 1x y+ = PAQ∠
90 A
( )0, 2 ( )1, 2 1− ( )2,0 ( )2 1,1−第 3 页，总 18 页
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.二项式 的展开式中，设“所有二项式系数和”为 A，“所有项的系数和”为 B，
“常数项”值为 C，若 ，则含 的项为_____．
14.已知△ABC 中， ， ，点 D 是 AC 的中点，M 是边 BC 上一点，则 的
最小值是（ ）
A. B. －1 C. －2 D.
15.已知点 为抛物线 的焦点，则点 坐标为______；若双曲线 （ ）的一个
焦点与点 重合，则该双曲线的渐近线方程是____．
16.每项为正整数的数列{an}满足 ，且 ，数列{an}的前 6 项和的最大值为
S，记 的所有可能取值的和为 T，则 _______.
四、解答题.本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本小题 10 分)
在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，满足 .
（1）求角 A 的大小；
（2）若 ， ，求△ABC 的面积.
18.（本小题 12 分）
设数列{an}满足 ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 Sn．
19. （本小题 12 分）如图 1，在 Rt△PDC 中， ，A、B、E 分别是 PD、PC、CD 中点，
， .现将 沿 AB 折起，如图 2 所示，使二面角 为 120°，F 是 PC
的中点.
( )0 0
nbax a bx
+ > > ，
256 70A B C= = =， 6x
5AB AC= = 8BC = MC MD⋅
3
2
− 5
4
−
F 2 8y x= F
2 2
2 12
x y
a
− =
0a >
F
1
1 ,2
3 1,
n n
n
n n
a aa
a a
+
=
+
是偶数
是奇数 6 4a =
1a S T− =
(2 )cos cosb c A a C− =
13a = 5b c+ =
1 2 32 3 ... 2 (n N*)n
na a a na⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∈
12 2n
na
+ +
90D∠ = °
4PD = 2 2CD = PAB∆ P AB C- -答案第 4 页，总 18 页
（1）求证：面 PCD⊥面 PBC；
（2）求直线 PB 与平面 PCD 所成的角的正弦值.
20. （本小题 12 分）
五一劳动节放假，某商场进行一次大型抽奖活动.在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各
2 个，分别对应 1 分、2 分、3 分、4 分、5 分、6 分.从袋中任取 3 个小球，按 3 个小球中最大得分的 8
倍计分，计分在 20 分到 35 分之间即为中奖.每个小球被取出的可能性都相等，用 表示取出的 3 个小
球中最大得分，求：
（1）取出的 3 个小球颜色互不相同的概率；
（2）随机变量 的概率分布和数学期望；
（3）求某人抽奖一次，中奖的概率.
21. （本小题 12 分）
已知椭圆 过点 ，右焦点 F 是抛物线 的焦点.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）已知动直线 过右焦点 F，且与椭圆 C 分别交于 M，N 两点.试问 x 轴上是否存在定点 Q，使得
恒成立?若存在求出点 Q 的坐标:若不存在，说明理由.
22. （本小题 12 分）
已知函数 .
(I)当 a=2 时,求曲线 在点 处的切线方程；
(II)设函数 ,讨论 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
ξ
ξ
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > ( )2 3, 3− 2 8y x=
l
135
16QM QN⋅ = −
( ) 3 21 1 ,3 2f x x ax a= − ∈R
( )y f x= ( )( )3, 3f
( ) ( ) ( )cos sing x f x x a x x= + − − ( )g x第 5 页，总 18 页
2020 山东省高考压轴卷数学 Word 版含解析
参考答案
1. 【答案】D
【解析】
A、B={x|x＞2 或 x＜-2}，
∵集合 A={x|x＞-2}，
∴A∪B={x|x≠-2}≠A，不合题意；
B、B={x|x≥-2}，
∵集合 A={x|x＞-2}，
∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合题意；
C、B={y|y≥-2}，
∵集合 A={x|x＞-2}，
∴A∪B={x|x≥-2}=B，不合题意；
D、若 B={-1，0，1，2，3}，
∵集合 A={x|x＞-2}，
∴A∪B={x|x＞-2}=A，与题意相符，
故选：D．
2. 【答案】D
【解析】
利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数 的模.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，故选：D.
