绝密★启封前
2020 上海市高考压轴卷
数 学
一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考
生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一
律得零分．
1．若集合 ， ，则 =________.
2．函数 的定义域是______.
3．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 ________.
4．设数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ，都有 ，则 ___
5．从总体中抽取 6 个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________.
6．已知双曲线与椭圆 有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为 ，则
此双曲线方程为_________
7．已知函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是
______.
8．计算： _________.
9．某微信群中四人同时抢 个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一
个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为 _____.
10．向量集合 ,对于任意 ,以及任意 ,都有
,则称 为“ 类集”,现有四个命题:
①若 为“ 类集”,则集合 也是“ 类集”;
②若 , 都是“ 类集”,则集合 也是“ 类集”;
{ }| 1,A x y x x R= = − ∈ { }| 1,B x x x R= ≤ ∈ A B
( )29 lg 2cos2 1y x x= − + −
i z 1
1
z iz
− =+ z
{ }na n nS n
0 1
0 1 1 0
1 2
n
n
a
n S
−
=
−
1a =
2 2
116 6
x y+ = 1
2y x= ±
( ) 2 2 3f x x ax= − + + ( ),4−∞ a
1
3 ( 2)lim 3 2
n n
n nn +→∞
− − =+
3
( ){ }, , ,S a a x y x y R= = ∈ , Sα β ∈ ( )0,1λ ∈
( )1 Sλα λ β+ − ∈ S C
S C { },M a a S Rµ µ= ∈ ∈ C
S T C { },M a b a S b T= + ∈ ∈ C③若 都是“ 类集”,则 也是“ 类集”;
④若 都是“ 类集”,且交集非空,则 也是“ 类集”.
其中正确的命题有________(填所有正确命题的序号)
11．已知 、 、 是平面内三个单位向量，若 ，则 的最小
值是________
12．已知数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ，
设 ，若在数列 中， 对任意 恒成立，则实数 的取值
范围是_____;
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须
在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
13．在直三棱柱 中，己知 ， ， ，则异面
直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
14．已知函数 ，若函数 的所有零点依
次记为 ，且 ，则 ( )
A． B． C． D．
15．若实数 x，y 满足 ，则 的最大值是（ ）
A．9 B．12 C．3 D．6
16．对于全集 的子集 定义函数 为 的特征函数,设 为全集
的子集,下列结论中错误的是( )
A．若 则 B．
C． D．
1 2,A A C 1 2A A∪ C
1 2,A A C 1 2A A∩ C
a b 2c a b⊥ 4 2 3 2a c a b c+ + + −
{ }na 52 n
na −= { }nb nb n k= +
,( )
,( )
n n n
n
n n n
b a bc a a b
≤= >
{ }nc 5 nc c≤ *n N∈ k
1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 2CC =
1AC 1 1A B
30° 45° 60° 90°
( ) 3sin 2 ,6f x x
π = +
130, 6x π ∈ ( ) ( ) 2F x f x= −
1,x 2 ,x ,⋅⋅⋅
nx 1 2 nx x x< < ⋅⋅⋅ < 1 2 12 2 n nx x x x−+ +⋅⋅⋅+ + =
2π 11
3
π 4π 22
3
π
2
2 2 0
1
y x
x y
y
≤
+ − ≤
≥ −
2z x y= −
U A ( ) ( )
( )
1
0A
U
x Af x x A
∈= ∈
A ,A B
U
,A B⊆ ( ) ( )A Bf x f x≤ ( ) ( )1R A Af x f x= −
( ) ( ) ( )A B A Bf x f x f x= ⋅
( ) ( ) ( )A B A Bf x f x f x= +
三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的
规定区域内写出必要的步骤．
17．正四棱锥 的底面正方形边长是 3， 是在底面上的射影， ， 是
上的一点，过 且与 、 都平行的截面为五边形 ．
（1）在图中作出截面 ，并写出作图过程；
（2）求该截面面积的最大值．
18．在 中，内角 所对的边长分别是 .
（1）若 ，且 的面积 ，求 的值；
（2）若 ，试判断 的形状.
19．如图所示，某街道居委会拟在 地段的居民楼正南方向的空白地段 上建一个活动
中心，其中 米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图
的下部分是长方形 ，上部分是以 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要
求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长 不超过 2.5 米，其中
该太阳光线与水平线的夹角 满足 .
