2020全国卷Ⅱ高考数学压轴卷（文）Word版含解析

2020 新课标 2 高考压轴卷数学（文） 一、 选择题（本大题共 12 小题. 每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1.已知集合 A＝｛x ｜0≤x≤3｝，B＝｛x R｜－2＜x＜2｝则 A∩B( ) A. {0,1} B. {1} C. [0,1] D. [0,2) 2.已知复数 z 的共轭复数 ，则复数 z 的虚部是（ ） A. B. C. D. 3.下列有关命题的说法正确的是（ ） A. 命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ” B. “ ”是“ ” 必要不充分条件 C. 命题“ ，使 ”的否定是：“ 均有 ” D. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 4.角 的终边在直线 上，则 （ ） A. B. 1 C. 3 D. －1 5. 已知向量 ， ，若向量 与 的夹角为 ，则实数 m =（　　） A. B. 1 C. －1 D. 6.设变量想 x、y 满足约束条件为 则目标函数 的最大值为( ) A. 0 B. -3 C. 18 D. 21 7.一空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ） 的 N∈ ∈ 1 1 2 iz i −= + 3 5 3 5 i 3 5- 3 5 i− 2 1x = 1x = 2 1x = 1x ≠ 1x = − 2 5 6 0x x− − = x R∃ ∈ 2 1 0x x+ − < x R∀ ∈ 2 1 0x x+ − > x y= sin sinx y= α 2y x= ( ) ( ) ( ) ( ) sin cos sin cos α π π α π α π α − + − =+ − − 1 3 ( )1,1a = − ( )1,b m= a− b a−  4 π 3 3− 2 6 0 0 x y x y + ≤  ≥  ≥ 3z x y= −A. 1 B. 3 C. 6 D. 2 8.执行如下的程序框图，则输出的 S 是（ ） A. 36 B. 45 C. －36 D. －45 9.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙 5 尺， 两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一 天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？（ ） A. 第 2 天 B.第 3 天 C.第 4 天 D.第 5 天 10. 已知函数 ， 是函数 的导函数，则 的图象大致是 （ ） A. B. C. D. ( ) 21 cos4f x x x= + ( )f x′ ( )f x ( )f x′11.双曲线 C： 的左、右焦点分别为 F1、F2，P 在双曲线 C 上，且 是 等腰三角形，其周长为 22，则双曲线 C 的离心率为（　　） A. B. C. D. 12.若定义在 R 上的函数 满足 且 时， ，则方程 的根的个数是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（本大题共 4 小题.每小题 5 分，共 20 分） 13.已知 ，且 ，则 ________． 14.现有 7 名志愿者，其中只会俄语的有 3 人，既会俄语又会英语的有 4 人.从中选出 4 人担 任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2 人担任英语翻译，2 人担任俄语翻译，共有_______ 种不同的选法。 15.已知直线 l： 与圆 交于 A、B 两点，过 A、B 分别作 l 的垂线与 y 轴交于 C、D 两点，若 ，则 __________． 16.已知三棱锥 P－ABC，PA⊥平面 ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，则三棱锥 P－ ABC 外接球的体积为__ . 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题 12 分） 已知数列{an}满足 ， ． （1）证明： 是等比数列； 2 2 2 19 x y b − = 1 2PF F△ 8 9 14 9 8 3 14 3 ( )f x ( ) ( )2f x f x+ = [ ]1,1x∈ − ( )f x x= ( ) 3logf x x= ( )0,θ π∈ 2sin( )4 10 πθ − = tan 2θ = 3 3 0mx y m+ + − = 2 2 12x y+ = | | 2 3AB = | |CD = 1 2a = − 1 2 4n na a+ = + { }4na +（2）求数列{an}的前 n 项和 Sn． 18. （本小题 12 分） 如图所示，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，侧棱 底面 ABC， ，D 为 AC 的中 点， . （1）求证： 平面 ； （2）求 AB1 与 BD 所成角的余弦值． 19. （本小题 12 分） 某科研课题组通过一款手机 APP 软件，调查了某市 1000 名跑步爱好者平均每周的跑步量 （简称“周跑量”），得到如下的频数分布表 周 跑 量 （k m/ 周） 人 数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 （1）在答题卡上补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图: 1AA ⊥ AB BC⊥ 1 2, 3AA AB BC＝ ＝ ＝ 1AB / / 1BC D [ )10 15， [ )15 20， [ )20 25， [ )25 30， [ )30 35， [ )35 40， [ )40 45， [ )45 50， [ )50 55，注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑 （2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为 