安徽省示范高中培优联盟2020年高二数学（文）春季联赛试题（Word版带答案）

绝密★启用前 安徽省示范高中培优联盟 2020 年春季联赛(高二) 数学(文科) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，第 I 卷第 1 至第 2 页，第 II 卷第 3 至第 4 页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。 考生注意事项： 1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上 所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。 2.答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3.答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清 晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清 楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸 上答题无效。 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。) (1)已知全集 U＝{x∈N*|x≤7}，集合 M＝{1，3，5，7}，集合 N＝{3，4，5，6，7}，则( M) ∩N＝ (A){1，2，4，6} (B){3，5，7} (C){4，6} (D){2} (2)设复数 z＝ (其中 i 为虚数单位)，则复数 z 的共轭复数 在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)在集合{1，2，3，4，5}中任取两个不同的数 x，y，则事件 x＋y≤5 的概率等于 (A)0.3 (B)0.4 (C) (D)0.5 (4)“a ， ， 2 1 4 i i xy < −为 。 (15)以双曲线 C： 的右焦点 F 为圆心，半焦距为半径作圆，与双曲线 的渐近线交于 O，A，B 三点。若△AOB 的周长为 7a，则双曲线 C 的离心率为 。 (16)已知对一切 x>0，不等式 >a 恒成立，则 a 的取值范围为 。 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。) (17)(本题满分 10 分) 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，满足 a1＝1，anan＋l＝4Sn－1。 (I)求数列{an}的通项公式； (II)bn＝ ，求数列{bn}的前 n 项和 Tn。 (18)(本题满分 12 分) 已知△ABC 中，A、B、C 的对边分别为 a、b、c， 。 (I)求角 A； (II)若 a＝ ，求 b2＋bc 的取值范围。 (19)(本题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠APC＝90°，∠BPD＝120°，PB＝ PD。 (I)求证：平面 APC⊥平面 BPD； (II)若 AB＝2AP＝2，求三棱锥 C－PBD 的体积。 (20)(本题满分 12 分) Fibonacci 数列又称黄金分割数列，因为当 n 趋向于无穷大时，其相邻两项中的前项与后项的 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1xe x − 1 2 1 n na a+ + sin sintan cos cos B CA B C += + 3比 值 越 来 越 接 近 黄 金 分 割 数 。 已 知 Fibonacci 数 列 的 递 推 关 系 式 为 。 (I)证明：Fibonacci 数列中任意相邻三项不可能成等比数列； (II)Fibonacci 数列{an}的偶数项依次构成一个新数列，记为{bn}，证明：{bn＋1－H2·bn}为等比 数列。 (21)(本题满分 12 分) 已知椭圆 C： 的离心率为 ，且经过点 M(1， )。 (I)求椭圆 C 的标准方程； (II)已知直线 l 不过点 P(0，1)，与椭圆 C 交于 A、B 两点，记直线 PA、PB 的斜率分别为 k1、 k2，且满足 k1＋k2＝1，求证：直线 l 过定点，并求出该定点坐标。 (22)(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝ex－ax。 (I)讨论函数 f(x)的单调性； (II)证明：当 a＝3 时，函数 g(x)＝f(x)－xlnx 有且只有两个零点。 1 5 0 6182 + ≈- . 1 2 1 2 1 3n n n a a a a a n− − = = = + ≥    ， 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 3 2安徽省示范高中培优联盟 2020 年春季联赛（高二） 数学（文科）试题答案 选择题：1-12 CABBA CCDDA CB 1. C【解析】∵ ， ，∴ ． 2. A【解析】 ，所以 对应的点位于第一象限． 3. B【解析】不妨令 ，则 的不同取值有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种，其中满足 的有 ， ， ， 共 4 种，，所以事件 的概率为 ． 