（1）若设计 米， 米，问能否保证上述采光要求？
（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计 与 的长度，可使得活动中心的截面
面积最大？（注：计算中 取 3）
P ABCD− O 6PO = Q
AC Q PA BD EFGHL
EFGHL
ABC , ,A B C , ,a b c
2, 3c C
π= = ABC 3S = ,a b
( ) ( )sin sin sin 2A B B A A+ + − = ABC
EF AE
30AE =
ABCD DC
GE
θ 3tan 4
θ =
18AB = 6AD =
AB AD
π20．已知椭圆 C： 经过定点 ，其左右集点分别为 ，
且 ，过右焦 且与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圈交于 P，Q 两点.
（1）求椭圆 C 的方程：
（2）若 O 为坐标原点，在线段 上是否存在点 ，使得以 ， 为邻边的
平行四边形是菱形？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
21．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，设
， .
（Ⅰ）求证：数列 是等比数列；
（Ⅱ）若 ， ，求实数 的最小值；
（Ⅲ）当 时，给出一个新数列 ，其中 ，设这个新数列的前 项和
为 ，若 可以写成 （ ， 且 ， ）的形式，则称 为“指数型和”.问
中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 21, 2E
1F 2F
1 2 2 2EF EF+ = 2F
2OF ( ,0)M m MP MQ
{ }na n nS ( )1 3a a a= ≠ 1 3n
n na S+ = +
3n
n nb S= − *n∈N
{ }nb
1n na a+ ≥ *n∈N a
4a = { }ne 3, 1
, 2n
n
ne b n
== ≥
n
nC nC pt t *p∈ N 1t > 1p > nC
{ }nC参考答案及解析
1．【答案】
【解析】
由 中 ，得到 ，
解得： ，即 ，
由 中不等式变形得： ，即 ，
则 ，
故答案为： ．
2．【答案】
【解析】
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 或 .
故答案为：
3．【答案】1
【解析】
因为 ，所以 ，则 .
{ }1
A 1y x= − 1 0x −
1x { | 1}A x x=
B 1 1x− { | 1 1}B x x= −
{1}A B∩ =
{1}
5 53, , ,36 6 6 6
π π π π − − −
( )29 lg 2cos2 1y x x= − + −
29 0
2cos2 1 0
x
x
− ≥
− >
3 3
1cos2 2
x
x
− ≤ ≤ >
3 3
,6 6
x
k x k k Z
π ππ π
− ≤ ≤ − < < + ∈
53 6x
π− ≤ < −
6 6x
π π− < < 5 36 x
π < ≤
5 53, , ,36 6 6 6
π π π π − − −
1
1
z iz
− =+
21 (1 )1 (1 ) 1 (1 )(1 )
i iz z i z ii i i
− −− = + ⇒ = = = −+ + −
2 2| | 0 ( 1) 1z = + − =故答案为：1.
4．【答案】
【解析】
由 ，令 ，
得 ，解得 。
5．【答案】
【解析】
6 个样本的平均数 ，所以方差
.
故答案为：
6．【答案】
【解析】
的焦点为：
双曲线的渐进线方程为 ，则设双曲线方程为： ，焦点为
故 ，双曲线方程为
故答案为：
7．【答案】
【解析】
对称轴方程为 ，
在区间 上是增函数，所以 .
1−
0 1 1 1 0 10 1 1 ( 2 ) 1 02 1 21 2
n
n n n
n
n
a
a a S nn S nn S
−
= − = + + =− −−
1n =
1 1( 2) 1 0a a + + = 1 1a = −
13
3
4 5 6 10 7 4 66x
+ + + + += =
2 2 2 2 2 2 21[(4 6) (5 6) (6 6) (10 6) (7 6) (4 6) ]6s = − + − + − + − + − + −
26 13
6 3
= =
13
3
2 2
18 2
x y− =
2 2
116 6
x y+ = ( )10,0±
1
2y x= ± 2 2
2 2 14
x y
b b
− = ( )10,0±
2 2 24 10 2b b b+ = ∴ =
2 2
18 2
x y− =
2 2
18 2
x y− =
[ )4,+∞
( ) 2 2 3f x x ax= − + + x a=
( )f x ( ),4−∞ 4a ≥故答案为: .