3. 【答案】B
【解析】
因为 及 都是 上的增函数，故
， ，
又 ，故 ，选 B.
z
( )22z i i− = − ( )
( )
( )( )2 2
3 4 4 3
4 4 3 4 3 4 3 4 25 252
i ii i iz ii i i i ii
− +− − −= = = = = −− + − − +−
2 24 3 1
25 25 5z = + =
4logy x= 2logy x= ( )0, ∞+
4 4log 5 log 4 1 sin 2> = > 2 2log 3 log 2 1 sin 2> = >
4 2 2 2
1log 5 log 5 log 5 log 32
= = < c a b< > > f f f 0<
f f f
A B C
D
0x c<
f 0> f 0> f 0>
f f f 0<
D
( ) lnf x x x= ( ) 1 lnf x x′ = +
10 x e
< < ( ) 0f x′ < 1x e
> ( ) 0f x′ >
1x e
= ( )f x 1
e
−答案第 8 页，总 18 页
当 时， ，当 时， ，所以函数 有一个零点；
若方程 有一解，则 或 ，函数 的单调减区间为 .
故错误命题的序号是 ②③④
故选：BCD
10．【答案】AC
【解析】
如下图所示：
原点到直线 的距离为 ，则直线 与圆 相切，
由图可知，当 、 均为圆 的切线时， 取得最大值，
连接 、 ，由于 的最大值为 ，且 ， ，
则四边形 为正方形，所以 ，
由两点间的距离公式得 ，
0x → ( ) 0f x → x → +∞ ( )f x → +∞ ( )f x
( )f x m= 0m ≥ 1m e
= − ( )f x 10, e
l 2 2
2 1
1 1
d = =
+ l 2 2 1x y+ =
AP AQ 2 2 1x y+ = PAQ∠
OP OQ PAQ∠ 90 90APO AQO∠ = ∠ = 1OP OQ= =
APOQ 2 2OA OP= =
( )22 2 2OA t t= + − =第 9 页，总 18 页
整理得 ，解得 或 ，因此，点 的坐标为 或 .
故选：AC.
11．【答案】AD
【解析】
因此数列 为以 为首项， 为公差的等差数列，也是递增数列，即 D 正确；
所以 ，即 A 正确；
当 时
所以 ，即 B，C 不正确；
故选：AD
12．【答案】CD
【解析】
如图所示： 为 中点，连接
， ， 得到
又 故 为等腰直角三角形
平面 平面 ， ，所以 平面 ，所以 C 正确
为 中点， 则 平面 所以
如果 ，则可得到 平面 ，故 与已知矛盾.故 A 错误
三棱锥 的体积为 .故 B 错误
在直角三角形 中，
在三角形 中， 满足
又 所以 平面 ，所以平面 平面 ，故 D 正确
22 2 2 0t t− = 0t = 2 A ( )0, 2 ( )2,0答案第 10 页，总 18 页
综上所述：答案为 CD
13. 【答案】
【解析】
依题得 ，所以 n=8，在 的展开式中令 x=1，则有 ，所以 a+b=2，又
因为 展开式的通项公式为 ，令 .
所以得到 （舍），当 时，由 得 .所以令
，所以 ，故填 .
