高三数学试卷 第 1 页（共 15 页）
北京市朝阳区高三年级高考练习二
数 学 2020.6
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数 对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限
（C）第三象限 （D）第四象限
（2）函数 的定义域为
(A) (B) (C) (D)
（3）若 ， ， 且 ，则下列不等式一定成立的是
（A） （B）
（C） （D）
（4）圆心在直线 上且与 轴相切于点 的圆的方程是
（A） （B）
（C） （D）
（ 5 ） 直线 过抛 物 线 的 焦 点 ， 且 与该抛物线交 于 不同的两 点 ， ． 若
，则弦 的长是
（A） （B） （C） （D）
（6）设等差数列 的公差为 ，若 ，则“ ”是“ 为递减数列”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
i(1+i)
( ) ln
1
= −f x x
x
(0, )+∞ (0,1) (1, )+∞ [0, )+∞ [0,1) (1, )+∞
a b ∈c R a b c> >
2 2ac bc> 2 2 2a b c> >
2a c b+ > − > −a c b c
0− =x y y (0, 1)
2 2( 1) ( 1) 1− + − =x y 2 2( 1) ( 1) 1+ + + =x y
2 2( 1) ( 1) 2− + − =x y 2 2( 1) ( 1) 2+ + + =x y
l 2 2=y x F l 1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
1 2 3+ =x x AB
4 5 6 8
{ }na d 2= na
nb 0 >x y a ba b
2
2 C 6(1, )2
C
(4,0)P l C A B 1=x Q λ= AP PB高三数学试卷 第 7 页（共 15 页）
， ，求证： 为定值．
（20）（本小题 15 分）
已知函数 ．
（Ⅰ）若曲线 在点 处的切线的斜率为 ．
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）证明：函数 在区间 内有唯一极值点；
（Ⅱ）当 时，证明：对任意 ， ．
（21）（本小题 14 分）
设集合 ，其中 ， ， ， 是正整数，记 ．对于 ，
，若存在整数 ，满足 ，则称 整除 ，设 是满足 整除 的数
对 的个数．
（Ⅰ）若 ， ，写出 ， 的值；
（Ⅱ）求 的最大值；
（Ⅲ）设 中最小的元素为 ，求使得 取到最大值时的所有集合 ．
µ= AQ QB (λ )µ ∈R λ µ+
( ) 2sin cos= − −f x x x x ax ( )∈a R
( )y f x= (0, (0))f 1
a
( )f x (0,π)
1≤a (0,π)∈x ( ) 0>f x
1 2 3 4{ , , , }=A a a a a 1a 2a 3a 4a 1 2 3 4
= + + +AS a a a a ia ∈ja A
(1 4)≤ < ≤i j k ( )+ =i j Ak a a S +i ja a AS An +i ja a AS
( , ) ( < )i j i j
{1,2,4,8}=A {1,5,7,11}=B An Bn
An
A a An A高三数学试卷 第 8 页（共 15 页）
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数学 参考答案 2020.6
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
（1）B （2）B （3）D （4）A （5）A
（6）C （7）C （8）D （9）C （10）A
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） （12） （13）
（14） ； （15）②④
三、解答题（共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
（16）（本小题 14 分）
解：（不可以选择③作为补充条件.）
选择①作为补充条件.
解答如下：（Ⅰ）因为 ， ，所以 ．
所以 ． ……………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ．
所以 ．
因为 ，所以当 或 时， 取得最小值，最小值为 ．
故存在正整数 或 ，使得 有最小值，最小值为 ． ……………14 分
选择②作为补充条件.
