云南省昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试数学（理科）试题 含答案及评分标准

1 昆明市 2020 届“三诊一模”高考模拟考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1．在复平面内，复数 z= 对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合 则 A∩B= A． B． C． D．{0,1,2} 3．已知一家便利店从 1 月份至 5 月份的营业收入与成本支出的折线图如下： 关于该便利店 1 月份至 5 月份的下列描述中，正确的是 A．各月的利润保持不变 B．各月的利润随营业收入的增加而增加 C．各月的利润随成本支出的增加而增加 D．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系 2 1 i i+ { 2, 1, , 2}, { 2 | },0 1,A B b b A= − − = + ∈ { 2, 1,0}− − { }1,0,1− { }2,0,2−2 4．已知点 P(1, )在双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线上，该双曲线的离心率为 A． B． C．2 D．4 5．已知点 则|AB|= A．1 B． C． D．2 6．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为 A．216 B．108 D．36 7．材料一：已知三角形三边长分别为 a，b，c，则三角形的面积为 ，其中 。这个公式被称为海伦—秦九韶公式。 材料二：阿波罗尼奥斯 在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 根据材料一或材料二解答：已知 中 则 面积的最大值为 3 2 2 1x y a b − = 2 3 3 3 (cos10 ,sin10 ), (cos100 ,sin100 )A B° ° ° ° 2 3 .54 3C ( )( )( )S p p a p b p c= − − − 2 a b cp + += ( )Apollonius ABC∆ , 4, 6BC AB AC= + = ABC∆3 A． B．3 C．2 D．6 8．已知函数 的图象向左平移 个单位后与 f(x)的图象重合，则 ω 的最小值 为 A．8 B．4 C．2 D．1 9．如图 1，已知 PABC 是直角梯形 在线段 PC 上 将 沿 AD 折起， 使平面 PAD⊥平面 ABCD，连接 PB，PC，设 PB 的中点为 N，如图 2．对于图 2，下列选项错误的是 A．平面 PAB⊥平面 PBC B．BC⊥平面 PDC C．PD⊥AC D．PB=2AN 10．已知 F 为抛物线 的焦点，点 P 为抛物线上一点，以线段 PF 为直径的圆与 x 轴相切于 点 M，且满足 则 p 的值为 A．4 B．3 C．2 D．1 11．已知函数 ， 是 的唯一极小值点，则实数的取值范 围为 A． B． C． D． 12．在 中，A= ，AB=AC=2，有下述四个结论： 5 5 ( ) ( )( 0)2sin xf x ω ϕ ω= + > 2 π , , ,PC A DB BA BC⊥ , AD PC⊥ PAD∆ ( )2 2 0x py p= > | | | |,| | 2,MF PM PF= = ( ) ( ) ( )2 214 4 42 xf x e x x k x x= − − + + 2x = − ( )f x )2 ,e− +∞ )3,e− +∞ )2 ,e +∞ )3,e +∞ ABC∆ 2 π4 ①若 G 为 的重心，则 ②若 P 为 BC 边上的一个动点，则 为定值 2 ③若 M，N 为 BC 边上的两个动点，且 则 的最小值为 . ④已知 P 为 内一点，若 且 则 λ+ μ 的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13．若 则 a1=▲ 14．若“∃x0∈ ”是真命题，则实数 a 的取值范围是▲. 15．在 ABC 中 ，在线段 AB 上，若 与△BDC 的面积之比为 3：1，则 CD=▲。 16．某校同时提供 A、B 两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播 40 分钟，并完成课后作业 20 分 钟，可获得积分 5 分；B 类选修课每次观看线上直播 30 分钟，并完成课后作业 30 分钟，可获得积分 4 分．每 周开设 2 次，共开设 20 周，每次均为独立内容，每次只能选择 A 类、B 类课程中的一类学习，当选择 A 类 课程 20 次，B 类课程 20 次时，可获得总积分共▲分．如果规定学生观看直播总时间不得少于 1200 分钟， 课后作业总时间不得少于 900 分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共▲分。(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~2l 题为必考题，每个试题考生都 必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 ABC∆ 1 1 3 3AG AB AC= +   ( )AP AB AC⋅ +   2,MN = AM AN⋅  3 2 ABC∆ 1,BP = ,AP AB ACλ µ= +   3 ( ) 1 2 0 5 5 5 22 1 ,x a x a x a xα− = + + + + ( )2 0R,ln 1 0x a+ − = , 4, 3AB ,BC= = 6B π= ADC∆5 (一)必考题：共 60 分 17．