2020年全国卷Ⅲ高考压轴卷数学（文科）含解析

绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学  注意事项：  答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。  回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2.若复数 满足 （ 是虚数单位），则 为（ ） A. B. C. D. 3．已知单位向量 ， 满足 ⊥ ，则 •（ ﹣ ）＝（　　） A．0 B． C．1 D．2 4.将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，则 的解析式 为（ ） A. B. C. D. 5．已知 x•log32＝1，则 4x＝（　　） A．4 B．6 C．4 D．9 6．在△ABC 中，若 sinB＝2sinAcosC，那么△ABC 一定是（　　） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、杨﹝辉﹞、朱﹝ 世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平 { }( 1)( 4) 0A x x x= + − ≤ { }2log 2B x x= ≤ A B∩ = [ ]4,2− [ )1,+∞ ( ]0,4 [ )2,− +∞ z 2(1 )z i i− = i z 1 3 1 2 1 4 1 5生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数 学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀， 在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启 蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹 何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的 分别为 ， ，则输出的 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8.已知等比数列 中，公比为 ， ，且 ， ， 成等差数列，又 ， 数列 的前 项和为 ，则 （ ） A. B. C. D. 9.设函数 ，若函数 的图象在 处的切线与直线 平行，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 10．已知函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0， ）的最小正周期为π，且关于 中心对称，则下列结论正确的是（　　） A．f（1）＜f（0）＜f（2） B．f（0）＜f（2）＜f（1） ,a b 3 1 n = { }na q 2 3a = 1− q 7 3logn nb a= { }nb n nT 9T = 36 28 45 32 2( ) lnf x a x bx= + ( 0, 0)a b> > ( )f x 1x = 2 0x y e− − = 1 1 a b + 1 1 2 3 2 2− 3 2 2+C．f（2）＜f（0）＜f（1） D．f（2）＜f（1）＜f（0） 11.已知抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，且该抛物线的 准线与椭圆相交于 、 两点，若 是正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 定义在R上的可导函数 满足 ，记 的导函数为 ，当 时恒有 ．若 ，则m的取值范围是 A． B． C． D． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.求值： _________． 14．已知 x，y 满足 若 的最小值为_________． 15、已知数列 的前 项和为 ，且 ，则数列 的前 6 项和为_____. 16、已知正三棱锥 ，点 、 、 、 都在半径为 球面上，若 、 、 两两相 互垂直，则球心到截面 的距离为__________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检 n 件，并按质量指 标值进行统计分析，得到表格如表： 质量指标值 等级 频数 频率 [60，75） 三等品 10 0.1 [75，90） 二等品 30 b [90，105） 一等品 a 0.4 [105，120） 特等品 20 0.2 合计 n 1 的 21 4y x= F 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b + = > > A B FAB∆ 3 1− 2 1− 3 3 2 2 ( )f x (2 ) ( ) 2 2f x f x x− = − + ( )f x ( )f x′ 1x ≤ ( ) 1f x′ < ( ) (1 2 ) 3 1f m f m m− − −≥ ( , 1]−∞ − 1( ,1]3 − [ 1, )− +∞ 1[ 1, ]3 − 3 3 1log 15 log 252 − = 0 4 2 1. x x y x y   +  − ， ， ≥ ≥ ≤ 2x y+ { }na n nS 2 1n nS a= − 1 na      （1）求 a，b，n； （2）从质量指标值在[90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取 6 件，再从这 6 件中 随机抽取 2 件，求至少有 1 件特等品被抽到的概率． 