8．【答案】
【解析】
.
故答案为： .
9．【答案】
【解析】
某微信群中四人同时抢 个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多抢一个，
则基本事件总数 ，
其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数 ，
∴其中甲、乙都抢到红包的概率 ．
故答案为： .
10．【答案】①②④
【解析】
集合 ,对于任意 ,
且任意 ,都有
可以把这个“ 类集”理解成,任意两个 中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在
上,因此可以理解它的图象成直线
对于①, ,向量 整体 倍,还是表示的是直线,故①正确;
对于②,因为 , 都是“ 类集”,故 还是表示的是直线,故②正确;
对于③,因为 都是“ 类集”,可得 是表示两条直线,故③错误;
[ )4,+∞
1
3
1
1 1 2 1 03 ( 2) 13 3 3 3lim lim3 2 1 0 31 21 3 3
n
n n
nn nn n+→∞ →∞
− ⋅ − − − − = = =+ + + ⋅
1
3
1
2
3
3
4n A=
2 2 1
3 2 2m C A A=
2 2 1
3 2 2
3
4
3 2 2 1
4 3 2 2
mp A
An
C A × ×= = = =× ×
1
2
( ){ }, , ,S a a x y x y R= = ∈ , Sα β ∈
( )0,1λ ∈ ( )1 Sλα λ β+ − ∈
∴ C S
S
{ },M a a S Rµ µ= ∈ ∈ a µ
S T C { },M a b a S b T= + ∈ ∈
1 2,A A C 1 2A A∪对于④, 都是“ 类集”,且交集非空,可得 表示一个点或者两直线共线时还是一
条直线.
综上所述,正确的是①②④.
故答案为:①②④.
11．【答案】
【解析】
令 ，设 ， ， 对应的点 在单位圆上，
所以问题转化为求 的最小值.
因为 ，所以 ，
所以 ，
表示 点到点 和 的距离之和，
过点 和 的直线为 ，
原点到直线 的距离为 ，所以与单位圆相交，
所以 的最小值为：点 和 之间的距离，即 .
故答案为： .
12．【答案】 .
【解析】
连接 ， ，如图：
1 2,A A C 1 2A A∩
4 5
2c e= (1,0)a = (0,1)b = e C
| 2 | | 6 4 |a e a b e+ + + −
2 22 2( 2 ) (2 ) 3 3 0a e a e e a+ − + = − = | 2 | | 2 |a e a e+ = +
2 2 2 2| 6 4 | ( )| (2 2) 6 ( 4)|a e ya b e x x y+ + − = + + + −+ + −
C ( 2,0)− (6,4)
( 2,0)− (6,4) 2 2 0x y- + =
2 2 0x y- + = 2
1
1 ( 2)
2 2
5
= <
+ −
| 2 | | 6 4 |a e a b e+ + + − ( 2,0)− (6,4) 4 5
4 5
[ ]5, 3− −
1AC 1BC又 ，则 为异面直线 与 所成的角.
因为 且三棱柱为直三棱柱，∴ ∴ 面 ，
∴ ，
又 ， ，∴ ，
∴ ，解得 .
故选 C
14．【答案】D
【解析】
令 得 ，
即 的对称轴方程为 .
的最小正周期为 ，
在 上有 5 条对称轴，
第一条是 ，最后一条是： ；
关于 对称， 关于 对称… 关于 对称
，
将以上各式相加得：
.
故选：D.
15. 【答案】A
【解析】
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：
1 1AB A B 1BAC∠ 1AC 1 1A B
AB BC⊥ ， 1AB CC⊥ ， AB ⊥ 1 1BCC B
1AB BC⊥
2AB BC= = 1 2 2CC = ( )2 2
1 2 2 2 2 3BC = + =
1tan 3BAC∠ = 1 60BAC∠ = °
2 6 2x k
π π π+ = + ,6 2
kx
π π= + k ∈Z
( )f x k ,6 2x
π π= + k ∈Z
( )f x ,T π= 130, 6x
π ∈
( )f x∴ 130, 6x
π ∈
6
π 13
6
π
1,x 2x 6
π
2 ,x 3x 4
6
π
4 ,x 5x 10
6
π
1 2 2 ,6x x
π∴ + = × 2 3
42 ,6x x
π+ = × 3 4
72 ,6x x
π+ = × ,⋅⋅⋅
4 5
102 6x x
π+ = ×
1 2 3 1
4 7 10 222 2 2 2 6 6 6 6 3n nx x x x x
π π π π π
−
+ + +…+ + = × + + + = 由 得 ，
平移直线 ，
由图像可知当直线 经过点 时，
直线 的截距最小，
此时 最大，
由 ，解得 ，即 ，
.
