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2020 天津高考压轴卷数学
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）考生应在答题纸上相应编号的空格内直
接填写结果，第 1～6 题每个空格填对得 4 分，第 7～12 题每个空格填对得 5 分，
否则一律得零分．
1．已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知 为虚数单位，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知不等式 成立的必要不充分条件是 或 ，则实数
的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知函数 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知在等差数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ， ， 均为锐角，则 （ ）
A． B． C． D．
8．有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中
任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A． B． C． D．
{ | 2 4}, { | 2 2}A x x B x x= − < ≤ = − ≤ < A B =
{ | 2 2}x x− < < { | 2 4}x x− ≤ ≤
{ | 2 2}x x− ≤ ≤ { | 2 4}x x− < ≤
( 2 )(2 ) 4 3 ,m i i i+ − = + ,m R i∈ m
1 1− 2 2−
2 22 4 0x mx m− + − > 1x ≤ 2x ≥
m
( )f x R ( )0, ∞+
( ) ( ) ( )0.6
33 log 13 2f f f− < − < ( ) ( ) ( )0.6
33 2 log 13f f f− < < −
( ) ( ) ( )0.6
32 log 13 3f f f< − < − ( ) ( ) ( )0.6
32 3 log 13f f f< − <
{ }na 3 4 5 76, 11a a a a+ + = = 1a =
3 7 7− 3−
2 2
2 12
x y
a
− =
6
π
2 3
3
2 6
3 3 2
5sin 5
α = sin( ) 10
10
α β− = − ,α β β =
5
12
π
3
π
4
π
6
π
4
5
3
5
2
5
1
5试卷第 2 页，总 4 页
9．已知函数 ，若方程 有 4 个不同的
实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，1） C．（0，1] D．（1，+∞）
第 II 卷（非选择题)
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答
题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分．
10．若函数 ，则 ______________．
11． 展开式的常数项为 ．（用数字作答）
12．抛物线 ，直线 l 经过抛物线的焦点 F，与抛物线交于 A、B 两点，若
，则 （O 为坐标原点）的面积为______．
13．如图，在正四棱柱 中，P 是侧棱 上一点，且 .设
三棱锥 的体积为 ，正四棱柱 的体积为 V，则 的值为
________.
14．已知函数 ， .若函数 在区间 ，
内恰有 5 个零点，则 的取值范围为_________．
15．已知 ，二次三项式 对于一切实数 x 恒成立，又 ，使
成立，则 的最小值为____．
三、解答题（本大题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编
号的规定区域内写出必要的步骤．
16．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，
第 3 小题满分 5 分．
( )
( )
2
3 2
01
1 2 0
x xf x x
x a x ax x
≤= −
− + + >
，
，
( )f x ax=
a
( ) 22 1 2f x x x+ = − ( )3f =
612 x
x
−
1 1 1 1ABCD A B C D− 1CC 1 2C P PC=
1P D DB− 1V 1 1 1 1ABCD A B C D− 1V
V
( ) sin 3 cos ( 0)f x x xω ω ω= + > x∈R ( )f x (0
4 )π ω
a b> 2 4 0ax x b+ + ≥ 0x R∃ ∈
2
0 04 0ax x b+ + = 2 2a b
a b
+
−试卷第 3 页，总 4 页
已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值；
(3)若关于 x 的不等式 在 R 上恒成立，求实数 m 的取值范围.
17．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 5 分，
第 3 小题满分 5 分．
如图，在三棱柱 中，四边形 ， 均为正方形，且
，M 为 的中点，N 为 的中点．
（1）求证： 平面 ABC；
（2）求二面角 的正弦值；
（3）设 P 是棱 上一点，若直线 PM 与平面 所成角的正弦值为 ，求
的值
18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
已知抛物线 的焦点为椭圆 的右焦点，C 的准
线与 E 交于 P，Q 两点，且 ．
（1）求 E 的方程；
（2）过 E 的左顶点 A 作直线 l 交 E 于另一点 B，且 BO（O 为坐标原点）的延长线交 E
于点 M，若直线 AM 的斜率为 1，求 l 的方程．
19．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分．
已知数列 的前 项和 ，数列 满足： ，
.
