2020全国卷Ⅰ高考数学压轴卷（文）Word版含解析

2020 新课标 1 高考压轴卷数学（文） 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1.已知集合 ，则 A∩B= ( ). A. (2,3) B. [2,3) C.[－4,2] D. (－4,3) 2.已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 3.若向量 ＝ ，| |＝2 ，若 ·( － )＝2，则向量 与 的夹角为(　　) A. B. C. D. 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 5. 甲、乙二人参加普法知识竞答共有 10 个不同的题目，其中 6 个选择题，4 个判断题，甲、 乙二人依次各抽一题，则甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是( ) A． B． C． D． 6.我国古代名著《庄子 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思 为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程 序框图的功能就是计算截取 7 天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是 ( ) { } { }2 2 8 0 2 3A x x x B x x= + − ≥ = − < > 014222 =+−++ yxyx 4 1 a b + 1 2 1 411.已知抛物线 的焦点为 F，点 是抛物线 C 上一 点，以点 M 为圆心的圆与直线 交于 E，G 两点，若 ，则抛物线 C 的方程是（ ） A. B. C. D. 12.已知函数 ，若方程 有 5 个解，则 m 的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.已知 ，且 ，则 ________． 14. 已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，点 ，双曲 线的渐近线上存在一点 ，使得 ， ， ， 顺次连接构成平行四边形，则双曲线 的 离心率 ______. 15. 已知数列 满足 ， ，令 ，则数列 的前 2020 项的和 __________． 16.如图，已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形，PA⊥平面 ABC， ，给出 下列结论： 2: 2 ( 0)C y px p= > ( )0 0,2 2 2 pM x x >   2 px = 1sin 3MFG∠ = 2y x= 2 2y x= 2 4y x= 2 8y x= 1 , 0 ( ) , 0x xmf x e x−  ==   ≠ 23 ( ) (2 3) ( ) 2 0mf x m f x− + + = (1, )+∞ (0,1) (1, )∪ +∞ 31, 2      3 31, ,2 2    +∞       ( )0,θ π∈ 2sin( )4 10 πθ − = tan 2θ = ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > A F ( )0,B b P A B F P C e = { }na 1 2a = 1 3 2n na a+ = + ( )1 3log na nb += 1 1 n nb b +       2020S = 2PA AB=① ； ②直线 平面 ； ③平面 平面 ； ④异面直线 PD 与 BC 所成角为 45°； ⑤直线 PD 与平面 PAB 所成角的余弦值为 . 其中正确的有_______（把所有正确的序号都填上） 三．解答题（本大题共 6 小题.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题 12 分） △ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 （1）求角 C 的大小； （2）已知 ，△ABC 的面积为 6，求边长 c 的值. 18. （本小题 12 分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD， ， ∠ABC=∠BCD=90°，E 为 PB 的中点。 （1）证明：CE∥面 PAD. PB AE⊥ / /BC PAE PAE ⊥ PDE 10 4 24sin 4sin sin 2 22 A B A B − + = + 4b = 1 22BC CD AB= = =（2）若直线 CE 与底面 ABCD 所成的角为 45°，求四棱锥 P-ABCD 的体积。 19. （本小题 12 分） 已知某单位甲、乙、丙三个部门共有员工 60 人，为调查他们的睡眠情况，通过分层抽样获 得部分员工每天睡眠的时间，数据如下表（单位：小时） 甲部门 6 7 8 乙部门 5.5 6 6.5 7 7.5 8 丙部门 5 5.5 6 6.5 7 8.5 （1）求该单位乙部门的员工人数？ （2）从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人，甲部门选出的员工记为 A，乙部 门选出的员工记为 B，假设所有员工睡眠的时间相互独立，求 A 的睡眠时间不少于 B 的睡 眠时间的概率； （3）若将每天睡眠时间不少于 7 小时视为睡眠充足，现从丙部门抽出的员工中随机抽取 3 人做进一步的身体检查．用 X 表示抽取的 3 人中睡眠充足的员工人数，求随机变量 X 的分 布列与数学期望． 20. （本小题 12 分） 已知椭圆 的离心率为 ，且 . （1）求椭圆的标准方程； （2）直线 ： 与椭圆交于 A，B 两点，是否存在实数 m，使线段 AB 的中点 在圆 上，若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由． 21. （本小题 12 分） 设函数 . （1）求 的单调区间； （2）求使 对 恒成立的 a 的取值范围. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑. ( )2 2 2 2 1 0y x a ba b + = > > 2 2 2 2a b= l 0x y m− + = 2 2 5x y+ = ( ) ( )2 2lnf x a x x ax a R= − + ∈ ( )f x ( ) 21e f x e− ≤ ≤ [ ]1,x e∈22. （本小题 10 分） 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 (其中 t 为参数）.现以坐标原点为 极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 . （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）若点 P 坐标为(－1,0)，直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点，求 的值. 23. （本小题 10 分） 已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 对任意 成立，求实数 a 的取值范围． 21 2 2 2 x t y t  = − +  = 6cosρ θ= PA PB+ ( ) ( )2 2f x x x a x R= + + − ∈ 0a = ( ) 7f x ≥ ( ) 2 4f x x≤ + [ ]1 0x∈ − ，2020 新课标 1 高考压轴卷数学（文）Word 版含解析 参考答案 1. 【答案】B 【解析】因 ， 所以 ，故本题选 B. 2. 【答案】D 【解析】因为 所以 故选 D 3. 【答案】A 【解析】由已知可得： ，得 ， 设向量 a 与 b 的夹角为 ，则 所以向量 与 的夹角为 故选 A. 4. 【答案】A 【解析】由三视图可知，几何体为三棱锥 三棱锥体积为： 本题正确选项：A 5. 【答案】B 【解析】由题意可知，甲乙两人依次各抽一题共有 种情况， 甲乙两人都抽到判断题共有 种情况， ∴甲乙两人中至少有一人抽到选择题共有 种情况， ∴甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为 ， 故选：B． 6. 【答案】B 为 { } { }2 2 8 0 2 4A x x x A x x x= + − ≥ ⇒ = ≥ ≤ −或 2 3 [2,3)B xA ≤ < == ( )( )1 2z i i= + − 3 i= + 2 2 23 ( 1) 10z = + − = 2 2a b a− =    3a b =   θ 3cos .2 a b a b θ = = ×     a b 6 π ∴ 1 1 1 5 2.4 4 83 3 2V Sh= = × × × × = 2 10 10 9 452C ×= = 2 4 6C = 39 39 13 45 15P = =【解析】由题意，执行程序框图，可得： 第 1 次循环： ； 第 2 次循环： ； 第 3 次循环： ； 依次类推，第 7 次循环： ， 此时不满足条件，推出循环， 其中判断框①应填入的条件为： ， 执行框②应填入： ，③应填入： . 故选：B. 7. 【答案】B 【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型， ，可知截距 越大 值越大，根据图象得出最优解为 ，则 的最大值为 2，选 B. 8. 【答案】C 【解析】等差数列{an}中， ∵a4+a7+a10=9，S14﹣S3=77， ∴ ， 解得 a1=﹣9，d=2． 11 , 42S i= − = 1 11 , 82 4S i= − − = 1 1 11 , 162 4 8S i= − − = = 1 1 1 11 , 2562 4 128 8S i= − − − − = = 128?i ≤ 1S S i = − 2i i= 2y x z= − + z (1,0) 2z x y= + 7 4 5 14 3 9 77 a a a a =  + + + = ∴ =n2﹣10n =（n﹣5）2﹣25， ∴当 n=5 时，Sn 取得最小值． 故选 C． 9. 