天津市红桥区2020届高三第二次模拟考试数学试题 含答案及评分标准

高三数学 第 1 页 共 12 页 高三数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。答卷 前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务 必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利！ 参考公式： 柱体的体积公式 ，其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高． 锥体的体积公式 ，其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高． 球的体积公式 ，其中 表示球的半径． 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号。 2．本卷共 9 题，每小题 5 分，共 45 分。 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合 ， ，则 (A) (B) (C) (D) （2）若数列 是等比数列，其前 项和为 ，且 ，则公比 (A) (B) (C) 或 (D) 或 （3）已知 ， ， ，则 (A) (B) (C) (D) ShV =柱体 S h ShV 3 1=锥体 S h 3 3 4 RV π=球 R { }2|A > a b c> > c b a> > a c b> >高三数学 第 2 页 共 12 页 （4）设 ， ，则 是 的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 （5）若直线 被圆 所截的弦长为 ，则实数 的值为 (A) 或 (B) 或 (C) 或 (D) 或 （6）已知正方体的体积是 ，则这个正方体的外接球的体积是 (A) (B) (C) (D) （7）将函数 的图像沿 轴向右平移 个单位长度，所得函数的图像关于 轴对称，则 的最小值是 (A) (B) (C) (D) （8）已知双曲线 的左顶点与抛物线 的焦点的距离为 ，且 双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ，则双曲线的焦距为 (A) (B) (C) (D) （9）已知函数 ，若函数 有三个零点，则实数 的取值范 围是 (A) (B) (C) (D) 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分． 0log: 2 >=− bab y a x )0(22 >= ppxy 4 )1,2( −− 22 32 4 52    ≤−− >−= 0,2 0,12)( 2 xxx xxf x mxfxg −= )()( m ( )0,∞− ( )+∞,1 ( )0,1 [ ]1,0高三数学 第 3 页 共 12 页 （10）若 为虚单位，则复数 . （11）某校三个社团的人员分布如下表（每名同学只能参加一个社团）： 学校要对这三个社团的活动效果进行抽 样调查，按分 层抽样的方法从社团成员中抽取 人， 结 果 武 术 社 被抽出 人，则这三个社团人数共有 . （12）已知二项式 的展开式的 二 项 式 系 数 之和为 ，则展开式中含 项的系数是 . （13）已知实数 满足条件： ，且 是 与 的等比中项，又是 与 的等差中项，则 . （14）曲线 在点 处的切线方程为 . （15）已知 是单位向量，且 ，若向量 满足 ，则 的最大值是 . 三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分 分） 在△ 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ， ， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值. 武术社 摄影社 围棋社 高一 高二 i =− 2)1( 3 i ______ 30 12 ______ 2 1( )nx x + 32 x ______ ba, 0> ba ），（ 2 31P 2 1=e l 4=x C AB F P AB l M PMPBPA 、、 321 kkk 、、 λ 321 kkk λ=+ λ 51 axxxf −= ln)( R∈a )(xf ex =1 2x )(xf a 2 3 2 ex > e高三数学 第 7 页 共 12 页 高三数学 参考答案 一、选择题 每题 5 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A C A A A B D D C 二、填空题 每题 5 分 10. 11. 150 12. 10 13. 14. 15. 三、解答题 16.（本小题满分 分） 解：（Ⅰ）因为 ；..............................3 分 且 ， ， ， 解得 ；.......................................................................6 分 （Ⅱ）因为 , 所以 ，...............................................................7 分 ,...........................................9 分 ，..........................................11 分 又 ,...........13 分 所以 ......................................15 分 17. （本小题满分 分） （Ⅰ）设“至少有一人命中目标”为事件 ， ......................................4 分 .........................................................6 分 i2 3 3 1− 34 −= xy 12 + 15 Cabbac cos2222 −+= 1=a 2=b 4 1cos =C 2=c 1cossin 22 =+ CC 4 15sin =C 8 15cossin22sin == CCC 8 71cos22cos 2 −=−= CC 3sin2cos3cos2sin)32sin( πππ CCC +=+ 16 3715)32sin( −=+ π C 51 A 4 1 3 2 4 3 3 1 4 3 3 2)( ×+×+×=AP 12 11=高三数学 第 8 页 共 12 页 （或设“两人都没命中目标”为事件 ， ..........4 分 “至少有一人命中目标”为事件 ， ..........6 分） （Ⅱ） 的取值情况可能为 0，1,2,3， ..........................................................10 分 的分布列为 ξ 0 1 2 3 P ...............................................13 分 以 。 ................................................15 分 18.（本小题满分 分） B 12 1 4 1 3 1)( =×=BP A 12 11 12 1-1)( ==AP ξ ( ) 27 1 3 1 3 1 3 10ξ =××==P ( ) 27 6 3 1 3 1 3 21ξ 1 3 =××== CP ( ) 27 12 3 1 3 2 3 22ξ 2 3 =××== CP ( ) 27 8 3 2 3 2 3 23ξ =××==P ξ 27 1 27 6 27 12 27 8 227 8327 12227 61ξ =×+×+×=E 15 F P A B E C D x y z高三数学 第 9 页 共 12 页 （Ⅰ）依题意，以点 为原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得 , ， ， ， , ， 。 