2( ) 2sin cos 2 3 cos 3,f x x x x x R= − + ∈
( )f x
( )f x 2[ , ]24 3
π π
( ) 3 ( )mf x m f x+ ≥
1 1 1ABC A B C− 1 1ABB A 1 1BB C C
1 1 1 1A B B C⊥ 1CC 1A B
/ /MN
1B MN B− −
1 1B C 1MNB 2
15
1
1 1
B P
B C
2: 4 2C y x= ( )2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
+ = > >
2PQ =
{ }na n
2
2n
n nS
+= { }nb 1 2 2b b= =
( )1
1 2n
n nb b n N+ ∗
+ = ∈试卷第 4 页，总 4 页
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）求 ．
20．(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 9 分．
已知函数 ， ．
（1）试判断函数 的单调性；
（2）是否存在实数 ，使函数 的极值大于 ？若存在，求 的取值范围；若不存
在，请说明理由．
21. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 9 分
已知数列 的前 项和 ，数列 满足： ，
.
（Ⅰ）求数列 ， 的通项公式；
（Ⅱ）求 ．
{ }na { }nb
( )*
2 1
1 2
1n
i i
i i
a b n Nb−
=
− ∈
∑
2( 2) 1lnf x x ax x= − + a R∈
( )f x
a ( )f x 0 a
{ }na n
2
2n
n nS
+= { }nb 1 2 2b b= =
( )1
1 2n
n nb b n N+ ∗
+ = ∈
{ }na { }nb
( )*
2 1
1 2
1n
i i
i i
a b n Nb−
=
− ∈
∑试卷第 5 页，总 13 页
2020 天津高考压轴卷数学 Word 版含解析
参考答案
1．【答案】B
【解析】
由已知，集合 ，所以 .
故选：B
2．【答案】A
【解析】
∵
∴ ，
∴ ，即
故选 A
3．【答案】C
【解析】
， 或 ，
或 是不等式 成立的必要不充分条件，
，解得： ，则实数 的最大值为 .
故选： .
4．【答案】C
【解析】
为 上的偶函数， ， ，
且 在 上单调递增，
， .
故选： .
5．【答案】C
【解析】
{ | 2 4}, { | 2 2}A x x B x x= − < ≤ = − ≤ < { | 2 4}A B x x∪ = − ≤ ≤
( )( )2 2 4 3 ,m i i i+ − = +
( )2m 2 4 4 3m i i+ + − = +
2 2 4
4 3
m
m
+ =
− = m 1=
( )( ) ( )( )2 22 4 2 2 0x mx m x m x m− + − = − + − − > 2x m∴ < − 2x m> +
1x ≤ 2x ≥ 2 22 4 0x mx m− + − >
2 1
2 2
m
m
− ≤∴ + ≥ 0 3m≤ ≤ m 3
C
( )f x R ( ) ( )3 3f f∴ − = ( ) ( )3 3log 13 log 13f f− =
0.6
3 3 32 2 log 9 log 13 log 27 3< = < < = ( )f x ( )0, ∞+
( ) ( ) ( )0.6
32 log 13 3f f f∴ < < ( ) ( ) ( )0.6
32 log 13 3f f f∴ < − < −
C试卷第 6 页，总 13 页
由等差数列的性质，得 ，
所以 公差 ，
又 ，所以 .
故选：C
6．【答案】A
【解析】
双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，
则 ，
所以该条渐近线方程为 ；
所以 ，
解得 ；
所以 ，
所以双曲线的离心率为 ．
故选：A．
7．【答案】C
【解析】
由题意，可得 α，β 均为锐角，∴－ ( )2 1 0x a x a− + + =
( )( )1 0x x a− − = 1x = a
0a > 1a ≠
0 1a< < ( )f x ax=
a
2 1 3x + = 1x = ( )3f = ( ) 22 1 1 1 2 1f × + = − = −
1−
6 6 6 2
1 6 6
1(2 ) ( 1) (2) ( )
r
r r r r r r
rT C x C x
x
− − −
+
= − = − 6 2 0r− = 3r =
612 x
x
−
3 3 6 3
6( 1) (2) 160C −− = −试卷第 8 页，总 13 页
12．【答案】
【解析】
由题意可知： ，结合焦半径公式有： ，
解得： ，故直线 AB 的方程为： ，
与抛物线方程联立可得： ，
则 ，
故 的面积 .
