2020浙江省高考数学压轴卷（Word版附解析）

试卷第 1 页，总 4 页 绝密★启封前 2020 浙江省高考压轴卷 数 学 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分｡在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．复数 2 1 + i（i为虚数单位）的共轭复数是（ ） A． - 1 + i B．1 ― i C．1 + i D． - 1 ― i 3．记 为等差数列 的前 项和．若 ， ，则 的公差为 A．1 B．2 C．4 D．8 4．底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( ) A． B．8 C． D． 5．若实数 满足不等式组 ，则 ( ) A．有最大值 ，最小值 B．有最大值 ，最小值 2 C．有最大值 2，无最小值 D．有最小值 ，无最大值 6．“a=1”是“直线 x+y=0 和直线 x-ay=0 互相垂直”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 { || | 2}A x x= < { 1,0,1,2,3}B = − A B = {0,1} {0,1,2} { 1,0,1}− { 1,0,1,2}− nS { }na n 4 5 24a a+ = 6 48S = { }na 4 3 4 3 3 8 3 ,x y 0 2 2 2 2 y x y x y   −  −    3x y− 2− 8 3 − 8 3 2−试卷第 2 页，总 4 页 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．函数 （其中 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A． B． C． D． 8．已知 、 ，且 ，则（ ） A． B． C． D． 9．设 是一个高为 3，底面边长为 2 的正四棱锥， 为 中点，过 作平面 与线段 ， 分别交于点 ， （可以是线段端点），则四棱锥 的体积的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10 若对圆 上任意一点 ， 的取 值与 ， 无关， 则实数 a 的取值范围是( ) A． B． C． 或 D． 第 II 卷（非选择题) 二､填空题:本大题共 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分,共 36 分 11．《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织 ______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺. 12．二项式 的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为 __________． 13．设双曲线 的半焦距为 c，直线 过（a，0），（0，b）两点， 已知原点到直线 的距离为 ，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为_________. ( ) ( ) 1 1 x x ef x x e += − e a b R∈ a b> 1 1 a b < sin sina b> 1 1 3 3 a b    P ABCD− M PC AM AEMF PB PD E F P AEMF− 4 ,23      4 3,3 2      31, 2      [ ]1,2 2 2( 1) ( 1) 1x y− + − = ( , )P x y 3 4 3 4 9x y a x y− + + − − x y 4a ≤ 4 6a− ≤ ≤ 4a ≤ 6a ≥ 6a ≥ 5 2 1( )x x + ( )2 2 2 2 1 0x y b aa b − = > > l l 3 4 c试卷第 3 页，总 4 页 14．已知函数 ，若 ，则实数 _____；若 存在最小值，则实数 的取值范围为_____. 15．设向量 满足 ， ， ， ．若 ，则 的最大值是________． 16．某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民 俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至 周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活 动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________． 17．已知函数 若在区间 上方程 只有一 个解，则实数 的取值范围为______． 三､解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡ 18．已知函数 . (1)求 的单调递增区间; (2)当 时,求 的值域. 19．如图，四棱柱 的底面 是菱形 ， 底 面 ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 20．等比数列 的各项均为正数，且 . 2 2 , 0( ) log ( ), 0 x xf x x a x  ( )f x (0, )+∞ a ( )f x 1 2,x x a 1 2 0 1 1 1 11x x t + − >+ 0t ( )f x答案第 1 页，总 13 页 参考答案及解析 1．【答案】C 【解析】 由 ，得 ，选 C. 2．【答案】C 【解析】 因为 2 1 + 푖 = 1 ― 푖,所以其共轭复数是1 + 푖，选 C. 【点睛】 本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题. 3．【答案】C 【解析】 设公差为 ， ， ，联立 解得 ，故选 C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如 为等差数列， 若 ，则 . 4．【答案】C 【解析】 根据三视图知该四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，且各侧面的斜高是 2, 画出图形，如图所示； 所以该四棱锥的底面积为 ，高为 ； 所以该四棱锥的体积是 . 