28.5km，试求样本的中位数（保留一位小 数），并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点 （3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备 的价格不一样，如下表: 周跑量 小于 20 公 里 20 公里到 40 公 里 不小于 40 公里 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格（单位：元） 2500 4000 4500 根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元? 20. （本小题 12 分） 已知点 ，椭圆 的离心率为 是椭圆 E 的右焦点， 直线 AF 的斜率为 2，O 为坐标原点． （1）求 E 的方程； （2）设过点 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两 M、N，且 ， 求 k 的值. ( )0, 2A − 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b + = > > 2 ,2 F ( )0 3P ， 8 2| | 7MN =21. （本小题 12 分） 已知函数 （1）讨论 f(x)的单调性； （2）设 是 f(x)的两个零点，证明： ． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. 22. （本小题 10 分） 已知曲线 C： （k 为参数）和直线 l： （t 为参数）． （1）将曲线 C 的方程化为普通方程； （2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且 P（2，1）为弦 AB 的中点，求弦 AB 所在的直 线方程． 23. （本小题 10 分） 设函数 的最大值为 m. （1）求 m 的值； （2）若正实数 a，b 满足 ，求 的最小值. ( ) 1 xf x x ae= − + 1 2,x x 1 2 4x x+ > 2 2 2 8 1 2(1 ) 1 kx k ky k  = + − = + 2 cos 1 sin x t y t θ θ = +  = + ( ) 1f x x x= + − a b m+ = 2 2 1 1 a b b a ++ +2020 新课标 2 高考压轴卷数学（文）Word 版含解析 参考答案 1. 【答案】A 【解析】 可解出集合 A，然后进行交集的运算即可． 【详解】A＝{0，1，2，3}，B＝{x∈R|﹣2＜x＜2}； ∴A∩B＝{0，1}． 故选：A． 2. 【答案】A 【解析】 ，则 ，则复数 的虚部是 . 故选：A. 3. 【答案】D 【解析】 ．命题“若 ，则 ”的否命题为：“若 ，则 ”，则 错误． ．由 ，解得 或 ，则“ ”是“ ”的充分不必要 条件，故 错误． ．命题“ 使得 ”的否定是：“ 均有 ”，故 错误． ．命题“若 ，则 ”为真命题，则根据逆否命题的等价性可知命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题，故 正确． 故选：D． 4. 【答案】C 【解析】 角 的终边在直线 上， ， 则 ，故选：C。 5. 【答案】B ( )( ) ( )( ) 1 1 21 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 5 5 5 i ii iz ii i i − −− − −= = = = − −+ + − 1 3 5 5z i= − + z 3 5 A 2 1x = 1x = 2 1x ≠ 1x ≠ A B 2 5 6 0x x− − = 6x = 1x = − 1x = − 2 5 6 0x x− − = B C x R∃ ∈ 2 1 0x x+ + < x R∀ ∈ 2 1 0x x+ +  C D x y= sin sinx y= x y= sin sinx y= D  α 2y x= tan 2α∴ = ( ) ( ) ( ) ( ) sin cos sin sin cos sin cos csoα π π α α α π α π α α α − + − − −=+ − − − + sin cos tan 1 3sin cos tan 1 α α α α α α + += = =− −【解析】 由题意得： ， ， ，解得： 本题正确选项： 6. 【答案】C 【解析】 画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数 在点 处取得最大值，且最 大值为 .故选 C. 7. 【答案】D 【解析】 由三视图可知，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角梯形， 直角梯形的上底是 1，下底是 2，垂直于底边的腰是 2， 一条侧棱与底面垂直，这条侧棱长是 2. 四棱锥的体积是 . 故选：D. 8. 【答案】A 【解析】 满足，执行第一次循环， ， ； 成立，执行第二次循环， ， ； 成立，执行第三次循环， ， ； ( )1, 1a− = − ( )2, 1b a m− = −  2a∴ − = ( )24 1b a m∴ − = + −  ( ) ( ) ( )2 2 1 2cos 4 22 4 1 a b a m a b a m π − ⋅ − − +∴ = = = − ⋅ − × + −     1m = B 3z x y= − ( )6,0A 3 6 0 18z = × + = ∴ ( )1 2 21 2 23 2 + ×× × = 1 8i = ≤ ( )1 20 1 1 1S = + − × = − 1 1 2i = + = 2 8i = ≤ ( )2 21 1 2 3S = − + − × = 2 1 3i = + = 3 8i = ≤ ( )3 23 1 3 6S = + − × = − 3 1 4i = + =成立，执行第四次循环， ， ； 成立，执行第五次循环， ， ； 成立，执行第六次循环， ， ； 成立，执行第七次循环， ， ； 成立，执行第八次循环， ， ； 不成立，跳出循环体，输出 的值为 ，故选：A. 9. 