14. 【答案】-1
【解析】
根据题意，建立图示直角坐标系， ， ，则 ， ， ，
．设 ，则 ，
68x
2 256n =
nbax x
+
( )8 256a b+ =
nbax x
+
( ) ( )8 8 8 2
1 8 8
r
r rr r r r
r
bT C ax C a b xx
− − −
+
= = 8 2 0 4r r− = ⇒ =
4 4 4
8 70 1, 1C a b ab ab= ⇒ = = − 1ab = 2a b+ = 1a b= =
8 2 6 1r r− = ⇒ = 1 6 6
2 8 8T C x x= = 68x
5AB AC= = 8BC = (0,3)A ( 4,0)B − (4,0)C
3(2, )2D ( ,0)M x (4 ,0)MC x= − 3(2 , )2MD x= −
2 2· (4 )(2 ) 6 8 ( 3) 1MC MD x x x x x= − − = − + = − − 第 11 页，总 18 页
是边 上一点， 当 时， 取得最小值－1．
15. 【答案】
【解析】
因为点 为抛物线 的焦点，2p=8，p=4
双曲线 （ ）的一个焦点与点 重合，
渐近线方程为：
故答案为 ，
16. 【答案】62
【解析】
由数列 每项均为正整数，则采用逆推的方式可得下图：
又前 6 项和所有可能的结果中最大值为：
本题正确结果：62
M BC ∴ 3x = ·MC MD
(2,0) y x= ±
F 2 8y x=
(2,0)F∴
2 2
2 12
x y
a
− = 0a > F
2 2 4, 2a a+ = =
∴ y x= ±
( )2,0 y x= ±
{ }na
128 21 20 3 16 2 190T∴ = + + + + + =
4 8 16 32 64 128 252+ + + + + = 252S∴ =
252 190 62S T∴ − = − =答案第 12 页，总 18 页
17. 【答案】(1) ；(2) .
【解析】
（1）利用正弦定理边化角，求得 ，所以 ；（2）利用余弦定理，得 ，所以
。
试题解析：
（1）△ABC 中，由条件及正弦定理得 ，
∴ .
∵ ， ，
∵ ，∴ .
（2）∵ ， ，
由余弦定理得
，
∴ .
∴ .
18. 【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）在 中，将 代 得：
，由两式作商得： ，问题得解。
（2）利用（1）中结果求得 ，分组求和，再利用等差数列前 项和公式及乘公比错位相
减法分别求和即可得解。
【详解】（1）由 n＝1 得 ，
因为 ，
当 n≥2 时， ，
3A
π= 3
2cos 1A =
3A
π= 4bc =
1 sinA 32ABCS bc= =
( )2sin sin cos sin cosCB C A A− =
2sin cos sin cos sin cos sinB A C A A C B= + =
sin 0B ≠ 2cos 1A∴ =
( )0,A π∈
3A
π=
13a = 5b c+ =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
( )2 2 2 cos 3b c bc bc
π= + − −
25 3 13bc= − =
25 13 43bc
−= =
1 1sinA 4 sin 32 2 3ABCS bc
π= = ⋅ ⋅ =
2
na n
= ( ) ( )1 11 2 22
n n nn + +− ⋅ + +
( )1 2 32 3 ... 2 n N *n
na a a na⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∈ 1n − n
( ) ( )1
1 2 3 12 3 ... 1 2 n 2n
na a a n a −
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ≥ 2
na n
=
b n n 2n
a= + ⋅ n
1a = 2
( )1 2 32 3 ... 2 n N *n
na a a na⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∈
( ) ( )1
1 2 3 12 3 ... 1 2 n 2n
na a a n a −
−⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = ≥第 13 页，总 18 页
由两式作商得： （n＞1 且 n∈N*），
又因为 符合上式，
所以 （n∈N*）．
（2）设 ，
则 bn＝n＋n·2n，
所以 Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝（1＋2＋…＋n）＋
设 Tn＝2＋2·22＋3·23＋…+（n－1）·2n－1＋n·2n，①
所以 2Tn＝22＋2·23＋…（n－2）·2n－1＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，②
①－②得：－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1，
所以 Tn＝（n－1）·2n＋1＋2．
所以 ，
即 ．
19. 【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）证明 面 得到面 面 .