故选：C. d 4 5 1 1 13 4 2 7 24a a a d a d a d+ = + + + = + = 6 1 1 6 56 6 15 482S a d a d ×= + = + = 1 1 2 7 24 ,6 15 48 a d a d + =  + = 4d = { }na m n p q+ = + m n p qa a a a+ = + 22 4S = = 2 22 1 3h = − = 1 1 4 34 33 3 3V Sh= = × × =答案第 2 页，总 13 页 【点睛】 本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题． 5．【答案】C 【解析】 画出不等式组 表示的平面区域，如图阴影所示； 设 ，则直线 是一组平行线； 当直线过点 时， 有最大值，由 ，得 ； 所以 的最大值为 ，且 无最小值. 故选：C. 6．【答案】C 【解析】 直线 和直线 互相垂直的充要条件是 ，即 ，故选 C 7．【答案】A 【解析】 ∵f（﹣x） f（x）， ∴f（x）是偶函数，故 f（x）图形关于 y 轴对称，排除 C，D； 又 x=1 时， 1 1 a b > a π= 0b = a b> sin sin 0π = sin sina b= 1 3 x y  =    R a b> 1 1 3 3 a b    2 2a b< 3 4 3 4 93 4 3 4 9 5 5 x y a x yx y a x y − + − −− + + − − = + ( ),P x y 3 4 0x y a− + = 3 4 9 0x y− − = ,x y 3 4 0x y a− + = 3 4 9 0x y− − = 2 2( 1) ( 1) 1x y− + − = ( )1,1 3 4 0x y a− + = 3 4 15 ad − += ≥ 6a ≥ 4a ≤ − S ABC− , ,SA SB SC 1 1 1, ,A B C 1 1 1 1 1 1S A B C S ABC V SA SB SC V SA SB SC − − ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ SB SAC θ答案第 4 页，总 13 页 ，证毕. 四棱锥 中，设 ， 所以 又 所以 即 ，又 ， 解得 所以体积 ，令 根据对勾函数性质， 在 递减，在 递增 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 sin sin3 2 1 1 sin sin3 2 S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC ASC SBV V SA SB SC V V SA SB SCSA SC ASC SB θ θ − − − − × ⋅ ⋅ ∠ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅× ⋅ ⋅ ∠ ⋅ ⋅ P ABCD− ,PE PFx yPB PD = = 21 2 3 43P ABCDV − = × × = 1 2 2 2 2 P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEF P ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBC V V V V V V V V V V V V V − − − − − − − − − − − − −  += = + = +    1 1 1 2 2 2 PA PE PF PE PM PF xy xyPA PB PD PB PC PD ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   = + = +   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅    3P AEMFV xy− = 1 2 2 2 2 P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAF P ABCD P ABC P ABC P DAC P ABC P DAC V V V V V V V V V V V V V − − − − − − − − − − − − −  += = + = +    1 1 1 1 2 2 2 2 PA PE PM PA PM PF x yPA PB PC PA PC PD ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   = + = +   ⋅ ⋅ ⋅ ⋅    P AEMFV x y− = + 3 , 3 1 xx y xy y x + = = − 0 1,0 13 1 xx y x ≤ ≤ ≤ = ≤− 1 12 x≤ ≤ 23 13 , [ ,1]3 1 2 xV xy xx = = ∈− 13 1, [ ,2]2t x t= − ∈ 2( 1) 1 1 1( ) ( 2), [ ,2]3 3 2 tV t t tt t += = + + ∈ ( )V t 1[ ,1]2t ∈ [1,2]t ∈答案第 5 页，总 13 页 所以函数 最小值 ，最大值 ， 四棱锥 的体积的取值范围为 故选：B 11．【答案】 【解析】 设该女子每天的织布数量为 ，由题可知数列 为公比为 2 的等比数列， 设数列 的前 n 项和为 ，则 ，解得 ， 所以 ， . 故答案为： ， . 【点睛】 本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题. 12．【答案】 32 【解析】 展开式的通项为 ， 令 ，解得 ， 所以展开式中的常数项为 ， 令 ，得到所有项的系数和为 ，得到结果. 点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开 式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得 r，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果. 13．