13．【答案】
【解析】
设正四棱柱 的底面边长 ，高 ，
则 ，
即
故答案为：
14．【答案】 ，
【解析】
因为 ，
所以令 ， ，解得
，则非负根中较小的有：
因为函数 在区间 ， 内恰有 5 个零点，
1
6
1 1 1 1ABCD A B C D− AB BC a= = 1AA b=
1 1 1 1
2
1ABCD A B C D ABCDV S AA a b− = × =
1 1 1
21 1 1 1
3 3 2 6P D DB B D DP D DPV V S BC ab a a b− − ∆= = ⋅ = × ⋅ =
1
1 1 1 1
1
6ABCD D
P D D
A B
B
CV
V −
−
∴ = 1 1
6
V
V
=
1
6
7(6
17]12
( ) sin 3 cos 2sin( )3f x x x x
πω ω ω= + = +
2sin( ) 03x
πω + = ( )3x k k Z
πω π+ = ∈ (3 1) ( )3
kx k Z
π
ω
−= ∈
0>ω 2 5 8 11 14 17, , , , , ,3 3 3 3 3 3
π π π π π π
ω ω ω ω ω ω
( )f x (0 4 )π试卷第 9 页，总 13 页
所以 且 ，解得 .
故答案为：
15．【答案】
【解析】
已知 ，二次三项式 对于一切实数 恒成立，
，且 ；
再由 ，使 成立，
可得 ，
， ，
令 ，则
（当 时，等号成立），所以， 的最小值为 ，
故 的最小值为 ，故答案为 .
16．【答案】(1) ;(2) 最大值为 ，最小值为 ;(3) .
【解析】
(1) ，所以 的最小正周期为 .
(2)当 时, ,
当 时,即 时函数求得最小值 ;
14 43
π πω < 17 43
π πω ≥ 7 17
6 12
ω< ≤
7 17( , ]6 12
4 2
a b> 2 4 0ax x b+ + ≥ x
0a∴ > 16 4 0, 4ab ab∆ = − ≤ ∴ ≥
0x R∃ ∈ 2
0 04 0ax x b+ + =
16 4 0, 4ab ab∆ = − ≥ ∴ ≤
4ab∴ =
2
2 2 2
16
42, , 04
aa b aa b a a b a a
++∴ > = = >− −
2
2
16 8a ta
+ = >
( )
2
222 2 22
16
648 16 16 16 324 8 8
aa b ta ta b t ta a
+ + = = = − + + ≥ + = − − − −
16t =
22 2a b
a b
+
−
32
2 2a b
a b
+
− 32 4 2= 4 2
π 2 2− 2
5m ≥
2( ) 2sin cos 2 3 cos 3= − +f x x x x sin 2 3 cos2x x= − 2sin(2 )3x
π= −
2
2T
π π= = ( )f x π
2[ , ]24 3x
π π∈ 2 [ , ]3 4x
π π π− ∈ −
2 3 4x
π π− = −
24x
π= ( ) 224f
π = −试卷第 10 页，总 13 页
当 时,即 时函数求得最大值 ;
所以 在区间 上的最大值为 ，最小值为
(3)对 ， ，
所以不等式 恒成立等价于，
对 ， 恒成立，即 ，
设 ，则 ，
令 ，且 在 上为增函数，
所以， ，
所以， .
17．【答案】（1）证明过程见详解；（2） ；（3） .