（2）先判断 为直线 与平面 所成的角，再计算其正弦值.
【详解】（1）证明：法一：由已知得： 且 ， ，∴ 面 .
∵ ，∴ 面 .
∵ 面 ，∴ ，又∵ ，∴ ，
∵ ， ，∴ 面 .
面 ，∴ .
又∵ 且 是 中点，∴ ，∴ ，∴ 面 .
∵ 面 ，∴面 面 .
法二：同法一得 面 .
又∵ ， 面 ， 面 ，∴ 面 .
同理 面 ， ， 面 ， 面 .
2
na n
=
1a = 2
2
na n
=
12 2n
n
n
b a
++=
2 3 12 2 2 3 2 ( 1)2 2n nn n− + ⋅ + ⋅ + + − + ⋅
( )1
2n n
n nS T
+= +
( ) ( )1 11 2 22
n
n
n nS n + += − ⋅ + +
6
6
BF ⊥ PCD PCD ⊥ PBC
BPC∠ PB PCD
AB PA⊥ AB AD⊥ PA AD A∩ = AB ⊥ PAD
AB CD∥ CD ⊥ PAD
PD ⊂ PAD CD PD⊥ / /EF PD CD EF⊥
CD BE⊥ BE EB E= CD ⊥ BEF
BF ⊂ BEF CD BF⊥
PB BC= F PC PC BF⊥ PC CD C= BF ⊥ PCD
BF ⊂ PBC PBC ⊥ PCD
CD ⊥ PAD
/ /BE AD AD ⊂ PAD BE ⊄ PAD / /BE PAD
/ /EF PAD BE EF E= BE ⊂ BEF EF ⊂ BEF答案第 14 页，总 18 页
∴面 面 .
∴ 面 ， 面 ，∴ .
又∵ 且 是 中点，∴ ，∴ ，∴ 面 .
∵ 面 ，∴面 面 .
（2）由（1）知 面 ，∴ 为直线 在平面 上的射影.
∴ 为直线 与平面 所成的角，
∵ 且 ，∴二面角 的平面角是 .
∵ ，∴ ，∴ .
又∵ 面 ，∴ .在 中， .
在 中， .
∴在 中， .
20. 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 （3）
【解析】
（1）设事件 表示“取出的 3 个小球上的颜色互不相同”，利用古典概型、排列组合能求出取出的 3 个小
球颜色互不相同的概率；（2）由题意得 有可能的取值为：2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由
此能求出随机变量的概率分布列和数学期望；（3）设事件 C 表示“某人抽奖一次，中奖”，则
，由此能求出结果.
【详解】（1） “一次取出的 3 个小球上的颜色互不相同”的事件记为 ，
则
（2）由题意 有可能的取值为：2，3，4，5，6
；
；
；
/ /PAD BEF
CD ⊥ BEF BF ⊂ BEF CD BF⊥
PB BC= F PC PC BF⊥ PC CD C= BF ⊥ PCD
BF ⊂ PBC PBC ⊥ PCD
BF ⊥ PCD PF PB PCD
BPC∠ PB PCD
AB PA⊥ AB AD⊥ P AB C- - PAD∠
2PA AD= = 2 3PD = 1 32EF PD= =
BF ⊥ PCD BF EF⊥ Rt BFE∆ 2 2 1BF BE EF= − =
Rt PDC∆ 2 2 2 6PC PD CD= + =
Rt PFB∆ 6sin 6
BFBPC PB
∠ = =
8
11
56
11
13
55
A
ξ
( ) ( 3 4) ( 3) ( 4)P C P P Pξ ξ ξ ξ= = = = = + =或
A
3 1 1 1
6 2 2 2
3
12
8( ) 11
C C C CP A C
⋅ ⋅ ⋅= =
ξ
2 1 1 2
2 2 2 2
3
12
1( 2) 55
C C C CP C
ξ ⋅ + ⋅= = =
2 1 1 2
4 2 4 2
3
12
4( 3) 55
C C C CP C
ξ ⋅ + ⋅= = =
2 1 1 2
6 2 6 2
3
12
9( 4) 55
C C C CP C
ξ ⋅ + ⋅= = =第 15 页，总 18 页
；
所以随机变量 的概率分布为
2 3 4 5 6
因此 的数学期望为
（3）“某人抽奖一次，中奖”的事件为 ，则
21. 【答案】(1) (2)见解析
【解析】
(1) 由椭圆 过点 ，得 ，由抛物线的焦点为 ，得 ，利用
即可求解 a 则方程可求；（2）假设在 轴上存在定点 ，当直线 的斜率不存在
时，由 ，解得 或 ；当直线 的斜率为 0 时，由
，解得 或 ，可得 ，得点 的坐标为 .再证
明当 时 恒成立. 设直线 的斜率存在且不为 0 时，其方程为
，与椭圆联立消去 y 得韦达定理,向量坐标化得
整理代入韦达定理即可
【详解】（1）因为椭圆 过点 ，所以 ，
又抛物线的焦点为 ，所以 .
