昆明市 2020 届“三诊一模”高考模拟考试
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
1．在复平面内，复数 z= 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合 则 A∩B=
A． B． C ．
D．{0,1,2}
3．已知一家便利店从 1 月份至 5 月份的营业收入与成本支出的折线图如下：
关于该便利店 1 月份至 5 月份的下列描述中，正确的是
A．各月的利润保持不变
B．各月的利润随营业收入的增加而增加
C．各月的利润随成本支出的增加而增加
D．各月的营业收入与成本支出呈正相关关系
4．已知点 P(1, )在双曲线 (a>0，b>0)的一条渐近线上，该双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．4
5．已知点 则|AB|=
A．1 B． C． D．2
6．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体
积为
2
1
i
i+
{ 2, 1, , 2}, { 2 | },0 1,A B b b A= − − = + ∈
{ 2, 1,0}− − { }1,0,1− { }2,0,2−
3
2 2
1x y
a b
− =
2 3
3 3
(cos10 ,sin10 ), (cos100 ,sin100 )A B° ° ° °
2 3A．216
B．108
D．36
7．材料一：已知三角形三边长分别为 a，b，c，则三角形的面积为 ，
其中 。这个公式被称为海伦—秦九韶公式。
材料二：阿波罗尼奥斯 在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两
个定点 F1，F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。
根据材料一或材料二解答：已知 中 则 面积的最大值为
A． B．3 C．2 D．6
8．已知函数 的图象向左平移 个单位后与 f(x)的图象重合，
则 ω 的最小值为
A．8 B．4 C．2 D．1
9．如图 1，已知 PABC 是直角梯形 在线段 PC 上 将
沿 AD 折起，使平面 PAD⊥平面 ABCD，连接 PB，PC，设 PB 的中点为 N，如图
2．对于图 2，下列选项错误的是
A．平面 PAB⊥平面 PBC B．BC⊥平面 PDC
C．PD⊥AC D．PB=2AN
10．已知 F 为抛物线 的焦点，点 P 为抛物线上一点，以线段 PF 为直径的圆
与 x 轴相切于点 M，且满足 则 p 的值为
A．4 B．3 C．2 D．1
11．已知函数 ， 是 的唯一极小值点，则
.54 3C
( )( )( )S p p a p b p c= − − −
2
a b cp
+ +=
( )Apollonius
ABC∆ , 4, 6BC AB AC= + = ABC∆
5 5
( ) ( )( 0)2sin xf x ω ϕ ω= + >
2
π
, , ,PC A DB BA BC⊥ , AD PC⊥
PAD∆
( )2 2 0x py p= >
| | | |,| | 2,MF PM PF= =
( ) ( ) ( )2 214 4 42
xf x e x x k x x= − − + + 2x = − ( )f x实数的取值范围为
A． B．
C． D．
12．在 中，A= ，AB=AC=2，有下述四个结论：
①若 G 为 的重心，则
②若 P 为 BC 边上的一个动点，则 为定值 2
③若 M，N 为 BC 边上的两个动点，且 则 的最小值为 .
④已知 P 为 内一点，若 且 则 λ+ μ 的最大值为 2
其中所有正确结论的编号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13．若 则 a1=▲
14．若“∃x0∈ ”是真命题，则实数 a 的取值范围是▲.
15．在 ABC 中 ，在线段 AB 上，若 与△BDC 的面积之比
为 3：1，则 CD=▲。
16．某校同时提供 A、B 两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播 40 分钟，并完成
课后作业 20 分钟，可获得积分 5 分；B 类选修课每次观看线上直播 30 分钟，并完成课后作业
30 分钟，可获得积分 4 分．每周开设 2 次，共开设 20 周，每次均为独立内容，每次只能选择
A 类、B 类课程中的一类学习，当选择 A 类课程 20 次，B 类课程 20 次时，可获得总积分共▲
分．如果规定学生观看直播总时间不得少于 1200 分钟，课后作业总时间不得少于 900 分钟，
则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共▲分。(本题第一空 2 分，第二空 3 分)
三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~2l 题为必考题，每
个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分
17．(12 分)已知数列{an}为正项等比数列，Sn 为{an}的前 n 项和，若
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)从三个条件：①bn= ; ③bn= 中任选一个作为已知条件，求数列{bn}
的前 n 项和 Tn..注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．(12 分)已知四棱锥 中，底面 ABCD 是边长为 4 的正方形 为正三角形，
M 是 PC 的中点，过 M 的平面 α 平行于平面 PAB，且平面 α 与平面 PAD 的交线为 ON，与平
面 ABCD 的交线为 OE.