4. B【解析】方程 有两个不同实根 且 ，所以“ ”是“方程 有两个不同实根”的必要不充分条件． 5.A【解析】对于选项 A，甲的逻辑推理能力指标值为 4，乙的逻辑推理能力指标值为 3，所以 甲的逻辑推理能力优于乙的逻辑推理能力，故 A 正确；对于选项 B，甲的数学建模能力指标 值为 3，乙的直观想象能力指标值为 5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力 指 标 值 ， 故 B 错 误 ； 对 于 选 项 C ， 甲 的 六 维 能 力 指 标 值 的 平 均 值 为 ，乙的六维能力指标值的平均值为 ， ，故 C 错误；对于选项 D，甲的数学运算能力指标值为 4，甲的直观想象能力指标值为 5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故 D 错误．故选 A. 6.C【解析】设 ， ，则 ， ， ， ． 7.C【解析】两圆方程相减得公共弦方程为 ，圆心 ，到公共弦的距离为 ，所以所求弦长为 ． 8.D 【 解 析 】 ， 由 ， { }1,2,3,4,5,6,7U = { }2,4,6U M = ( )U M N { }4,6= ( )( ) ( )( ) 1 i 2 i1 i 1 3i 2 i 2 i 2 i 5 − −− −= =+ + − 1 3i5 5z = + x y< ( ),x y ( )1,2 ( )1,3 ( )1,4 ( )1,5 ( )2,3 ( )2,4 ( )2,5 ( )3,4 ( )3,5 ( )4,5 5x y+ ≤ ( )1,2 ( )1,3 ( )1,4 ( )2,3 5x y+ ≤ 4 0.410 = 2 2 1 0ax x+ + = ⇔ 1a < 0a ≠ 1a < 2 2 1 0ax x+ + = 1 23(4 3 4 5 3 4)6 6 + + + + + = 1 (5 4 3 5 4 3) 46 + + + + + = 23 46 < AB a=  AC b=  3a = 4b = 6a b⋅ =  1 1 1 2 2 2AD BE a b b a   ⋅ = + ⋅ −             2 2 2 21 1 1 1 1 13 4 6 22 4 4 2 4 4a b a b= − + − ⋅ = − × + × − × = −    3 4 16 0x y+ − = ( )1 0,0C 2 2 16 16 53 4 d −= = + 2 2 16 242 4 5 5  − =   2 1( ) cos 3sin cos sin 22 6f x x x x x π = + − = +   32 2 22 6 2k x k π π ππ π+ ≤ + ≤ +， 得 ， ， 所 以 的 单 调 递 减 区 间 为 ， ．可知①正确；由 ，可知 的图象关于直线 对 称，所以②正确；当 时， ，所以 ，故③ 正确． 9.D【解析】抛物线的标准方程为 ，则 ，准线方程为 ，由 得 到准线的距离为 ，所以 ，所以 ． 10.A 【 答 案 】 由 条 件 知 （ ），则 （当且仅当 时等号成立）． 11.C【解析】因为 和 都是奇函数，所以 是偶函数，排除 B 和 D．当 取接近于 的正数时，应有 ，所以排除 A，因此选择 C 项． 12.B【解析】由题，连接 ，交 与点 ，由题， ，设 ，则 ， ，六棱锥的高 ， ，则 ， 令 ， ， ，令 ，即 ， ，则 ，则 ，所以体积最大值为 。 13. 【 答 案 】 或 ． 或 或 ． 14.【答案】 ． 因为 ， ，所以 表示的数对对 应的点 在椭圆 的内部，且在第一象限，其面积为 ，故，得 ． 15.【答案】 ．由点到直线的距离公式得圆心到渐近线的距离为 ，因为圆的半径为 ， 所以 ，同理 ．因为 ，所以 ，所以 k ∈Z 2 6 3k x k π ππ π+ ≤ ≤ + k ∈Z ( )f x 2,6 3k k π ππ π + +   k ∈Z sin 2 13 3 6f π π π    − = × − + = −         ( )f x 3x π= − [ , ]4x π π∈ 2 132 ,6 3 6x π π π + ∈    3( ) sin 2 1,6 2f x x π   = + ∈ −      2 1 4x y= 10,16F      1 16y = − 2PF = ( )0 0,P x y 2 0 1 216y  − − =   0 31 16y = 4 2 ab −= 0 4a< < 1 1 ba −+ 1 4 1 2 a a −= −+ 1 1 5+1 2 2 a a += −+ 1 1 52 1 2 2 a a +≥ ⋅ −+ 52 2 = − 2 1a = − siny x= e 1 e 1 x xy += − ( ) e 1sin e 1 x xf x x += ⋅ − x 0 ( ) 0f x > OM CD K OM CD⊥ OK x= 2 3 3CD x= 5KM x= − 2 2 2 225 10 25 10h KM OK x x x x= − = − + − = − 2 23 4 6 2 34 3ABCDEFS x x= ⋅ ⋅ =正六边形 21 2 3 25 103 3ABCDEFV S h x x= ⋅ = ⋅ −正六边形 4 52 3= 25 103 x x⋅ − ( ) 4 525 10f x x x= − 5(0, )2x∈ ( ) 3 4100 50f x x x′ = − ( ) 0f x′ > 4 32 0x x− < 2x < ( ) ( )2 80f x f =≤ 2 3 8 15803 3V × =≤ 38 15 cm3 1 0m− ≤ ≤ 2em ≥ ( ) 2f m ≥ ⇔ 0 3 2 m m ≤  + ≥ 0 ln 2 m m >  ≥ ⇔ 1 0m− ≤ ≤ 2em ≥ 8m n ix iy [ ]0,2∈ 2 1 4 i i xy < − 2 2 2 m n π ≈× ( ),i ix y 2 2 14 x y+ = 2 1 4 2 π π× × = 8m n π ≈ 4 7 7 b c 2 22 2OA c b a= − = 2OB a= tan bAOx a ∠ = sin bAOx c ∠ = AB，所以 ，得 ，所以 ， 解得 ． 