向量 ,向量 ， ， ， ，....................................................2 分 即 , , ,..................................4 分 所以 平面 ...................................................................5 分 （Ⅱ）（1）设 为平面 的法向量， 则 即 , 不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量，....................................7 分 向量 于是有 ，............................................................................9 分 所以 ，得 （舍）.............................10 分 ， ，线段 的长为 ；.............................................................11 分 （2）设 为平面 的法向量， , 则 即 , 不妨令 ，可得 为平面 的一个法向量，.........................12 分 又 为平面 的一个法向量，....................................................13 分 A )0,0,0(A )0,0,2(B )0,3,2(C )0,3,0(D )0,,2( yE )1,2,1( mF )2,0,0(P )2,0,2( −=PB )0,3,0(=AD )1,2,1( mAF = 0=⋅ ADPB 0=⋅ AFPB ADPB ⊥ AFPB ⊥ AADAF = ⊥PB ADF ),,( zyxn = ADF    =⋅ =⋅ 0 0 nAF nAD    =++ = 02 0 zymx y 1=x )1,0,1( −=n ADF )0,3,2( −= yDE DEn DEnDEn ⋅ ⋅=⋅cos 2 1= 2 1 0)3(2101 )1(0)3(021 22 = +−+⋅++ −×+−×+× y y 5,1 == yy )0,1,2(E )0,3,2(C CE 2 ),,( zyxn = PED )2,1,2( −=PE )2,3,0( −=PD    =⋅ =⋅ 0 0 mPD mPE    =− =−+ 023 022 zy zyx 2=x )3,2,2(=n ADF )2,0,0(=AP ADE高三数学 第 10 页 共 12 页 所以 。..............................................................15 分 19.（本小题满分 分） （Ⅰ）由 题意可得 ，....................................3 分 得 ， ，.............................................................5 分 椭圆 ；..........................................................6 分 （Ⅱ）设 、 ,直线 为 ...................................7 分 由 ,得 ，.....................................8 分 显然 ，由韦达定理有: , ；...................10 分 因为 、 、 共线， 所以 ......................................................11 分 若 ..................................12 分 , ................................................................13 分 17 173cos ==⋅ APn APnAPn 51         =+ += = 14 9 1 2 1 22 222 ba cba a c 2=a 3=b 134: 22 =+ yxC ),( 11 yxA ),( 22 yxB AB )1( −= xky    =+ −= 134 )1( 22 yx xky 01248)43( 2222 =−+−+ kxkxk 0>∆ 34 8 2 2 21 +=+ k kxx 34 124 2 2 21 + −= k kxx ),( 11 yxA ),( 22 yxB )0,1(F 11 2 2 1 1 −=−= x y x yk 2 2 1 1 21 1 2 3 1 2 3 x y x y kk − − +− − =+ )11()1 1 1 1(2 3 2 2 1 1 21 −−−+−+−= x y x y xx 1)( 2 2 32 2121 21 ++− −+⋅−= xxxx )2 1(2 −= k高三数学 第 11 页 共 12 页 又 ，.........................................................................14 分 所以 。.............................................................................15 分 20.（本小题满分 分） （Ⅰ）函数 定义域为 ，......................................1 分 则 ，.............................................................2 分 （1）当 时，函数 是 上的增函数，无极值；..............4 分 （2）当 时，则 ， 所以 的单调增区间是 ；............................................................5 分 单调减区间是 ；...........................................................6 分 在 处取得极大值 ，无极小值；......................7 分 （Ⅱ） 因为 是函数 的零点， 则 ，得 ；............................8 分 所以 ；...........................................9 分 因为 ，............................................10 分 ，....................................................11 分 所以 ，................................................12 分 由（Ⅰ）知，函数 在区间 上单调递减，...........13 分 所以函数 在区间 上有唯一零点，.........................14 分 2 1 3 −= kk 2=λ 51 axxxf −= ln)( ( )+∞,0 x axaxxf −=−= 11)(' 0≤a )(xf ( )+∞,0 0>a axxf 1,0)(' == )(xf      a 1,0      +∞,1 a )(xf ax 1= 11ln)1( −= aaf ex =1 )(xf 0)( =ef e e e a 22 1 == x e xxf 2 1ln)( −= 022 3)( 2 3 >−= eef 022 5)( 2 2 5