解答如下：（Ⅰ）因为 ， ，
1
2 15 12
2 2 3
5 1=a 3 1= −a 1=d
1 ( 5) 1 4 ( )∗= + − × = − ∈na n n n N
1 3= −a
1( ) 1 ( 7)2 2
+= = −n
n
n a aS n n
∗∈n N 3=n 4 nS 6−
3=n 4 nS 6−
5 1=a 2=d高三数学试卷 第 9 页（共 15 页）
所以 ． ……………4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ．
所以 ．所以当 时， 取得最小值，最小值为 ．
故存在正整数 ，使得 有最小值，最小值为 ． ……………14 分
（17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）因为 是正方形，所以 ．
又因为 ， 平面 ，
平面 ， ，
所以 平面 ． ……………4
分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 平面 ,
所以平面 平面 ．
过点 作 ，垂足为 ，
则 平面 ．
在平面 内，过 作 ，
则 ．
如图建立空间直角坐标系 ，
因为 ， ，且 ，所以 ， ．
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ， ．
设平面 的一个法向量为 ，
则 即
1 ( 5) 2 2 9 ( )∗= + − × = − ∈na n n n N
1 7= −a
21( ) 82
+= = −n
n
n a aS n n 4=n nS 16−
4=n nS 16−
ABCD AD CD^
AD DE^ DE Ì CDEF
CD Ì CDEF CD DE D=
AD ^ CDEF
AD ^ CDEF
ABCD ^ CDEF
E EO CD^ O
OE ^ ABCD
ABCD O OH CD^
OE ^ OH
-O xyz
4AD = 2DE EF= =
π
3EDCÐ = 1DO = 3OE =
(4, 1,0)A - (4,3,0)B (0,3,0)C (0, 1,0)D - (0,0, 3)E
( 4,0,0)AD = -
( 4,1, 3)AE = -
( 4, 4,0)BD = - -
ADE ( , , )x y z=n
0,
0.
AD
AE
ìï × =ïïíï × =ïïî
n
n
4 0,
4 3 0.
x
x y z
ì- =ïïíï- + + =ïî
G
M
FE
D C
BA
O
H
x
y
z高三数学试卷 第 10 页（共 15 页）
令 ，则 ， ，于是 ．
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ．
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ． ……………10
分
（Ⅲ）棱 上存在点 ，使得 平面 ，此时 ．理由如下：
因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ．
由（Ⅱ）知， ， ．
设 ，则 ．
由（Ⅱ）知，平面 的一个法向量为 ．
若 平面 ，则 ，即 ，解得 ，即 ．
经验证，此时 平面 ．
所以棱 上存在点 ，使得 平面 ，此时 ． ……………14 分
（18）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）由题意知， ，所以 ． ……………3 分
（Ⅱ） 组无人驾驶汽车的数量比为 ，若使用分层抽样抽取 辆汽车，
则行驶里程在 这一组的无人驾驶汽车有 辆，
行驶里程在 这一组的无人驾驶汽车有 辆．
由题意可知， 的所有可能取值为 ， ， ．
3=y 0=x 1=−z (0, 3, 1)= -n
BD ADE q
| | 4 3 6sin | cos , | 42 4 2| || |
BDBD
BDq ×= < > = = =
´
nn
n
BD ADE 6
4
AB G //MG ADE 3AG=
//DC AB DCË ABFE AB Ì ABFE
//DC ABFE
DCÌ DCFE DCFE ABFE EF=
//DC EF
(0,2, 3)F 5 3(0, , )2 2M
1 1(4, ,0) ( 1 3)G y y- £ £ 1
5 3(4, , )2 2MG y= - -
ADE (0, 3, 1)= -n
//MG ADE 0MG× =n
1
5 33( ) 02 2y - + = 1 2y = (4,2,0)G
//MG ADE
AB G //MG ADE 3AG=
1 (0.1 0.2 0.4 ) 1a× + + + = 0.3a =
4 1: 2: 4:3 10
[7,8) 410 410
× =
[8,9] 310 310
× =
X 0 1 2高三数学试卷 第 11 页（共 15 页）
， ， ．
所以 的分布列为
所以 的数学期望 ． ……………11 分
（Ⅲ）这种说法不正确．理由如下：
由于样本具有随机性，故 ， 是随机变量，受抽样结果影响．
因此有可能 更接近 ，也有可能 更接近 ，
所以 不恒成立．
所以这种说法不正确． ……………14 分
（19）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）由题意可知 得 ， ．
所以椭圆 的方程为 ． ……………5 分
（Ⅱ）由题意可知，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ．
由 得 所以 ．
2
4
2
7
2( 0) 7
CP X C
= = =
1 1
4 3
2
7
4( 1) 7
C CP X C
= = =
2
3
2
7
1( 2) 7
CP X C
= = =
X
X 0 1 2
P 2
7
4
7
1
7
X 2 4 1 6( ) 0 1 27 7 7 7
= × + × + × =E X
1
µ 2
µ
1
µ 0
µ 2
µ 0
µ
0 1 0 2| | | |µ µ µ µ− < −
2 2 2
2
2 2
,
6( )1 2 1,
2 ,2
= +
+ =
=
a b c
a b
c
a
2 2=b 2 4=a
C
2 2
14 2
+ =x y
l l ( 4)= −y k x
( 4),
1 0
= −
− =
y k x
x
1,
3 .