故选：A
16．【答案】D
【解析】
对于 A, ,
分类讨论：
①当 ,则 此时
②当 且 ,即 ,此时 ，
2z x y= − 2y x z= −
2y x z= −
2y x z= − A
2y x z= −
z
1
2 2 0
y
x y
= −
+ − =
4
1
x
y
=
= −
( )4, 1−A
max 2 4 1 9z = × + =
( ) ( )
( )
1
0A
U
x Af x x A
∈= ∈
A B⊆
x A∈ ,x B∈ ( ) ( ) 1A Bf x f x= =
x A∉ x B∉ Ux B∈ ( ) ( ) 0A Bf x f x= =③当 且 ,
即 时, ,此时
综合所述,有 ,故 A 正确;
对于 B , ,故(2)正确；
对于 C ,
,故 C 正确;
对于 D , ,故 D 错误.
故选:D.
17．【答案】（1）见解析；（2）9.
【解析】
（1）由题可知， 是 上的一点，过 且与 、 都平行的截面为五边形
，
过 作 ，交 于点 ，交 于点 ，
过 作 ，交 于点 ，
再过点 作 ，交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，
， ， ，
，
所以 共面， 平面 ，
， 平面 ，
x A∉ x B∈
( )Ux A B∈ ∩ ( ) 0, ( ) 1A Bf x f x= = ( ) ( )A Bf x f x≤
( ) ( )A Bf x f x≤
1,( ) 1 ( )0,AU
U
A
x Af x f xx A
∈= = − ∈
1,( ) 0, ( )A B
U
x A Bf x x C A B∩
∈ ∩= ∈ ∩
( )
1,
0, U U
x A B
x C A C B
∈ ∩= ∈ ∪
1, 1,
0, 0,U U
x A x B
x C A x C B
∈ ∈= ⋅ ∈ ∈
( ) ( )A Bf x f x= ⋅
0,( ) ( ) ( )1, ( )A B A B
U
x A Bf x f x f xx C A B∪
∈ ∪= ≠ + ∈ ∪
Q AC Q PA BD
EFGHL
Q / /EL BD AB E AD L
Q / /QG PA PC G
E / /EF PA PB F
L / /HL PA PD H , ,FG GH FH
/ /EF PA∴ / /HL PA / /GQ PA
/ / / /EF HL GQ∴
, , , ,E F G H L Q∈ EFGHL
/ /EL BD EL ⊂ EFGHL平面 ，同理 平面 .
所以过 且与 、 都平行的截面 如下图：
（2）由题意可知， 截面 ， 截面 ，
， ，
而 是在底面上的射影， ，
平面 ， ，
，且 ，
所以 平面 ，则 ，
，
又 ， 为正四棱锥，
，故 ，
于是 ，
因此截面 是由两个全等的直角梯形组成，
因 ，则 为等腰直角三角形，
设 ，则 ，
所以， ，
，同理得， ，
/ /BD∴ EFGHL / /PA EFGHL
Q PA BD EFGHL
/ /PA EFGHL / /BD EFGHL
/ / , / / , / /PA EF PA HL PA GQ∴ / / , / /BD EL BD FH
O 6PO =
PO∴ ⊥ ABCD BD AC⊥
PO BD∴ ⊥ AC BD O=
BD ⊥ PAC BD PA⊥
EF EL∴ ⊥
/ /FH BD P ABCD−
PH PF∴ = PFG PHG≅△ △
GF GH=
EFGHL
/ /EL BD AEL△
EQ x= QL x=
3 2
2
3 2
2
xEF BE OQ
PA BA OA
−
= = =
21 3EF x PA
∴ = −
21 6QG x PA
= − 又因为 ，
设截面 面积为 ，
所以 ，
即： ，
当且仅当 时， 有最大值为 9.
所以截面 的面积最大值为 9.
18．【答案】（1） ；（2）直角三角形或等腰三角形.