16. 【 答 案 】 ． 时 ， ， 令 ， 则 ，当 时， ，所以 ，符合题意；当 时，由 得 （ ）， 易 得 时 ， ， 所 以 ， 这 与 矛盾．所以 的取值范围为 ． 17.【解】（1）∵ ，∴ ，两式相减得 ， ∵ 为正项数列，∴ ，∴ ，∴数列 的奇数项和偶数项分别成等 差数列．在 中令 得， ，∵ ，∴解得 ，故数列 为等差数列，且公差为 ，∴ ，即数列 的通项公式为 ． （5 分） （2）由（1）知 ，则 ． （10 分） 18. 【 解 】（ 1 ） 由 得 ， 即 ， 也 即 ， 所 以 ， 所 以 或 （ 不 成 立 ），所 以 ，则 ． （6 分） （2）由正弦定理得 ，所以 ， ．因为 ，所以 ， 所 以 ．因为 ，所以 ，所 2 sinOA AOx= ∠ 42 2 b aba c c = × × = 42 2 7aba a ac + + = 4 3b c= ( )2 2 216 9c a c− = 4 7 7 ce a = = ( ],1−∞ 0x > e 1x ax − > ⇔ e 1 0x ax− − > ( ) e 1xf x ax= − − ( ) exf x a′ = − 1a ≤ ( ) 0f x′ > ( ) ( )0 0f x f> = 1a > ( ) 0f x′ = lnx a= ln 0a > ( )0,lnx a∈ ( ) 0f x′ < ( ) ( )0 0f x f< = e 1 0x ax− − > a ( ],1−∞ 1 4 1n n na a S+ = − 1 2 14 1n n na a S+ + += − ( )1 2 14n n n na a a a+ + +− = { }na 1 0na + ≠ 2 4n na a+ − = { }na 1 4 1n n na a S+ = − 1n = 1 2 14 1a a a= − 1 1a = 2 3a = { }na 2 ( )1 2 1 2 1na a n n= + − = − { }na 2 1na n= − ( )( )1 2 1 1 1 1 1 2 1 2 3 2 2 1 2 3n n n b a a n n n n+ +  = = = − + + + +  1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 3n nT b b b n n      = + + + = − + − + + −     + +       1 1 1 2 3 2 3n  = − +  ( )3 2 3 n n = + sin sintan cos cos B CA B C += + sin sin sin cos cos cos A B C A B C += + sin cos sin cosA B A C+ cos sinA B= cos sinA C+ sin cosA B cos sinA B− =cos sinA C sin cosA C− ( )sin A B− ( )sin C A= − A B C A− = − ( ) ( )+A B C A π− − = ± 2B C A+ = 3A π= 2sin sin sin b c a B C A = = = 2sinb B= 2sinc C= 3A π= 2 3C B π= − 2b bc+ 2 24 sin sin sin 3B B B π  = + −     23 34 sin cos sin2 2B B B  = +    ( )3sin 2 3 1 cos2B B= + − 2 3sin 2 33B π = − +   20 3B π< < 23 3B π π π− < − ( )f x R 0a > ( ) 0f x′ = lnx a= lnx a< ( ) 0f x′ < ( )f x lnx a> ( ) 0f x′ > ( )f x 0a ≤ ( )f x R 0a > ( )f x ( ),ln a−∞ ( )ln ,a +∞ ( ) 0g x = ⇔ ln 3 0 xe xx − − = ( ) ln 3 xex xx ϕ = − − ( ) 2 1( ) xe x xx x ϕ − −′ = ( )( ) 1xp x e x x= − − 0 1x< ≤ ( ) 0p x < 1x > ( ) 1 0xp x xe′ = − > 1 1x > 1( ) 0p x = ( )10,x x∈ ( ) 0p x < ( ) 0xϕ′ < ( )xϕ ( )1,x x∈ +∞ ( ) 0p x > ( ) 0xϕ′ > ( )xϕ ( )xϕ 1( )2 ϕ 2 ln 2 3 0e= + − > (1) 3 0eϕ = − < 3 3 (3) ln3 3 5 03 3 e eϕ = − − > − > ( )xϕ 1 ,12      ( )1,3 ( )g x