(12 分)已知数列{an}为正项等比数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若 (1)求数列{an}的通项公式; (2)从三个条件：①bn= ; ③bn= 中任选一个作为已知条件，求数列{bn}的前 n 项 和 Tn..注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．(12 分)已知四棱锥 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形 为正三角形，M 是 PC 的 中点，过 M 的平面 α 平行于平面 PAB，且平面 α 与平面 PAD 的交线为 ON，与平面 ABCD 的交线为 OE. (1)在图中作出四边形 (不必说出作法和理由)； (2)若 求平面 α 与平面 PBC 形成的锐二面角的余弦值. 19．(12 分) 已知椭圆 C： (a>b>0)左焦点为 F1(-1，0)，经过点 F 的直线与圆 ： 相交于 P，Q 两点，M 是线段 PF2 与 C 的公共点，且 (1)求椭圆 C 的方程 (2)与 C 的交点为 A，B，且 A 恰为线段 PQ 的中点，求△ABF2 的面积。 3 2 3 121, 6 .S a a a= + = 3 n n a 2 ;nnb a n= +② 2 log 3 na P ABCD− , PAD∆ MNOE 2 ,PC AB= 2 2 1x y a b + = 2F ( )2 21 8x y− + = 1| | | |MF MP=6 20．(12 分) 近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业。某高校毕业生小张 自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售。为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随 机摘取 150 个苹果测重(单位：克)，其重量分布在区间 内，根据统计的数据得到如图 1 所示的频 率分布直方图。 (1) 以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了 30 个苹果，求这 30 个苹果中重量在 内的个数 X 的数学期望； (2)小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的 游戏该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为 1 或 2，且这两种结果的概率相 [ ]100,400 ( ]300,4007 同；从出发格(第 0 格)开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图 2 所示的路径向前行进一次，若掷出 1 点， 即从当前位置向前行进一格(从第 k 格到第 k+1 格 若掷出 2 点，即从当前位置向前行进两格(从第 k 格到第 k+2 格 行进至第 31 格(获得福袋)或第 32 格(谢谢惠顾),游戏结束.设买家行进至第格的概率为 (i)求 p1、p2，并写出用 pi-2、pi-1 表示 的递推式; (ii)求 P32，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家. 21．(12 分) 已知 (1)若 证明： ； , N,k ∈ , N)k ∈ 0,( 0,1,2, ,32), 1ip i p= = ( 2,3, ,31)i p i =  ( ) ( ) ( ) 2sin , ln , 1.f x g x x h x x axx = = = − − [ ]0,1 ,x∈ ( ) ( )1f x g x +8 (2)对任意 都有 求整数 a 的最大值。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题 号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中，直线过点 倾斜角为 α．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 . (1)写出直线的参数方程及曲线 C 的直角坐标方程； (2)若与 C 相交于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，且 . 23．[选修 4-5：不等式选讲](10 分) 设函数 . (1)当 时，求函数 的定义域； (2)设 当 x∈ 时 成立，求 的取值范围. (0,1]x∈ ( ) ( )( ) 0,f xe h x g x+ − > ( ),1,0P 2sin 2cosρ θ θ= 2| | , sin3PM α= 求 ( ) ( )lg | 1| | 2 |f x x x a= − + + + 5a = − ( )f x ( ) | 1| | 2 | ,g x x x a= − + + + [ ]2,1− ( ), | 2 |g x x a− a9101112131415