【解析】
（1）因为 ，又余弦定理可得： ，
即 ①
又 的面积 ，
所以 ，因此 ②；
由①②解得： ；
（2）因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 或 ，
因此 或 ，
所以 是直角三角形或等腰三角形.
19．【答案】（Ⅰ）能（Ⅱ） 米且 米
【解析】
如图，以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系．
（1）因为 AB＝18 米，AD＝6 米，
2 2 9 22PA PO OA= + =
EFGHL S
( ) 2 9 22 2 2S EF QG EQ x x
= + = − ⋅
( )229 99 2 2 92 2S x x x= − + = − − +
2x = S
EFGHL
2a b= =
2, 3c C
π= = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
2 2 4a b ab+ − =
ABC 3S =
1 sin 32 ab C = 4ab =
2a b= =
( ) ( )sin sin sin 2A B B A A+ + − =
sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cosA B A B B A B A A A+ + − =
cos sin sin cosA B A A=
cos 0A = sin sinA B=
2A
π= A B=
ABC
20AB = 5AD =所以半圆的圆心为 H(9,6)，半径 r＝9.
设太阳光线所在直线方程为 y＝－ x＋b，
即 3x＋4y－4b＝0，则由 ＝9，
解得 b＝24 或 b＝ (舍)．
故太阳光线所在直线方程为 y＝－ x＋24,
令 x＝30，得 EG＝1.5＜2.5.
所以此时能保证上述采光要求．
（2）设 AD＝h 米，AB＝2r 米，
则半圆的圆心为 H(r，h)，半径为 r.
方法一 设太阳光线所在直线方程为 y＝－ x＋b，
即 3x＋4y－4b＝0，
由 ＝r，解得 b＝h＋2r 或 b＝h－ (舍)．
故太阳光线所在直线方程为 y＝－ x＋h＋2r，
令 x＝30，得 EG＝2r＋h－ ，
由 EG≤ ，得 h≤25－2r.
所以 S＝2rh＋ πr2＝2rh＋ ×r2≤2r(25－2r)＋ ×r2
＝－ r2＋50r＝－ (r－10)2＋250≤250.
当且仅当 r＝10 时取等号．
所以当 AB＝20 米且 AD＝5 米时，
可使得活动中心的截面面积最大．
方法二 欲使活动中心内部空间尽可能大，
则影长 EG 恰为 2.5 米，则此时点 G 为(30,2.5)，
设过点 G 的上述太阳光线为 l1，
则 l1 所在直线方程为 y－ ＝－ (x－30)，
3
4
2 2
27+24-4b
3 +4
3
2
3
4
3
4
2 2
3r+4h-4b
3 +4
r
2
3
4
45
2
5
2
1
2
3
2
3
2
5
2
5
2
5
2
3
4即 3x＋4y－100＝0.
由直线 l1 与半圆 H 相切，得 r＝ .
而点 H(r，h)在直线 l1 的下方，则 3r＋4h－100＜0，
即 r＝－ ，从而 h＝25－2r.
又 S＝2rh＋ πr2＝2r(25－2r)＋ ×r2＝－ r2＋50r＝－ (r－10)2＋250≤250.当且仅当 r
＝10 时取等号．
所以当 AB＝20 米且 AD＝5 米时，
可使得活动中心的截面面积最大．
20．【答案】（1） （2）存在，m 的取值范围为
【解析】
（1）∵点 E 在椭圆上，且 ，
∴ ， ，
又∵定点 在椭圆上，∴ ，
∴ ，
∴椭圆 C 的方程为： ；
（2）假设存在点 满足条件，设 ， ，直线 l 的方程为：
，
联立方程 ，消去 y 得： ，
∴ ， ， ，
又 ， ， ，
∴ ，
3r+4h-100
5
3r+4h-100
5
1
2
3
2
5
2
5
2
2
2 12
x y+ = 10, 2
1 2 2 2EF EF+ =
2 2 2a = 2a =
21, 2E
2 2
1 1 12a b
+ =
1b =
2
2 12
x y+ =
( ,0)M m 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y
( 1)y k x= −
2
2
( 1)
12
y k x
x y
= − + =
2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k+ − + − =
2
1 2 2
4k
1 2kx x+ = +
2
1 2 2
2 2
1 2
kx x k
−= +
28 8 0k= + >△
( )1 1,MP x m y= − ( )2 2,MQ x m y= − ( )2 1 2 1,PQ x x y y= − −
( )1 2 1 22 ,MP MQ x x m y y+ = + − + 由题意知.