【解析】
（1）取 中点为 ，连接 ， ，
因为 为 的中点， 为 的中点，
所以 ， ，
又 平面 ， 平面 ， ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，
所以 平面 ABC；
2 3 2x
π π− = 5
12x
π= 5( ) 212f
π =
( )f x 2,24 3
π π
2 2−
x∀ ∈R 2 ( ) 2f x− ≤ ≤
( ) 3 ( )mf x m f x+ ≥
x∀ ∈R
( )
( ) 3
f xm f x
≥ + max
( )
( ) 3
f xm f x
≥ +
( )( ) ( ) 3
f xg x f x
= +
( ) 3( ) 1( ) 3 ( ) 3
f xg x f x f x
= = −+ +
( )t f x= 31 3y t
= − +
[ ]2 2− ,
max
2( ) (2) 5g x g= =
2
5m ≥
4 5
9
1
3
1AA O ON OM
M 1CC N 1A B
//ON AB //OM AC
AB Ì ABC AC ⊂ ABC AC AB A∩ =
//MON ABC
MN ⊂ MON
//MN试卷第 11 页，总 13 页
（2）因为四边形 ， 均为正方形，所以 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角
坐标系，设 边长为 ，则 ， ， ， ，
，
所以 ， ，
因此 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ，令 ，则 ，
因此 ；
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，所以 ，令 ，则 ，
因此 ，
设二面角 的大小为 ，
则 ，
所以 ；
1 1ABB A 1 1BB C C 1 1B C 1B B 1 1B A
1B 1B B 1 1B C 1 1B A x y z
1 1ABB A 2 1(0,0,0)B (2,0,0)B 1(0,2,0)C (2,2,0)C
1(0,0,2)A
(1,0,1)N (1,2,0)M
1 (1,2,0)B M = (0, 2,1)MN = − ( 1,2,0)BM −=
BMN ( ), ,m x y z=
m BM
m MN
⊥
⊥
2 0
2 0
m BM x y
m MN y z
⋅ = − + =
⋅ = − + =
1y = 2
2
x
z
=
=
( )2,1,2m =
1B MN ( )1 1 1, ,n x y z=
1m B M
m MN
⊥
⊥
1 2 0
2 0
m B M x y
m MN y z
⋅ = + =
⋅ = − + =
1y = 2
2
x
z
= −
=
( )2,1,2n = −
1B MN B− − θ
4 1 4 1cos cos , 94 1 4 4 1 4
m n
m n
m n
θ
⋅ − + += < > = = =
+ + × + +
2 4 5sin 1 cos 9
θ θ= − =试卷第 12 页，总 13 页
（3）因为 是棱 上一点，设 ，则 ，
所以 ，
由（2）知，平面 的一个法向量为 ，
又直线 与平面 所成角的正弦值为 ，记直线 与平面 所成角为
则有 ，
整理得 ，解得 或 （舍）
所以 .
18．【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）因为抛物线 的焦点为 ，
由题意，可得：椭圆 的两焦点为 ，
又抛物线 的准线与 交于 ， 两点，且 ，将 代入椭圆方程得
，所以 ，则 ，即 ①，
P 1 1B C [ ]1
1 1
0,1B P tB C
= ∈ (0,2 ,0)P t
( )1,2 2 ,0PM t = −
1MNB ( )2,1,2n = −
PM 1MNB 2
15 PM 1MNB α
2 2
2 2 2 2 2sin cos , 151 (2 2 ) 3 4 8 5 3
PM n t tPM n
PM n t t t
α
⋅ − + −= < > = = = =
+ − × − + ×
221 8 5 0t t+ − = 1
3t = 5
7t = −
1
1 1
1
3
B P tB C
= =
2 2
14 2
x y+ = 2 2 0x y+ + =
2: 4 2C y x= ( )2,0
( )2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
+ = > > ( ) ( )2,0 , 2,0−
C E P Q 2PQ = x c= −
2 2
2 2 1c y
a b
+ =
2by a
= ±
22 2b
a
= 2b a=试卷第 13 页，总 13 页
又 ②，根据①②解得： ， ，
因此椭圆 的方程为 ；
（2）由（1）得 的左顶点为 ，设直线 的方程为 ，
，
由 得 ，所以 ，
因此 ，所以 ，
则 ，
又因为 （ 为坐标原点）的延长线交 于点 ，
则 与 关于原点对称，所以 ，
因为直线 的斜率为 1，
所以 ，解得： ，
因此，直线 的方程为： .