18.（12 分） 已知数列 满足 （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ,求 . ．(12 分) 将棱长为 的正方体 截去三棱锥 后得到如图所示几何体， 为 的中点. （1）求证 平面 ； （2）求几何体 的体积. 20．（12 分）中心在原点的椭圆 E 的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称，且椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 . （I）求椭圆 E 的标准方程； （II）过点 的直线 l（直线的斜率 k 存在且不为 0）交 E 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P 点 A 关于 x 轴的对称点为 D，直线 BD 交 x 轴于点 Q.试探究 是否为定值？请说 明理由. { }na 1 2 3 1 2 3 2 5 2 5 2 5 2 5 3n n n a a a a + + + + =− − − − { }na 1 1 n na a +       n nT nT 19 2 1111 DCBAABCD − ACDD −1 O 11CA //OB 1ACD 111 DAACB 2: 4C x y= y x= ( )2,0 ( )0, 2− | | | |OP OQ⋅21．（12 分）已知函数 ． （I）当 时，求 的单调区间； （II）若 有两个极值点 ,且 ，求 取值范围．（其中 e 为自然对数 的底数）． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 . （1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）设 P（0，-1），直线 l 与 C 的交点为 M，N，线段 MN 的中点为 Q，求 . 23.已知函数 ． （1）解不等式： （2）若函数 与函数 的图象恒有公共点，求 实数 的取值范围． 2( ) 2lnf x x ax x= − + 5a = ( )f x ( )f x 1 2,x x 1 2 1 1 3 x xe < < < a 2 2 21 2 x t y t  =  = − + 2 2 4 1 sin ρ θ= + − OP OQ ( ) 2f x x= − ( ) 4 ( 1)f x f x< − + ( ) 3,( 4)g x x x= − ≥ ( ) 2 ( 2)y m f x f x= − − − m2020 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学·参考答案 1、【答案】C 【解析】算出集合 后可求 . 【详解】 ， ， 故 ，故选 C. 2、【答案】B 【解析】利用复数的除法运算求得 ，问题得解. 【详解】由 可得： 所以 故选：B 3、C【分析】直接把已知代入数量积求解即可． 解：因为单位向量 ， 满足 ⊥ ，则 •（ ﹣ ）＝ ﹣ • ＝12﹣0＝1． 故选：C． 4、【答案】A 【解析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式． 【详解】将函数 的图象向左平移 个单位后所得图象对应的解析式为 ． 故选 A． ,A B BA { } [ ]( 1)( 4) 0 1,4A x x x= + − ≤ = − { } ( ]2log 2 0,4B x x= ≤ = ( ]0,4A B∩ = 1 2z = − 2(1 )z i i− = 2 2 1 (1 ) 1 2 2 i iz i i i = = = −− − + 1 2z =5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解． 解：∵x•log32＝1，∴x＝log23， ∴4x＝ ＝ ＝9， 故选：D． 6、B 解：∵sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝2sinAcosC， ∴cosAsinC﹣sinAcosC＝sin（C﹣A）＝0，即 C﹣A＝0，C＝A， ∴a＝c，即△ABC 为等腰三角形． 故选：B． 7、【答案】C 【解析】按流程图逐一执行即可. 【详解】输入的 分别为 ， 时，依次执行程序框图可得： 不成立 不成立 不成立 ,a b 3 1 1 93 32 2a = + × = 2 1 2b = × = a b< 1 1 2n = + = 9 1 9 27 2 2 2 4a = + × = 2 2 4b = × = a b< 2 1 3n = + = 27 1 27 81 4 2 4 8a = + × = 2 4 8b = × = a b< 3 1 4n = + = 81 1 81 243 8 2 8 16a = + × = 2 8 16b = × =成立 输出 故选：C 8、【答案】A 【解析】由 ， ， 成等差数列即可列方程求得： ，即可求得： ，即可求 得： ，再利用等差数列前 项和公式计算即可. 