所以 ，解得 （舍去）或 .
2 1 1 2
8 2 8 2
3
12
16( 5) 55
C C C CP C
ξ ⋅ + ⋅= = =
2 1 1 2
10 2 10 2
3
12
5( 6) 11
C C C CP C
ξ ⋅ + ⋅= = =
ξ
ξ
P 1
55
4
55
9
55
16
55
5
11
ξ 1 4 9 16 5 56( ) 2 3 4 5 655 55 55 55 11 11E ξ = × + × + × + × + × =
C
4 9 13( ) ( 3 4) ( 3) ( 4) 55 55 55P C P P Pξ ξ ξ ξ= = = = = + = = + =或
2 2
116 12
x y+ =
C (2 3, 3)− 2 2
12 3 1a b
+ = ( )2,0 2c =
2 2
12 3 14a a
+ =− x ( ,0)Q m l
2 135(2 ) 9 16QM QN m⋅ = − − = − 5
4m = 11
4m = l
2 13516 16QM QN m⋅ = − = − 11
4m = − 11
4m = 11
4m = Q 11,04
11
4m = 135
16QM QN⋅ = − l
( 2)( 0)y k x k= − ≠
1 1 2 2
11 11, ,4 4QM QN x y x y • = − • −
C (2 3, 3)− 2 2
12 3 1a b
+ =
( )2,0 2c =
2 2
12 3 14a a
+ =−
2 3a = 2 16a =答案第 16 页，总 18 页
所以椭圆 的方程为 .
（2）假设在 轴上存在定点 ，使得 .
①当直线 的斜率不存在时，则 ， ， ， ，
由 ，解得 或 ；
②当直线 的斜率为 0 时，则 ， ， ， ，
由 ，解得 或 .
由①②可得 ，即点 的坐标为 .
下面证明当 时， 恒成立.
当直线 的斜率不存在或斜率为 0 时，由①②知结论成立.
当直线 的斜率存在且不为 0 时，设其方程为 ， ， .直线与椭
圆联立得 ，
直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且 ， .
，
所以
恒成立
综上所述，在 轴上存在点 ，使得 恒成立.
22. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析．
【解析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由
,通过讨论确定 的单调性,再由单调性确定极值.
