2020年重庆市第八中学 高三（下）强化训练一 数学（理）试题（Word版含答案详解）

1 高 2020 级高三（下）强化训练一 理科数学 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个备选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．若复数 是纯虚数，则 A． B． C． D． 3．设等差数列 的前 项和为 ， ，则 A． B． C． D． 4．点 为圆 上的动点，点 ，点 是线段 的中点，则点 的轨 迹方程为 A． B． C． D． 5．下列命题为假命题的是 A． ， B． ， C． ， D． ， 6．执行如图所示的程序框图，若输入 的值为 ，则输 出 的值为 A． B． C． D． 7．已知平面 内有三个不共线的点 到平面 的距 离相等，则下列说法一定正确的是 A．平面 内所有的点到平面 的距离都相等 B．过 有且仅有一条直线 满足 且 C． D．平面 内有无数个点到平面 的距离等于点 到平面 的距离 8 ． 设 集 合 ， 那 么 集 合 中 满 足 条 件 “ ”的元素的个数为 A． B． C． D． 9．已知直线 ， ，点 为抛物线 上一动点，过 作 的 垂线，垂足分别为 ，则 的最小值为 A． B． C． D． { }16∀x 21 12 >− + x x Rx ∈∃ 0 0cos 0 =x Rx ∈∃ 0 1lg 0 >x N 28 N 3 2 1 0 α CBA ,, β α β A l α⊂l β//l β//AB α β C β ( ) { }{ }6,5,4,3,2,1,1,1,,,,, 654321 =−∈= iaaaaaaaA i A 22 654321 ≤+++++≤− aaaaaa 35 50 60 180 2:1 −=xl 3:2 += xyl A xyC 4: 2 = A 21,ll QP, QAPA + 4 24 221+ 231+2 10．小赵和小钱摩托车比赛（比赛过程中，两人均匀速行驶），刚开始小赵领先，但中途 小赵摩托车坏了，小钱趁机超过了小赵，小赵修好车后，奋起直追，最终超过小钱先抵达 终点．如果用 分别表示小钱和小赵所行走的路程， 表示时间，则下图中与该事实符 合的是 A B C D 11．已知数列 满足 ，若 ，则 的取值范围是 A． B． C． D． 12．已知双曲线 的左焦点为 ，点 为圆 与双曲线 位于第二象限的交点，直线 与圆 交于 两点．记 和 的面积分别为 ，若 ，且 ，则双曲线 的离心率为 A． B． C． D． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题考生都必须 做。第 22 题～第 23 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填写在答题卡相应位置 上． 13 ． 已 知 均 为 单 位 向 量 ， 且 ， 则 夹 角 的 余 弦 值 为 __________． 14．从编号为 的 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是 的样本， 若编号为 的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为__________． 15．对于三次函数 给出定义：设 是函数 的导 函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称点 为 函数 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个 三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．给定函数 ，请你 根 据 上 面 探 究 结 果 ， 计 算 __________． 16．如图所示，正方体 的棱 ，点 分别为棱 上的动点，记 ．当 取最 21,ss t { }na    + =+ 为偶数 为奇数 na naa n n n ,1 ,2 1 153 9 ≤≤ a 1a [ ]0,1−    − 0,4 3     4 3,0 [ ]1,0 ( )0,01: 2 2 2 2 >>=− ba b y a xE ( )0,1 cF − A 222: cyxO =+ E mkxyl +=: O BA, ABF1∆ OAB∆ 21,SS 21 2SS = 3 4tan −=∠AOB E 3 4 2 3 5 ba, ( ) ( )baba 342 −⊥+ ba, 800,,3,2,1  800 50 38 ( ) ( )023 ≠+++= adcxbxaxxf ( )xf ′ ( )xfy = ( )xf ′′ ( )xf ′ ( ) 0=′′ xf 0x ( )( )00 , xfx ( )xfy = ( ) 133 23 ++−= xxxxf =    ++    +    +     1010 2019 1010 3 1010 2 1010 1 ffff  1111 DCBAABCD − 2=AB FE, 11,CCBB FDEFAEa 1++= a3 大值时，三棱锥 的体积为 ，当 取最小值时，三棱锥 的体积为 ， 则 __________ ； __________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分 12 分）已知函数 （1）讨论 在 上的单调性； （2）锐角 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，求 的面积的最大值． 18．（本小题满分 12 分）如图，四棱台 的底面是矩形，平面 平 面 ， ， ， ． （1）求证： ； （2）若二面角 的二面角的余弦值为 ，求 的长． 19．