【详解】因为 ， ， 成等差数列，所以 ，解得： 又 ，所以 所以 所以 故选：A 9、【答案】D 【解析】由 可得： ， 又函数 的图象在 处的切线与直线 平行， 所以 所以 当且仅当 时，等号成立 所以 的最小值为 故选： D 10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可． 解：∵函数的最小周期是 π，∴ ＝π，得 ω＝2， a b< 4n = 1− q 7 3q = 13 −= n na 1nb n= − n 1− q 7 2 1 7q = − + 3q = 2 3a = 2 2 1 2 3 3 3n n n na a q − − −= = × = 3 1 3log log 3 1n n nb a n−= = = − ( ) ( )1 9 9 1 2 9 9 9 1 1 9 1 362 2 b bT b b b + − + −= + + + = = = 2( ) lnf x a x bx= + ( ) 2af x bxx ′ = + ( )f x 1x = 2 0x y e− − = (1) 2 1f a b′ = + = ( )1 1 1 1 1 11 2a ba b a b a b    + = + × = + × +       2 21 2 3 2 3 2 2b a b a a b a b = + + + ≥ + × = + 22 1, 1 2a b= − = − 1 1 a b + 3 2 2+则 f（x）＝sin（2x+φ）， ∵f（x）关于 中心对称， ∴2×（﹣ ）+φ＝kπ，k∈Z， 即 φ＝kπ+ ，k∈Z， ∵ ， ∴当 k＝0 时，φ＝ ， 即 f（x）＝sin（2x+ ）， 则函数在[﹣ ， ]上递增，在[ ， ]上递减， f（0）＝f（ ）， ∵ ＜1＜2， ∴f（ ）＞f（1）＞f（2）， 即 f（2）＜f（1）＜f（0）， 故选：D． 11、【答案】C【解析】由题知线段 是椭圆的通径，线段 与 轴的交点是椭圆的下焦点 ，且椭圆的 ， 又 ， ，由椭圆定义知 ，故选 C. 12【答案】D 【解析】构造函数 ，所以构 造 函 数 ， ， 所 以 的 对 称 轴 为 ， 所 以 ， 是 增 函 数 ； 是 减 函 数 。 ，解得： 13【答案】1 【解析】根据对数运算,化简即可得解. 【详解】由对数运算,化简可得 故答案为:1 14、【答案】5 【解析】 式组表示的平面区域，再将目标函数 z＝x+2y 对应的直线进行平移，可得当 x＝3 且 y＝1 时， AB AB y 1F 1c = 60FAB = ∠ 1 1 2 1 2 2 4, 2tan 60 3 3 3 FF cAF AF AF= = = = =  2 1 6 1 32 , 3, 33 3 cAF AF a a e a + = = ∴ = = = = ( ) (1 2 ) 3 1f m f m m− − −≥ )21()21()( mmfmmf −−−>−⇒ xxfxF −= )()( (2 ) ( ) 2 2f x f x x− = − + ⇒ xxfxxf −=−−− )()2()2( )()2( xFxF =− )(xF 1=x 1)(')(' −= xfxF [ ) ( ) )(,',,1 xFxFx >+∞∈ ( ] ( ) )(,0',1- xFxFx    ∈ 3 1,1-m 3 3 1log 15 log 252 − 1 2 3 3=log 15 log 25− 3 3=log 15 log 5− 3=log 3=1z 取得最小值． 【详解】作出不等式组 表示的平面区域， 其中 解得 A（3，1） 设 z＝x+2y，将直线 l：z＝x+2y 进行平移， 观察 y 轴上的截距变化，可得当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值 ∴z 最小值＝3+2＝5 故答案为：5． 15、【答案】 【解析】 由题意得 ，因为 数列{ }的前 6 项和为 16、【答案】 【详解】∵正三棱锥 P﹣ABC，PA，PB，PC 两两垂直， ∴此正三棱锥的外接球即为以 PA，PB，PC 为三条棱的正方体的外接球， 0 4 2 1 x x y x y ≥  + ≥  − ≤ 4 2 1 x y x y + =  − = 63 32 n-1 1 1 12 1( 2) 2 2 2n n n n n nS a n a a a a a− − −= − ≥ ∴ = − ∴ = 1 1 1 1 1 1 1=2 1 1 2 ( )2 n n n n S a a a a − −− ∴ = ∴ = ∴ = ∴ n 1 a 611 ( ) 632 1 321 2 − = −∵球的半径为 ， ∴正方体的边长为 2，即 PA＝PB＝PC＝2 球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC 的距离 设 P 到截面 ABC 的距离为 h，则正三棱锥 P﹣ABC 的体积 V S△ABC×h S△PAB×PC 2×2×2 △ABC 为边长为 2 的正三角形，S△ABC （2 ）2 ∴h ∴球心（即正方体中心）O 到截面 ABC 的距离为 ，故答案为 ． 17、解：（1）由 10÷0.1＝100，即 n＝100， ∴a＝100×0.4＝40， b＝30÷100＝0.3． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2）设从“特等品”产品中抽取 x 件，从“一等品”产品中抽取 y 件， 由分层抽样得： ， 解得 x＝2，y＝4， ∴在抽取的 6 件中，有特等品 2 件，记为 A1，A2， 有一等品 4 件，记为 B1，B2，B3，B4， 则所有的抽样情况有 15 种，分别为： A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4， B2B3，B2B4，B3B4， 其中至少有 1 件特等品被抽到包含的基本事件有 9 种，分别为： A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4， ∴至少有 1 件特等品被抽到的概率为：p＝ ． 12 分 18．解：（1）令 ， 当 时， ， 当 时， ，则 ， 故 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 ,3 2 5n n n n nS b a = = − 2n ≥ 1 1 1 3 3 3n n n n nb S S − −= − = − = 1n = 1 1 3b = 1 2 5 3n n nb a = =− 3 5.2n na +=（2） ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 19. 解：（1）取 中点为 ，连接 . 正方形 中 为 的中点, ∴ 为 的中点. 又∵正方体 中 , ∴ . ∴ . ∴四边形 为平行四边形, ∴ ∴ . ∴四边形 为平行四边形 .∴ . 又 平面 ， 平面 , ∴ 平面 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 （2） , ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 20．（1）因为椭圆 E 的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称， 所以椭圆 E 的右焦点为 ，所以 . 又椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 ，所以 ，又 ，  1 1 4 4 1 1[ ](3 5)[3( 1) 5] 3 (3 5) 3( 1) 5n na a n n n n+ = = −+ + + + + + 1 1 1 1 1 1[( ) ( ) ( )]3 1 5 3 2 5 3 2 5 3 3 5 3 5 3( 1) 5nT n n ∴ = − + − + ⋅⋅⋅ + −× + × + × + × + × + + + 166249 4 6 1 5)1(3 1 8 1 3 4 +=+−=    ++−= n n nn AC 1O 11111 ,, DODBOO  1111 DCBA O 11CA O 11DB 1111 DCBAABCD − 111 //// BBCCAA == 111 //// BBCCOO == 11 // BBOO = BBOO 11 OBBO 11 //= ODBO 11 //= 11BODO 11// DOBO ⊄BO 1ACD ⊂11DO 1ACD //OB 1ACD 11111111111 DCBCBCBABADABCCDAACB VVVV −− −−= 3 20 111111111 =−= −− ACDDDCBAABCDBADABCC VVV 3 4 1111 == −− DCBCBCBA VV 43 423 20 111 =×−=DAACBV 2: 4C x y= y x= 1,0（ ） 1c = 2,0（ ） 2a = 2 2 2 3b a c= − =所以椭圆 E 的标准方程为 . 4 分 （2）设直线 l 的方程为 ， ，则点 ，设 则点 ，联立直线 l 与椭圆 E 的方程有 ， 得 ，所以有 ，即 且 ，即直线 BD 的方程为 令 ，得点 Q 的横坐标为 ， 代入得： ， 所以 ，所以 为定值 4. 21.（1） 的定义域为 ， ， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . 5 分 （2∵ ， 有两个极值点 ∴令 ，则 的零点为 ，且 . ∴ ＞０, ∴ 或 ∵ ， ∴ . 根据根的分布，则 且 g( ) 2 1 4k > 1 2 2 1 2 2 16 3 4 4 3 4 kx x k x x k  + = +  = + 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x + −=+ − 0y = ( ) ( )1 2 1 21 2 2 1 1 2 1 2 2 2 4Q kx x x xx y x yx y y k x x − ++= =+ + − ( )2 2 8 32 24 21216 4 3 4Q k k kx k k k − −= = =−− + 2| | | | 2 4P QOP OQ x x kk ⋅ = ⋅ = ⋅ = | | | |OP OQ⋅ ( )f x ( )0 + ∞， ( ) ( )( )2 2 1 22 2 5 22 5 x xx xf x x x x x − −− + =′ = − + = ( )f x 10, 2      ( )2,+∞ 1 ,22      ( ) 22 2 22 x axf x x a x x =′ − += − + ( )f x ( ) 22 2g x x ax= − + ( )g x 1 2,x x 1 2 1 1 3 x xe < < < 2 16a∆ = − 4a < - 4a > 1 2 02 ax x+ = > 1 2 1=x x 4a > 1( ) 03g > 1 e 1 12 2 09 3 a× − + > 2 12 2 0a e e ⋅ − +