19．【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） ．
【解析】
（Ⅰ）当 时， ，
当 时， ，适合上式，
所以： ；
2 2 2 2c a b= − = 2 4a = 2 2b =
E
2 2
14 2
x y+ =
2 2
14 2
x y+ = ( )2,0A − l 2x my= −
( )0 0,B x y
2 2
2
14 2
x my
x y
= − + =
2 2( 2) 4 0m y my+ − = 0 2
4
2A
my y m
+ = +
0 2
4
2
my m
= +
2
0 0 2
2 42 2
mx my m
−= − = +
2
2 2
2 4 4,2 2
m mB m m
−
+ +
BO O E M
M B
2
2 2
2 4 4,2 2
m mM m m
−− − + +
AM
2
2
2
4
2 12 42 2
m
m
m
m
+ =−− + +
2m = −
l 2 2 0x y+ + =
na n=
1
2
2
2
2
n
n n
nb
n
+
=
， 为奇数；
， 为偶数
( ) 1 21 2 2
n
n
nn + +− ⋅ +
2n ≥ ( )22
1
( 1) 1
2 2n n n
n nn na S S n−
− − −+= − = − =
1n = 1 1 1a S= =
na n=试卷第 14 页，总 13 页
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴数列 的奇数项和偶数项都是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ，
且 ， ，
，
设 ，①
∴ ，②
①﹣②得 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
20．【答案】（1）见解析；（2）存在，实数 的取值范围为 ．
【解析】
（1）由题可得，函数 的定义域为 ，
1 2 2b b= = ( )1
1 2n
n nb b n N+ ∗
+ = ∈
( )1 2 2n
n nb b n− = ≥
( )1 12 , 2n nb b n+ −= ≥
{ }nb
1
2
2
2
2
n
n n
nb
n
+
=
， 为奇数；
， 为偶数
ia i=
2 1 1
2
2 1 2 2
i
i
ib
− +
− = =
2
2
2 2 2
i
i
ib = =
2 1
2
1 2 2
i
i i i
i
ia b ib−
∴ − = ⋅ −
( ) ( )2 3 11 2 3 1 , 0,1n nM x x x n x n x x−= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + ⋅ ≠
( )2 3 4 11 2 3 1 n nxM x x x n x n x += ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + ⋅
( ) ( )2 3 1 11
1 1
n
n n nx x
x M x x x x n x n xx
+ +
−
− = + + + + − ⋅ = − ⋅−
( )
( )
1
2
1
1
nx nx n xM
x
++ − − ⋅=
−
( ) ( )1
1
2
1
2 2 1 22 1 2 2(1 2)
nn
i n
i
n ni n
+
+
=
+ − − ⋅⋅ = = − ⋅ +−∑
1
21
1 11 22 2 2 212 2(1 )2
nn
i n
i
n ni n+
=
+ − − ⋅ + = = −
−
∑
( ) 1
2 1
1 2
1 21 2 2
n
n
i i n
i i
na b nb
+
−
=
+− = − ⋅ +
∑
a (0,2)
( )f x (0, )+∞试卷第 15 页，总 13 页
．
①当 时， ，所以函数 在 上单调递增．
②当 时，令 ，即 ，即 ， ．
当 ，即 时， ，
故 ，所以函数 在 上单调递增．
当 ，即 时，方程 的两个实根分别为 ，
．
若 ，则 ， ，
此时 ，所以函数 在 上单调递增；
若 ，则 ， ，
此时当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在
单调递增，在 上单调递减．
（2）由（1）可得，当 时，函数 在 上单调递增，故函数 无极值；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时函数 有极大值，极大值为 ，其中 ．
又 ，所以 ，即 ，所以 ．
21( 1) 1 ax xx af x x' x
− −− + = −=
0a = 1( ) 0f x' x
x
+= > ( )f x (0, )+∞
0a ≠ '( ) 0f x = 2 1 0ax x
x
− − = 2 1 0ax x− − = 1 4a∆ = +
0∆ ≤ 1
4a −≤ 2 1 0ax x− − ≤