【答案】C 【解析】因为 ，展开得 ，由正弦定理化简得 ，整理得 即 ，而三角形中 0 ( )f x 0 ( ) 1< 3sin 5{ 4cos 5 θ θ = − = − 4tan 3 θ = 22 422tan 243tan 2 1 tan 741 3 θθ θ × = = = −−  −   24 7 − ( ),0A a− ( ),0F c ,02 c a−     ( )0,B b P P ( ),c a b− − P by xa = − ( )bb c aa − = − − 2c a= 2e = 2020 2021 1 2a = ( ) 1 1 1 13 2 1 3 1 31 n n n n n n aa a a a a + + + += + ⇒ + = + ⇒ =+ { }1na + 1 1 3a + = 11 3 3 3n n na −+ = × = 3 1n na = − ( ) ( )31 3 3log log n na nb n+= = =故答案为： 16. 【答案】①③④⑤ 【解析】设正六边形长为 1，则 .根据正六边形的几何性质可知 ，由 平面 得 ，所以 平面 ，所以 ，故①正确.由于 ，而 ，所以直线 平面 不正确，故②错误.易证得 ,所以 平面 ，所以平面 平面 ，故③正确.由于 ,所以 是异面直线 与 所成角，在 中， ，故 ，也即异面直线 与 所成角为 ，故④正确.连接 ，则 ， 由①证明过程可知 平面 ，所以 平面 ，所以 是所求线面角， 在三角形 中， ，由余弦定理得 ，故⑤正确.综上所述，正确的序号为①③④⑤. 17. 【答案】（1） ；（2） . ( )1 1 1 1 1 1 1n nb b n n n n+ = = −+ + 2020 1 1 1 1 2 2 3 2020 2021 1 1 1 1 11 2 2 3 2020 2021 11 2021 2020 2021 S∴ = + + +× × × = − + − +⋅⋅⋅+ − = − =  2020 2021 2PA = AE AB⊥ PA ⊥ ABC PA AE⊥ AE ⊥ PAB AE PB⊥ / /BC AD AD AE A∩ = / /BC PAE ,DE AE DE PA⊥ ⊥ DE ⊥ PAE PAE ⊥ PDE / /BC AD PDA∠ PD BC Rt PAD∆ 2AP AD= = 45PDA∠ =  PD BC 45 BD / /BD AE AE ⊥ PAB BD ⊥ PAB DPB∠ PBD 5, 2 2, 3PB PD BD= = = 5 8 3 10cos = 42 5 2 2 DPB + −∠ = ⋅ ⋅ 4 π 10【解析】试题分析： （1）由已知得 ， 化简得 ， 故 ，所以 ， 因为 ，所以 . （2）因为 ，由 ， ， ，所以 ， 由余弦定理得 ，所以 18. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】解法一:(1)取 PA 中点 Q，连接 QD，QE， 则 QE∥AB，且 QE= AB ∴QE∥CD，且 QE=CD. 即四边形 CDQE 为平行四边形，CE∥QD. 又∵CE 平面 PAD，QD 平面 PAD， ∴CE∥平面 PAD. (2)连接 BD，取 BD 中点 O，连接 EO，CO 则 EO∥PD，且 EO= PD. ∵PD⊥平面 ABCD， ∴EO⊥平面 ABCD. 则 CO 为 CE 在平面 ABCD 上的射影， 即∠ECO 为直线 CE 与底面 ABCD 所成的角，∠ECO=45° 2[1 cos( )] 4sin sin 2 2A B A B− − + = + 2cos cos 2sin sin 2A B A B− + = 2cos( ) 2A B+ = − 3 4A B π+ = A B C π+ + = 4C π = 1 sin2S ab C⊥ = 6ABCS =  4b = 4C π = 3 2a = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 10c = 4 2 1 2 ⊄ ⊂ 1 2在等腰直角三角形 BCD 中，BC=CD=2，则 BD=2 ， 则在 RtΔECO 中，∠ECO=45°，EO=CO= BD= 2PD=2E0=2 ， ∴ ∴ ∴四棱锥 P-ABCD 的体积为 . 解法二：(1)取 AB 中点 Q，连接 QC，QE 则 QE∥PA ∵PA 平面 PAD，QE 平面 PAD ∴QE∥平面 PAD， 又∵AQ= AB=CD，AQ∥CD， ∴四边形 AQCD カ平行四迹形， 则 CQ∥DA ∵DA 平面 PAD，CQ 平面 PAD， ∴CQ∥平面 PAD， (QE∥平面 PAD.CQ∥平面 PAD，证明其中一个即给 2 分) 又 QE 平面 CEQ，CQ 平面 CEQ，QE CQ=Q， ∴平面 CEQ∥平面 PAD， 又 CE 平面 CQ， ∴CE∥平面 PAD. 2 1 2 2 2 1 (2 4) 2 62ABCDS = + × =底面 1 1 6 2 2 4 23 3P ABCD ABCDV S− = = × × =底面 4 2 ⊂ ⊄ 1 2 ⊂ ⊄ ⊂ ⊂  ⊂(2)同解法一. 19. 