2019-2020 学年度第二学期高三考前训练
数 学
第 I 卷（必做题，共 160 分）
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置
上．）
1．已知集合 A＝{0，1，2，3}，B＝{﹣1，0，3}，则 A B＝ ．
2．已知复数 z 满足 ，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模为 ．
3．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,则该双曲线
的离心率 e=_______
4．某工生产 A，B，C 三种不同型号的产品，产量之比为 1：2：3．现用分层
抽样的方法抽取 1 个容量为 n 的样本，若样本中 A 种型号的产品有 8 件，
则样本容量 n 的值为 ．
5.根据如图所示的伪代码，可知输出 S 的值为
6.已知函数ƒ(x)=sinx+cosx 的定义域为[a,b]，值域为[ ―1, 2]，则 b―a 的取值范围是
7.下列四个命题：
○1 “ ”的否定;
○2 )“若 ”的否命题；
○3 在 中，“ ”是“ ”的充分不必要条件；
○4 “函数 为奇函数”的充要条件是“ ”.
其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上)
8 ． . 在 面 积 为 2 的 中 ， E,F 分 别 是 AB ， AC 的 中 点 ， 点 P 在 直 线 EF 上 ， 则
的最小值是______________
9.设关于 x 的不等式 ，只有有限个整数解，且 0 是其中
一个解，则全部不等式的整数解的和为
10.如图，△ABC 为等边三角形，分别延长 BA, CB, AC 到点 D, E，F，使
得 AD= BE=CF .若=2,且 DE=，则.的值是
11、已知函数 f(x)=
x3
3 +
ax2
2 +2bx+c 在区间(0,1)内取极大值，在区间(1,2)内
取极小值，则 z=(a+3)2+b2 的取值范围为
12.公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中
点截去 8 个一样的四面体得到的( 如图所示).设石凳的体积为以，正方体的体积为，的值是 .
(2 i) 5z+ =
12
2
2
=− ya
x 02 =− yx
01, 2 ≤+−∈∃ xxRx
2,062 >≥−+ xxx 则
ABC∆ oA 30>
2
1sin >A
)tan()( ϕ+= xxf )( Zkk ∈= πϕ
ABC∆
2
BCPBPC +⋅
2 8( 1) 7 16 0,( )ax a x a a Z+ + + + ≥ ∈13.已知函数 f(x)={log2(1 - x) x ≤ 0
f(x - 1) + 1 x > 0 ) ,f(x)=x 的根从小到大构成数列{an}，则 a2012=
14 ． 已 知 函 数 ， ， 记 函 数
，若 在(0， )上恰有 2 个不同的零点，则实数 a
的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．）
15．（本小题满分 14 分）
已知动点 在角 的终边上.
（1）若 ，求实数 t 的值；
（2）记 ，试用 t 将 S 表示出来.
16．（本小题满分 14 分）
如图，在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中，点 D 是 BC 的中点．
（1）求证：A1C∥平面 AB1D；
（2）设 M 为棱 CC1 的中点，且满足 BB1＝BC，求证：平面
AB1D⊥平面 ABM．
17.（本小题满分 14 分）
在三角形 ABC 中，已知 tanC＝ ，cosB＝ ．
（1）求 tanA 的值；
（2）若△ABC 的面积为 ，求边 BC 的长．
3 1( ) 4f x x ax= + + ( ) lng x x=
( ) ( )( ) ( )( ) 2 2
f x g xf x g xh x
−+= + ( )h x +∞
1(3 , 1)( 0, )2P t t t t+ ≠ ≠ α
6
πα =
1 sin 2 cos2
1 sin 2 cos2S
α α
α α
− += − −
1
2
10
10
−
3
1018. （本小题满分 16 分）
如图所示的矩形区域长 6m，宽 4 m．现欲将矩形区域 I~IV 设计成钢化玻璃舞台，将中间
阴影部分设计成可升降的舞台，若区域 I 和区域 II 完全相同，长与宽之比为 ，区域 III 和区
域 IV 完全相同，长与宽之比为 ， ＞1， ＞1，区域 II 和 IV 的较短边长分别为 a m 和 b m．
（1）试将 a 和 b 用 ， 表示；
（2）若 ＝9，当 ， 为何值时可升降舞台的面积最大，并求出最大面积．
19.（本小题满分 16 分）
设 ，( R，a≠0)．
（1）若 a＝1，求函数 的单调区间；
（2）若 [1，2]时， 的最小值为 2，求实数 a 的取值范围；
（3）试求函数 的零点个数，并证明你的结论．
λ
µ λ µ
λ µ
λ µ λ µ
2( ) lnf x a x x
= + a ∈
( )f x
x ∈ ( )f x
( ) ( ) 2g x f x a= − −20. （本小题满分 16 分）
设数列 的前 n 项和为 ，
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）若 ，是否存在 q 的某些取值，使数列 中某一项能表示为另外三项之和？若
能求出 q 的全部取值集合，若不能说明理由。
（3）若 ，是否存在 ，使数列 中，某一项可以表示为另外三项之和？若
存在指出 q 的一个取值，若不存在，说明理由。
2019-2020 学年度第二学期高三考前训练
数 学（附加）
第 II 卷（附加题，共 40 分）
21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分，
解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
A．选修 4—2：矩阵与变换
已知曲线 ，先将曲线 C 作关于 x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点顺时针旋转
90°．
（1）求连续两次变换所对应的变换矩阵 M；
（2）求曲线 C 在 TM 作用下得到的曲线 C′的方程．
{ }na nS 1
1 1
(1 ) ( , , 0, 1)1
n
n
a qS a q R a qq
−= ∈ ≠ ≠−
{ }na
*q N∈ { }na
q R∈ [3, )q∈ +∞ { }na
2 2y x=B．选修 4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 （t 为参数）．椭圆 C 的
参数方程为 （ 为参数），设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，求线段 AB 的
长．
【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
22．（本小题满分 10 分）
支付宝作为一款移动支付工具，在日常生活中起到了重要的作用．
（1）通过现场调查 12 位市民得知，其中有 10 人使用支付宝．现从这 12 位市民中随机
抽取 3 人，求至少抽到 2 位使用支付宝的市民的概率；
（2）为了鼓励市民使用支付宝，支付宝推出了“奖励金”活动，每使用支付宝支付一次，
分别有 ， ， 的概率获得 0.1，0.2，0.3 元奖励金，每次支付获得的奖励金情况互不影
响．若某位市民在一天内使用了 2 次支付宝，记 X 为这一天他获得的奖励金数，求 X 的概率
分布和数学期望．
3
2
11 2
x t
y t
=
= +
sin
2cos
x
y
θ
θ
=
=
θ
1
2
1
3
1
623．（本小题满分 10 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知抛物线 上一点 M(4，a)到抛物线
焦点 F 的距离为 5．
（1）求抛物线的方程及实数 a 的值；
（2）过点 M 作抛物线的两条弦 MA，MB，若 MA，MB 的倾斜角分别为 ， ，且 ＋
＝135°，求证：直线 AB 过定点，并求出这个定点的坐标．
2 2 ( 0)y px p= >
α β α
β
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