，
∵ ，∴ ，
即 ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
故存在点 ，使得以 ， 为邻边的平行四边形是菱形，m的取值范围为 .
21．【答案】（I）详见解析；（II） ；（III） 为指数型和.
【解析】
（I） ， .由于 ，当
时， ，所以数列 是等比数列.
， .
（II）由（I）得 ，
，所以
.因为 ， .当 时，
， ，而 ，所以 ，
即 ，化简得
，由于当 时， 单调递减，最大值为
2 1 2 1 1 2 2 1( 2 )( ) ( () )( )x x m x xMP MQ PQ y y y y= + − − + + −+ ⋅
2 1 2 1 1 2( 2 )( )( ) 0x x m x x y y= + − − + =
1 2x x≠ 2 1 1 22 ( ) 0x x m k y y+ − + + =
( )2
2 1 1 22 2 0x x m k x x+ − + + − =
2 2
2
2 2
4 42 2 01 2 1 2
k km kk k
− + − = + +
2 01 2
mk m
= − >
10 2m< <
( ,0)M m MP MQ 10, 2
9− 3C
1 3n
n na S+ = + *
1 13 2 3 ,n n
n n n n nS S S S S n N+ +− = + ⇒ = + ∈ 3n
n nb S= −
3a ≠
1 1
1 1 3 2 3 3 23 3
n n n
n n n
n n
n n n
b S S
b S S
+ +
+ + − + −= = =− − { }nb
1 1 3 3b S a= − = − ( ) 13 2n
nb a −= − ×
( ) 13 3 2n n
n nb S a −= − = − × ( ) 13 3 2n n
nS a −= + − ×
( )1 2 *
1 2 3 3 2 , 2,n n
n n na S S a n n N− −
−= − = × + − × ≥ ∈
( )1 2
, 1
2 3 3 2 , 2n n n
a na a n− −
== × + − × ≥ 1n na a+ ≥ 2 13a a a a= + > = 2n ≥
( )1 22 3 3 2n n
na a− −= × + − × ( ) 1
1 2 3 3 2n n
na a −
+ = × + − × 1n na a+ ≥ 1 0n na a+ − ≥
( ) ( )1 2 12 3 3 2 2 3 3 2n n n na a− − − × + − × − × + − × ( )1 24 3 3 2 0n na− −= × + − × ≥
11
2
4 3 33 8 32 2
nn
na
−−
−
− × ≥ + = − × + 2n ≥
138 32
n− − × + ，所以
，又 ，所以 的最小值为 .
（III）由（I）当 时， ，当 时，
. 也符合上式，所以对正整数 都
有 .由 ，（ 且 ）， 只能是不小于 的
奇数.
①当 为偶数时， ，由于 和 都是大于 的正整数，
所以存在正整数 ，使得 ， ，所以
，且 ，相应的 ，即有 ， 为“指数型和”；
② 当 为奇数时， ，由于 是 个奇
数之和，仍为奇数，又 为正偶数，所以 不成立，此时
没“指数型和”.
综上所述， 中的项存在“指数型和”，为 .
2 138 3 12 3 92
− − × + = − + = −
9a ≥ − 3a ≠ a 9−
4a = 12n
nb −= 2n ≥
( ) 12 1 2
3 2 4 2 3 2 11 2
n
n n
nC +
× −
= + + + + = + = +− 1 3C = n
2 1n
nC = + 2 1, 1 2p n p nt t= + − = *,t p N∈ 1, 1t p> > t 3
p 2 21 1 1 2
p p
p nt t t
− = + − =
2 1
p
t + 2 1
p
t − 1
,g h 2 21 2 , 1 2
p p
g ht t+ = − = ( )2 2 2,2 2 1 2g h h g h−− = − =
2 2h = 2 1 2 1, 2g h h g− − = ⇒ = = 3n = 2
3 3C = 3C
p ( )( )2 11 1 1p pt t t t t −− = − + + + + 2 11 pt t t −+ + + + p
1t − ( )( )2 11 1 2p nt t t t −− + + + + =
{ }nC 3C
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