'( ) 0f x ≥ ( )f x (0, )+∞
> 0∆ 1
4a > − 2 1 0ax x− − = 1
1 1 4
2
ax a
− +=
2
1 1 4
2
ax a
+ +=
1 04 a− < < 1 0x < 2 0x <
'( ) 0f x > ( )f x (0, )+∞
0a > 1 0x < 2 0x >
2(0, )x x∈ '( ) 0f x > 2( , )x x∈ +∞ '( ) 0f x <
( )f x 1 1 4(0, )2
a
a
+ + 1
2 )1 ,4( a
a
+ +∞+
0a ≤ ( )f x (0, )+∞ 0a > ( )f x
1 1 4(0, )2
a
a
+ + 1
2 )1 ,4( a
a
+ +∞+
0a ≤ ( )f x (0, )+∞ ( )f x
0a > ( )f x 1 1 4(0, )2
a
a
+ + 1
2 )1 ,4( a
a
+ +∞+
( )f x 2 2 2
2
2
1ln( ) 2f x axx x= − +
2
1 1 4
2
ax a
+ +=
2( ) 0f ' x = 2
2 2 1 0ax x− − = 2
2 2 1ax x= + 2
2 2
1l 2) n( xf x x
−= +试卷第 16 页，总 13 页
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增．
又 ，所以当 时， ，所以 等价于 ，
即当 时， ，即 ，
显然当 时， ，所以 ，即 ，解得
，
故存在满足条件的实数 ，使函数 的极值大于 ，此时实数 的取值范围为 ．
21. （Ⅰ） ； （Ⅱ） ．
（Ⅰ）当 时， ，
当 时， ，适合上式，
所以： ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴数列 的奇数项和偶数项都是首项为 2，公比为 2 的等比数列，
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， ，
且 ， ，
，
设 ，①
1ln( 2) xh x x= + − 1 1( 2) 0h' x x
= + >
( )h x (0, )+∞
(1) 0h = 1x > ( ) 0h x > 2
2 2( ) 1ln 02
xf x x= + >−
2 1>x
0a > 1 1 4 12
a
a
+ + > 1 4 2 1a a+ > −
0a > 1 4 | 2 1|a a+ > − 21 4 (2 1)a a+ > − 2 2 0a a− <
0 2a< <
a ( )f x 0 a (0,2)
na n=
1
2
2
2
2
n
n n
nb
n
+
=
， 为奇数；
， 为偶数
( ) 1 21 2 2
n
n
nn + +− ⋅ +
2n ≥ ( )22
1
( 1) 1
2 2n n n
n nn na S S n−
− − −+= − = − =
1n = 1 1 1a S= =
na n=
1 2 2b b= = ( )1
1 2n
n nb b n N+ ∗
+ = ∈
( )1 2 2n
n nb b n− = ≥
( )1 12 , 2n nb b n+ −= ≥
{ }nb
1
2
2
2
2
n
n n
nb
n
+
=
， 为奇数；
， 为偶数
ia i=
2 1 1
2
2 1 2 2
i
i
ib
− +
− = =
2
2
2 2 2
i
i
ib = =
2 1
2
1 2 2
i
i i i
i
ia b ib−
∴ − = ⋅ −
( ) ( )2 3 11 2 3 1 , 0,1n nM x x x n x n x x−= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + ⋅ ≠试卷第 17 页，总 13 页
∴ ，②
①﹣②得 ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ．
( )2 3 4 11 2 3 1 n nxM x x x n x n x += ⋅ + ⋅ + ⋅ + + − ⋅ + ⋅
( ) ( )2 3 1 11
1 1
n
n n nx x
x M x x x x n x n xx
+ +
−
− = + + + + − ⋅ = − ⋅−
( )
( )
1
2
1
1
nx nx n xM
x
++ − − ⋅=
−
( ) ( )1
1
2
1
2 2 1 22 1 2 2(1 2)
nn
i n
i
n ni n
+
+
=
+ − − ⋅⋅ = = − ⋅ +−∑
1
21
1 11 22 2 2 212 2(1 )2
nn
i n
i
n ni n+
=
+ − − ⋅ + = = −
−
∑
( ) 1
2 1
1 2
1 21 2 2
n
n
i i n
i i
na b nb
+
−
=
+− = − ⋅ +
∑
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