)2 ,e− +∞ )3,e− +∞
)2 ,e +∞ )3,e +∞
ABC∆
2
π
ABC∆ 1 1
3 3AG AB AC= +
( )AP AB AC⋅ +
2,MN = AM AN⋅ 3
2
ABC∆ 1,BP = ,AP AB ACλ µ= + 3
( ) 1
2
0 5
5 5
22 1 ,x a x a x a xα− = + + + +
( )2
0R,ln 1 0x a+ − =
, 4, 3AB ,BC= =
6B
π= ADC∆
3 2 3 121, 6 .S a a a= + =
3
n
n
a 2 ;nnb a n= +②
2
log 3
na
P ABCD− , PAD∆(1)在图中作出四边形 (不必说出作法和理由)；
(2)若 求平面 α 与平面 PBC 形成的锐二面角的余弦值.
19．(12 分)
已 知 椭 圆 C ： (a>b>0) 左 焦 点 为 F1(-1 ， 0) ， 经 过 点 F 的 直 线 与 圆 ：
相交于 P，Q 两点，M 是线段 PF2 与 C 的公共点，且
(1)求椭圆 C 的方程
(2)与 C 的交点为 A，B，且 A 恰为线段 PQ 的中点，求△ABF2 的面积。
20．(12 分)
近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业。某高
校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售。为了做好苹果的品控，小张
从自己果园的苹果树上，随机摘取 150 个苹果测重(单位：克)，其重量分布在区间
内，根据统计的数据得到如图 1 所示的频率分布直方图。
(1)以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了 30 个苹果，求这 30 个苹果中
重量在 内的个数 X 的数学期望；
MNOE
2 ,PC AB=
2 2
1x y
a b
+ = 2F
( )2 21 8x y− + = 1| | | |MF MP=
[ ]100,400
( ]300,400(2)小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行
进赢取福袋的游戏该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为 1
或 2，且这两种结果的概率相同；从出发格(第 0 格)开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如
图 2 所示的路径向前行进一次，若掷出 1 点，即从当前位置向前行进一格(从第 k 格到第 k+1
格 若掷出 2 点，即从当前位置向前行进两格(从第 k 格到第 k+2 格 行进至第
31 格 ( 获 得 福 袋 ) 或 第 32 格 ( 谢 谢 惠 顾 ), 游 戏 结 束 . 设 买 家 行 进 至 第 格 的 概 率 为
(i)求 p1、p2，并写出用 pi-2、pi-1 表示 的递推式;
(ii)求 P32，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家.
21．(12 分)
已知
(1)若 证明： ；
(2)对任意 都有 求整数 a 的最大值。
(二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。并用铅笔在答题卡选考题区域
内把所选的题号涂黑。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，直线过点 倾斜角为 α．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 .
(1)写出直线的参数方程及曲线 C 的直角坐标方程；
(2)若与 C 相交于 A，B 两点，M 为线段 AB 的中点，且 .
23．[选修 4-5：不等式选讲](10 分)
设函数 .
(1)当 时，求函数 的定义域；
(2)设 当 x∈ 时 成立，求 的取值范围.
, N,k ∈ , N)k ∈
0,( 0,1,2, ,32), 1ip i p= =
( 2,3, ,31)i
p i =
( ) ( ) ( ) 2sin , ln , 1.f x g x x h x x axx = = = − −
[ ]0,1 ,x∈ ( ) ( )1f x g x +
(0,1]x∈ ( ) ( )( ) 0,f xe h x g x+ − >
( ),1,0P
2sin 2cosρ θ θ=
2| | , sin3PM α= 求
( ) ( )lg | 1| | 2 |f x x x a= − + + +
5a = − ( )f x
( ) | 1| | 2 | ,g x x x a= − + + + [ ]2,1− ( ), | 2 |g x x a− a
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