C
2 2
116 12
x y+ =
x ( ,0)Q m 135
16QM QN⋅ = −
l (2,3)M (2, 3)N − (2 ,3)QM m= − (2 , 3)QN m= − −
2 135(2 ) 9 16QM QN m⋅ = − − = − 5
4m = 11
4m =
l ( 4,0)M − (4,0)N ( 4 ,0)QM m= − − (4 ,0)QN m= −
2 13516 16QM QN m⋅ = − = − 11
4m = − 11
4m =
11
4m = Q 11,04
11
4m = 135
16QM QN⋅ = −
l
l ( 2)( 0)y k x k= − ≠ ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
( ) ( )2 2 2 23 4 16 16 3 0k x k x k+ − + − =
2
1 2 2
16
4 3
kx x k
+ = +
( )2
1 2 2
16 3
4 3
k
x x k
−
= +
( ) ( ) ( )2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4y y k x k x k x x k x x k= − • − = − + +
( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2
11 11 11 121, ,4 4 4 16QM QN x y x y x x x x y y • = − • − = − + + +
( ) ( ) ( ) ( )2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 2
16 311 121 11 16 1211 2 4 1 2 44 16 4 3 4 4 3 16
k kk x x k x x k k k kk k
− = + − + + + + = + − + + + = + +
135
16
−
x 11,04Q
135
16QM QN⋅ = −
3 9 0x y− − =
( ) ( )( sin )g x x a x x= −′ − ( )g x第 17 页，总 18 页
试题解析：（Ⅰ）由题意 ，
所以，当 时， ， ，
所以 ，
因此，曲线 在点 处的切线方程是 ，
即 .
（Ⅱ）因为 ，
所以 ，
，
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以，当 时， ；当 时， .
（1）当 时， ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
所以当 时 取到极大值，极大值是 ，
当 时 取到极小值，极小值是 .
（2）当 时， ，
当 时， ， 单调递增；
所以 在 上单调递增， 无极大值也无极小值.
2( )f x x ax= −′
2a = (3) 0f = 2( ) 2f x x x= −′
(3) 3f ′ =
( )y f x= (3, (3))f 3( 3)y x= −
3 9 0x y− − =
( ) ( ) ( )cos sing f x ax x x x= + − −
( ) ( ) cos ( )sin cosg x f x x x a x x′ ′= + − − −
( ) ( )sinx x a x a x= − − −
( )( sin )x a x x= − −
( ) sinh x x x= −
( ) 1 cos 0h x x′ = − ≥
( )h x R
(0) 0h =
0x > ( ) 0h x > 0x < ( ) 0h x <
0a < ( ) ( )( sin )g x a xx x′ = − −
( , )x a∈ −∞ 0x a− < ( ) 0g x′ > ( )g x
( ,0)x a∈ 0x a− > ( ) 0g x′ < ( )g x
(0, )x∈ +∞ 0x a− > ( ) 0g x′ > ( )g x
x a= ( )g x 31( ) sin6g a a a= − −
0x = ( )g x (0)g a= −
0a = ( ) ( sin )g x x x x′ = −
( , )x∈ −∞ +∞ ( ) 0g x′ ≥ ( )g x
( )g x ( , )−∞ +∞ ( )g x答案第 18 页，总 18 页
（3）当 时， ，
当 时， ， ， 单调递增；
当 时， ， ， 单调递减；
当 时， ， ， 单调递增.
所以当 时 取到极大值，极大值是 ；
当 时 取到极小值，极小值是 .
综上所述：
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数既有极大值，又有极
小值，极大值是 ，极小值是 ；
当 时，函数 在 上单调递增，无极值；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数既有极大值，又有
极小值，极大值是 ，极小值是 .
0a > ( ) ( )( sin )g x a xx x′ = − −
( , 0)x ∈ −∞ 0x a− < ( ) 0g x′ > ( )g x
(0, )x a∈ 0x a− < ( ) 0g x′ < ( )g x
( , )x a∈ +∞ 0x a− > ( ) 0g x′ > ( )g x
0x = ( )g x (0)g a= −
x a= ( )g x 31( ) sin6g a a a= − −
0a < ( )g x ( , )a−∞ (0, )+∞ ( ,0)a
31( ) sin6g a a a= − − (0)g a= −
0a = ( )g x ( , )−∞ +∞
0a > ( )g x ( ,0)−∞ ( , )a +∞ (0, )a
(0)g a= − 31( ) sin6g a a a= − −
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