【答案】B 第一天：大老鼠 1+小老鼠 1=2； 第二天：大老鼠 2+小老鼠 1.5=3.5 第三天：大老鼠 4+小老鼠 1.75=5.75 相遇 10. 【答案】A 【解析】由题意得： 为奇函数，图象关于原点对称 可排除 又当 时， ，可排除 本题正确选项： 11. 【答案】B 【解析】 双曲线 ，可得 a＝3， 因为 是等腰三角形，当 时， 由双曲线定义知|PF1|＝2a+|PF2|， 在△F1PF2 中，2c+2c+|PF2|＝22， 即 6c﹣2a＝22， 即 c ， 4 8i = ≤ ( )4 26 1 4 10S = − + − × = 4 1 5i = + = 5 8i = ≤ ( )5 210 1 5 15S = + − × = − 5 1 6i = + = 6 8i = ≤ ( )6 215 1 6 21S = − + − × = 6 1 7i = + = 7 8i = ≤ ( )7 221 1 7 28S = + − × = − 7 1 8i = + = 8 8i = ≤ ( )8 228 1 8 36S = − + − × = 8 1 9i = + = 9 8i = ≤ S 36 ( ) 1 sin2f x x x′ = − ( ) ( )1 sin2f x x x f x′ ′− = − + = − ( )f x∴ ,B D 2x π= 1 02 4f π π ′ = − [ )25 30， x ( )0.35 25 0.036 0.5x+ − × = 29.2x ≈ 28.5 29.2< ( )5 0.02 5 0.024 1000 220× + × × = ( )5 0.026 5 0.036 5 0.044 5 0.030 1000 680× + × + × + × × = 1000 220 680 100− − = 220 2500 680 4000 100 4500 37201000 × + × + × = 2 2 12 x y+ = 3k = 3− 2 2 c a = = 2= ( )0 2 0c − −= =− 2=b2＝a2﹣c2＝1， ∴椭圆 E 的方程为 ； （2）设直线 l：y＝kx﹣ ，设 M（x1，y1），N（x2，y2）， 则 ，整理得：（1+2k2）x2﹣ kx+4＝0， △＝（﹣ k）2﹣4×4×（1+2k2）＞0，即 k2 ， ∴x1+x2 ，x1x2 ， ∴ ， 即 , 解得： 或 （舍去） ∴k＝± ， 21. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 （1） ， 当 时， ，则 在 上单调递增． 当 时，令 ，得 ，则 的单调递增区间为 ， 令 ，得 ，则 的单调递减区间为 ． （2）证明：由 得 ，设 ，则 ． 由 ，得 ；由 ，得 ． 故 的最小值． 当 时， ，当 时， ， 2 2 12 x y+ = 3 2 2 3 12 y kx x y  = − + = 4 3 4 3 1＞ 2 4 3 1 2 k k = + 2 4 1 2k = + ( ) ( )( )2 2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 1 8 21 1 4 1 2 7 k k MN k x x k x x x x k + − = + − = + + − = =+ 4 217 32 57 0k k− − = 2 3k = 19 17 − 3 ( ) 1 xf x ae=′ + 0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x R 0a < ( ) 0f x′ > 1lnx a  < −   ( )f x 1,ln a   −∞ −     ( ) 0f x′ < 1lnx a  > −   ( )f x 1ln ,a   − +∞     ( ) 0f x = 1 x xa e −= ( ) 1 x xg x e −= ( ) 2 x xg x e =′ − ( ) 0g x′ < 2x < ( ) 0g x′ > 2x > ( ) ( ) 2min 12 0g x g e = = − < 1x > ( ) 0g x < 1x < ( ) 0g x >不妨设 ，则 ， 等价于 ， 且 上单调递增， 要证： ，只需证 ， ， 只需证 ，即 ， 即证 ； 设 ， 则 ， 令 ，则 ， ， 在 上单调递减，即 在 上单调递减， ， 在 上单调递增， ， 从而 得证． 22. 【答案】（1） ，（2）x+2y﹣4＝0． 【解析】（1）由 ，得 ，即 ，又 ，两 式相除得 ， 代入 ，得 ，整理得 ，即为 C 的普通方程． （2）将 代入 ， 整理得（4sin2θ+cos2θ）t2+（4cosθ+8sinθ）t﹣8＝0． 由 P 为 AB 的中点，则 ． 在 1 2x x< ( ) ( )1 21,2 , 2,x x∈ ∈ +∞ 1 2 4x x+ > 2 14x x> − 14 2x − > ( )g x ( )2,+∞ 1 2 4x x+ > ( ) ( )2 14g x g x> − ( ) ( )1 2g x g x a= = ( ) ( )1 14g x g x> − 1 1 1 1 4 1 3 x x x x e e − − −> ( )12 4 1 13 1 0xe x x− − + − < ( ) ( ) ( )2 4 3 1, 1,2xh x e x x x−= − + − ∈ ( ) ( )2 4 2 5 1xh x e x− −′ = + ( ) ( )m x h x= ′ ( ) ( )2 44 2xm x e x−′ = − ( ) ( )1,2 , 0x m x′∈ ∴ = ( )h x∴ ( )1,2 ( ) ( ) ( )12 4 1 12 0, 3 1 0xh x h e x x−∴ < = ∴ − + − < 1 2 4x x+ >∴cosθ+2sinθ＝0，即 ，故 ，即 ， 所以所求的直线方程为 x+2y﹣4＝0． 23. 【答案】(1) m＝1 (2) 【解析】（1）f(x)＝|x＋1|－|x|＝ 由 f(x)的单调性可知，当 x≥1 时，f(x)有最大值 1． 所以 m＝1． （2）由（1）可知，a＋b＝1， ＋ ＝ ( ＋ )[(b＋1)＋(a＋1)] ＝ [a2＋b2＋ ＋ ] ≥ (a2＋b2＋2 ) ＝ (a＋b)2 ＝ ． 当且仅当 a＝b＝ 时取等号． 即 ＋ 的最小值为 ． 1 3