=
= −
x
y k (1, 3 )−Q k高三数学试卷 第 12 页（共 15 页）
由 得 .
整理得 .
由 ，得 ．
设直线 与椭圆 的交点 ， ，
则 ， .
因为 ， 且 ， ，
， ，
所以
.
因为
，
所以 . ……………14
分
（20）（本小题 15 分）
解 ： （ Ⅰ ） （ ⅰ ） 因 为 ， 所 以
．
因为曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
所以 ，即 ，故 ．
经检验，符合题意． ……………4 分
2 2
( 4),
2 4
= −
+ =
y k x
x y
2 22( 4 ) 4+ − =x kx k
2 2 2 2(1 2 ) 16 (32 4) 0+ − + − =k x k x k
2 2 2 2( 16 ) 4(1 2 )(32 4) 0∆ = − − + − >k k k 6 6
6 6
− < g x π( ,π)2
∈x ( ) 0′ >g x g ( ) 0′ >f x ( )f x π(0, ]2
π( ,π)2
∈x ( ) 0=g x 0x ( ) 0′ =f x 0x
0
π( , )2
∈x x ( ) 0′ >f x 0( ,π)∈x x ( ) 0′ h x π( ,π)2
∈x
( ) 0′ f a ( ) 1′ π = − −f a
( ) 1 0′ π = − − ≥f a 1≤ −a ( ) 0′ ≥f x
( )f x (0,π) ( ) (0) 0> =f x f
( ) 1 0′ π = − − f a
π(0, )2
( ) 0′ ≥f x π( ,π)2
( )′f x 1x高三数学试卷 第 14 页（共 15 页）
则函数 在 内单调递增，在 内单调递减．
又因为 ， ，所以此时 ．
由（1）（2）可知，当 时，对任意 ，总有 ． ……………15 分
（21）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ） ； ． ……………4 分
（Ⅱ）不妨设 ．
因为 ，所以 ， 不能整除 ．
因为 最多有 ， ， ， ， ， 六种情况，
而 ， 不满足题意，所以 ．
当 时， ，所以 的最大值为 ． ……………9 分
（Ⅲ）假设 ．
由（Ⅱ）可知，当 取到最大值 时， ， ， ， 均能整除 ．
因为 ，故 ，
所以 ．
设 ， ，则 ， 是 的因数，
所以 是 的因数，且 是 的因数．
因为 ，所以 ，
因为 是 的因数，所以 ．
因为 是 的因数，所以 是 的因数．
因为 ，所以 ，所以 ，或 ．
( )f x 1(0, )x 1( ,π)x
(0) 0=f ( ) (1 ) 0π = − π ≥f a ( ) 0>f x
1≤a (0,π)∈x ( ) 0>f x
2=An 4=Bn
1 2 3 40 < < <
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