【答案】 (1)24 人；(2) ；(3)X 的分布列见解析；数学期望为 1 【解析】（1）由题意，得到分层抽样共抽取：3+6+6＝15 名员工， 其中该单位乙部门抽取 6 名员工， ∴该单位乙部门的员工人数为：6 24 人． （2）由题意甲部门抽取 3 名员工，乙部门抽取 6 名员工， 从甲部门和乙部门抽出的员工中，各随机选取一人， 基本事件总数 n 18， A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间包含的基本事件（a，b）有 12 个： （6，5.5），（6，6），（7，5.5），（7，6），（7，6.5），（7，7），（8，5.5），（8，6），（8， 6.5），（8，7），（8，7.5），（8，8）， ∴A 的睡眠时间不少于 B 的睡眠时间的概率 p ． （3）由题意从丙部门抽出的员工有 6 人，其中睡眠充足的员工人数有 2 人， 从丙部门抽出的员工中随机抽取 3 人做进一步的身体检查．用 X 表示抽取的 3 人中睡眠充 足的员工人数， 则 X 的可能取值为 0，1，2， P（X＝0） ， P（X＝1） ， P（X＝2） ， ∴X 的分布列为： X 0 1 2 P 2 3 60 15 × = 1 1 3 6C C= = 12 2=18 3 = 3 4 3 6 1 5 C C = = 2 1 4 2 3 6 3 5 C C C = = 1 2 4 2 3 6 1 5 C C C = = 1 5 3 5 1 5E（X） 1． 20. 【答案】（1） ；（2）实数 m 不存在，理由见解析． 【解析】（1）由题意得 ，解得 故椭圆的方程 为 ； （2）设 ， ，线段 的中点为 联立直线 与椭圆的 方程得，即 ， 即 ， ， 所以 ， 即 ．又因 点在圆 上， 可得 ， 解得 与 矛盾． 故实数 不存在． 21. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】（1）因为 ，其中 ，所以 . 所以， 时，所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 时，所以 的单调递减区间为 ； 时，所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； （2）由题意得 ，即 .由（1）知 在 内单调递增，要使 为 1 3 10 1 25 5 5 = × + × + × = { }e ( ) 2 2lnf x a x x ax= − + 0x > ( ) ( )( )2 22 x a x aaf x x ax x − +′ = − + = − 0a > ( )f x ( )0,a ( ),a +∞ 0a = ( )f x ( )0, ∞+ 0a < ( )f x 0, 2 a −   ,2 a − +∞   ( )1 1 1f a e= − ≥ − a e≥ ( )f x [ ]1,e对 恒成立. 只要 解得 .故 的取值范围是 . 22. 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】（1）由 消去参数 ，得直线 的普通方程为 又由 得 ， 由 得曲线 的直角坐标方程为 ， 即 ； （2）其 代入 得 ， 则 所以 . 23. 【答案】 (1) ．(2) 【解析】（1）当 时，不等式 可化为 ． 当 时， ，解得 ，故 ； 当 时， ，解得 ，故 ； 当 时， ，解得 ，故 ． 综上，当 时，不等式 的解集为 ． （2）∵ 对任意 成立， ( ) 21e f x e− ≤ ≤ [ ]1,x e∈ ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1, , f a e f e a e ae e  = − ≥ − = − + ≤ a e= a { }e 1 0x y− + = ( )2 23 9x y− + = 4 2 21 2 2 2 x t y t  = − +  = t l 1 0x y− + = 6cosρ θ= 2 6 cosρ ρ θ= x cos y sin ρ θ ρ θ =  = C 2 2 6 0x y x+ − = ( )2 23 9x y− + = 21 2 2 2 x t y t  = − +  = 2 2 6 0x y x+ − = 2 4 2 7 0t t− + = 1 2 1 24 2, 7 0t t t t+ = = > 1 2 1 2 4 2PA PB t t t t+ = + = + = 53 3  −  ， [ ]21− ， 0a = ( ) 7f x ≤ 2 2 7x x+ + ≤ 0x > 2 2 7x x+ + ≤ 5 3x≤ 50 3x< ≤ 1 0x− ≤ ≤ 2 2 7x x+ − ≤ 5x ≤ 1 0x− ≤ ≤ 1x < − ( )2 2 7x x− + − ≤ 3x ≥ − 3 1x− ≤ < − 0a = ( ) 7f x ≤ 53 3  −  ， ( ) 2 4f x x≤ + [ ]1 0x∈ − ，∴ 任意 成立， ∴ 对任意 成立， 所以 对任意 成立 又当 时， ， 故所求实数 的取值范围是 ． 2 2 2 4x x a x+ + − +≤ [ ]1 0x∈ − ， 2x a− ≤ [ ]1 0x∈ − ， 2 2x a x− +≤ ≤ [ ]1 0x∈ − ， [ ]1 0x∈ − ， ( ) ( )min max2 1 2 1 2 2x x+ = − + = − = −， a [ ]21− ，