【答案】2 【解析】 ( )V t 4(1) 3V = 1 3(2) ( )2 2V V= = P AEMF− 4 3,3 2      10 31 165 na { }na { }na nS ( )5 1 5 1 2 51 2 a S − = =− 1 5 31a = 2 1 102 31a a= = ( )10 10 5 1 231 1651 2S − = =− 10 31 165 5 5 5 5 2 2 1 5 52 1( ) ( ) rr r r r rT C x C xx −− + = = 5 5 02 2 r− = 1r = 1 2 5 5T C= = 1x = 52 32= 3y x= ±答案第 6 页，总 13 页 由题可设直线 方程为： ，即 ，则原点到直线的距离 ，解得 ，两式同时平方可得 ，又 ，代换可得 ，展开得： ，同时除以 得： ，整理得 ，解得 或 ，又 ，所以 ，所以 ； ，所以渐近线方程为： 故答案为：2； 14．【答案】 【解析】 ， ， ， . 易知 时， ； 又 时， 递增，故 ， 要使函数 存在最小值，只需 ， 解得： . 故答案为： ， . 15．【答案】 【解析】 令 ，则 ，因为 ， 所以当 ， ，因此当 与 同向时 的模最大， l 1x y a b + = 0bx ay ab- - = 2 2 3 4 cab abd ca b = = = + 24 3ab c= 2 2 416 3a b c= 2 2 2b c a= − ( )2 2 2 416 3a c a c− = 2 2 4 416 16 2a c a c− = 4a 2 416 16 3e e− = ( )( )2 23 4 4 0e e− − = 2 4 3e = 4 0b a> > 2 2 2 2 2 2 2 22 2b a c a a c a e> ⇒ − > ⇒ > ⇒ > 2 4, 2ce e a = = = 2 2 2 24 3b c a a a a a a − −= = = 3by x xa = ± = ± 3y x= ± 1 2− [ 1,0)− ( 1) (1)f f− = 1 22 log (1 )a−∴ = − 1 21 2a∴ − = 1 2a∴ = − 0x < ( ) 2 (0,1)xf x = ∈ 0x 2( ) log ( )f x x a= − 2( ) (0) log ( )f x f a= − ( )f x 2 0 ( ) 0 a log a − >  −  1 0a− = ( )2 2( ) ( 1) ( 1 )x x xf x x e ax a e x x a e= + − = − + + − ⋅ x ( )f x ( )f x ( )0 0f t < ( ) 2 0 0 01 0tt e a t+ − ⋅ < ( ) ( )0 0 0 02 2 0tf t t e at′ = + − = ( ) ( )0 0 0 0 02 2 02 t ttt e t e+ − ⋅ + < 0 2t > 21 1 2( 2)2 2 +> = ⋅a g e ( )f x a 21 2 ,2  + ⋅ +∞    e 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2x x≠ 2 1 1 2 1 2 2 11 1 2 x x x xx x nx nx − +< > 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 ln 1 x x x x x x x x x x  − −   < < + 2 1 1xt x = > 1( ) ln tg t t t −= − 2( 1)( ) ln 1 th t t t −= − + ( ) 0g t < ( ) 0h t > 2( 1)( ) 0 2 tg t t t −′ = − < 2 2 ( 1)( ) 0( 1) th t t t −′ = >+ ( )g t (1, )+∞ ( )h t (1, )+∞ ( ) (1) 0g t g< = ( ) (1) 0h t h> = 1 2 0 1 1 1 11x x t + − >+答案第 13 页，总 13 页 由 得 ； 所以 ，两边取对数得： ； 即 . 因为 ， 所以 ， 因此，要证 . 只需证 ； 因为 在 上单调递增， ，所以只需证 ， 只需证 ，即证 ，其中 ； 设 ， ，只需证 ； 计算得 ； . 由 在 上单调递增， 得 ， 所以 ；即 在 上单调递减， 所以： ； 即 在 上单调递增，所以 成立，即原命题得证. ( ) ( )1 2 0 0 f x f x  = = ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 2 2 1 0 1 0 x x x e ax x e ax  + − = + − = ( ) ( )2 2 1 2 2 2 1 2 1 1x xx e x e x x + += ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 12 ln ln ln 1 ln 1x x x x x x − − + − + = −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln ln 1 ln 1 11 1 x x x x x x x x − + − +− =− + − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 1 21 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 nx nx n x n x x x x x x xx x − + − +− < −− + − + + + + 1 2 1 21 2 2 2 1 11 2x x x xx x + < < ++ + 1 2 0 1 1 1 11x x t + − >+ 1 2 02x x t+ < ( )f x ( )0 ,t +∞ 1 0 20 x t x< < < ( ) ( )2 0 22f x f t x< − ( ) ( )1 0 12f x f t x< − ( ) ( )0 0f t x f t x+ < − ( )0,0x t∈ − ( ) ( )0 0( )r x f t x f t x= + − − 0 0t x− < < ( ) 0r x < ( ) ( )0 0 0 0 0( ) 2 2 4t tr x x t e x x t e x at′ = + + + + − + + − − ( ) ( )2 0 0 0( ) 3 3t xr x e x x t e x t′′  = − + + + − −  ( ) ( )2 0 03 3xy x t e x t= + + + − − ( )0,0t− ( ) ( )0 0 03 0 3 0y t e t< + + − − = ( ) 0r x′′ < ( )r x′ ( )0,0t− ( )0( ) (0) 2 0r x r f t′ ′ ′> = = ( )r x ( )0,0t− ( ) (0) 0r x r< =