（本小题满分 12 分）已知椭圆 ( )的离心率为 ，椭圆的四个 顶点所围成菱形的面积为 ． （1）求椭圆 的方程； （2）直线 交椭圆 于 两点，直线 交椭圆 于 两点，若 AEFD −1 1V a AEFD −1 2V =1V = 2 1 V V 2 1cossin)4(cos)( 2 −−+= xxxxf π )(xf     3,12 ππ ABC∆ A B C a b c 2 1)2( −=Bf 2=b ABC∆ 1111 DCBAABCD − ⊥ABCD 11AABB 22 11 == BAAB 21 =AA 51 =BB 1AADC ⊥ DCCB −− 1 10 10− AD 1: 2 2 2 2 =+ b y a xE 0>> ba 2 1 34 E xkyl 11 : = E CA, xkyl 22 : = E DB,4 ．求四边形 的面积． 20．（本小题满分 12 分）随着社会的发展进步，人类对能源的需求加大，近年来，世界各 国都重视新能源的开发与利用。我国也加大了对新能源的研发。比如，国内某汽车品牌研 发了一款新能源汽车，并在出厂前对 1000 辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指 新能源汽车所装载的燃料或电池所能提供给车行驶的最远里程）的测试．测试数据的频率 分布直方图如下： （1）估计这 1000 辆汽车的单次最大续航里程的平均值 （同一组中的数据用该组区间 的中点值代表） （2）根据大量的测试数据，发现本款汽车的单次最大续航里程 近似地服从正态分布 ，经计算第（1）问中样本标准差 的近似值为 50．用样本平均数 作为 的 近似值，用样本标准差 作为 的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰 在 200 千米到 350 千米之间的概率． （3）某汽车经销商为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动， 客户可通过转转盘（转盘为圆形，沿直径一分为二，涂蓝绿二色）的结果，操控微型遥控 车在方格图上行进，若遥控车停在“胜利大本营”，可获得购车优惠券．显然转到蓝、绿的 概率都是 ，方格图上标有第 0 格、第 1 格、第 2 格、……、第 2020 格．遥控车开始在 第 0 格，客户每转一次转盘，遥控车向前移动一次，若转到蓝色，遥控车向前移动一格 （从 到 ），若转到绿色，遥控车向前移动两格（从 到 ），直到遥控车移到第 2019 格（失败大本营）或第 2020 格（成功大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第 格 的概率为 ，其中 ，试说明 是等比数列， 并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车． 参 考 数 据 ： 若 随 机 变 量 服 从 正 态 分 布 ， 则 ： ； ； ． 4 3 21 −=⋅kk ABCD x X ),( 2σµN s x µ s σ 2 1 k 1+k k 2+k n( )2020,,2,1 =nPn 10 =P { }( )2019,,2,11 =− − nPP nn ξ ),( 2σµN 6827.0)( ≈+≤+−=−+−=∆ mkmkmk 2 2 21221 43 124, 43 8 k mxx k kmxx + −= + −=+ ( )( ) ( ) 2 22 2 2121 2 2121 43 123 k kmmmmkxmkxyy + −=+++=++= 4 3 124 123 2 22 −= − − m km 2 34 2 2 += km ( ) 2 22 2 43 34481 k mkkAB + −−⋅+= O AB 21 k md + = ABCD ( ) 22 22 2 143 34481224 k m k mkkdABSS OABABCD + × + +−⋅+=⋅== ∆ ( ) 34 43 34122 43 2 3432 34448 2 2 22 2 22 2 = + += +       +       ++− ⋅= k k k kkk ABCD 34 BA， ( ) ( )2211 ,,, yxByxA    =+ = 134 22 1 yx xky 2 1 1 12 1 1 43 32, 43 32 k ky k x + = + =         ++ 2 1 1 2 1 43 32, 43 32 k k k A11 同理可得： ．·····8 分 由 得 ． 所以四边形 的面积 ．·····12 分 20．解：（1） ； ·····4 分 （2） ·····8 分 （3）由题设：遥控车移到第 格有下列两种情况：①先移到第 格， 又转到绿色，其概率为 ；②先移到第 格，又转到蓝色，其概率为 ，所以 ，·····9 分 所以 ．又因为 ，所以 是以 首项， 为公比的等比数列．·····10 分 法 一 ： 所 以 ， 累 加 得 ， 即 ．         ++ 2 2 2 2 2 43 32, 43 32 k k k B 4 3 21 −=⋅kk 2 1 4 3 kk −= ABCD 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1221 43 32 43 32 43 32 43 3222 144 k k kk k k yxyxSS OABABCD + ⋅ + − + ⋅ + =−××== ∆ ( ) 92416 3434 12 16 10818 4 324 1212169 4 324 2 2 4 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1 2 21 2 2 ++ + = ++ + = +++ + = kk k k k kk kkkk kk ( ) 34 34 3434 22 2 2 2 = + + = k k 30040505.03552.030545.02552.02051.0 =×+×+×+×+×=x ( ) ( ) ( )σµσµ +≤≤−=+≤≤×−=≤≤ XPXPXP 250300502300350200 8186.02 9545.06827.0 =+= ( )2 2019n n≤ ≤ 2n − 2 1 2 nP − 1n − 1 1 2 nP − 2 1 1 1 2 2n n nP P P− −= + ( )2 2019n≤ ≤ ( )1 1 2 1 2n n n nP P P P− − −− = − − 1 1 0 1 1,2 2P P P= − = − { }1n nP P −− 1 0 1 2P P− = − 1 2 − 1 1 2 n n nP P −  − = −   0 1 112 2 11 2 n nP P   − − −     − =  − −   2 1 1+3 3 2 n nP  = −  12 所 以 ， ， 所 以 ，即此方案不能吸引顾客购买该款新能源汽车．·····12 分 法二：由题设， ， ，所以 ，即此方案不 能吸引顾客购买该款新能源汽车． 21．解：（1）法一： 的定义域为 ， ······1 分 ①当 时， ， 在 单调递减，当 时， ，与题 设矛盾．·····2 分 ② 当 时 ， 当 时 ， ， 单 调 递 减 ； 当 时 ， ， 单 调 递 增 ． 所 以 ， 又 ， 所 以 ， ． 综上所述， ．·····4 分 法二：因为 ，所以 在 处取极小值． 所以 ，解得 ．····3 分 当 时， ，当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增．所以 ． 综上所述， ．·····4 分 （2）法一：由（1）得 ①当 时，由（1）知 ， ，所以 ． 所以， 在 无零点．····6 分 ②当 时，由 得 为 的一个零点．····7 分 ③当 时， ， 在 单调递增，且 ， ，所以 在 有唯一零点 且 ． 当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增．···9 分 又 ， ． 所以 在 有唯一零点 ．···10 分 ④当 时， ． 令 ，由（1）知 在区间 单调递增， 2019 2019 2 1 1 3 3 2P = − × 2020 2018 2018 2019 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2P P  = = + × = + ×   2020 2019P P< 2020 2018 1 2P P= 2019 2018 2017 1 1+2 2P P P= 2020 2019P P< ( )xf ( )+∞− ,1 ( ) 1 1 +−=′ xaxf 0≤a ( ) 0x ( ) ( ) 00 =< fxf 0>a 111 −+=′ xx xxf 01 −+−= xxxxxg ( )0,1−∈x ( ) 01ln ≥+− xx 0sin xg ( )xg ( )0,1− 0=x ( ) 00 =g 0=x ( )xg ( )π,0∈x ( ) xxxg cos1 11 −+−=′ ( )xg′ ( )π,0 ( ) 010 +−=    ′ π π g ( )xg′ ( )π,0 0x     ∈ 2,00 π x ( )0,0 xx∈ ( ) ( )xgxg ,0′ 021ln77.1ln21ln122 +−= πππg ( )xg ( )π,0 2x [ )+∞∈ ,πx ( ) ( ) ( ) 11lnsin1ln −+−≥−+−= xxxxxxg ( ) ( ) 11ln −+−= xxxh ( )xh [ )+∞,π13 所以 ，所以 在区间 无零点． 综上所述， 有且仅有两个零点．···12 分 法二：由（1）得 ， ． ．···6 分 ①当 时， ， 单调递增， ， 所以存在唯一 使得 ，当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增． 又 ， 所以 在 存在两个零点 ，其中 ．···10 分 ②当 时， ． 令 ， 所以 在 单调递增，所以 所以 ，所以 在 无零点． 综上所述， 有且仅有两个零点．···12 分 22．解：（1）曲线 的普通方程： ；………………………3 分 直线 的直角坐标方程： ……………………5 分 （2）设直线 的参数方程为： （ 为参数）………………6 分 带入 ，得： ，∴ …8 分 ∴ ………………………10 分 23．解（1）∵ …………………2 分 ( ) ( ) ( ) 01ln1 >+−−=≥ πππhxh ( )xg [ )+∞,π ( )xg ( ) ( ) ( )1,sin1ln −>−+−= xxxxxg ( ) 00 =g ( ) ( ) ( ) x x xgxxxg sin 1 1,cos1 11 2 + + =′′−+−=′ ( ]π,1−∈x ( ) 0>′′ xg ( )xg′ ( ) ( ) 01 12,010 >+−=′=+=+−=′−+−= x x xxhxxxh ( )xh ( )+∞,π ( ) ( ) ( ) 01ln1 >+−−=> πππhxh ( ) 0>xg ( )xg ( )+∞,π ( )xg C 1925 22 =+ yx l 0323 =−+ yx l       = −= ty tx 2 3 22 t 1925 22 =+ yx 225)2 3(25)22(9 22 =+− tt 06367 2 =−− tt 7 230 7 634)7 6( 2 =×+=−=+=+ QPQP ttttMQMP         ≤−− −− 2 1 02 x x 3 4>x 2−− xxxxmm 56212 ≤−−− xx 542 >− mm 5>m 5−