数学试题（理科）
一、单选题（共 12 道小题，每题 5 分）
1．已知复数 （ 为虚数单位），则 的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
2．在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 等于( )
A． B． C． D．
3．已知复数 ，则复数 的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
4．已知复数 满足 ，则 （ ）
A．2 B． C．5 D．8
5．在平面直角坐标系中，方程 x2+y2＝1 经过伸缩变换 后，得到的方程为（ ）
A． B．2x2+3y2＝1 C． D．4x2+9y2＝1
6．一质点的运动方程为 s＝20＋ gt2(g＝9.8 m/s2)，则 t＝3 s 时的瞬时速度为( )
A．20 m/s B．29.4 m/s C．49.4 m/s D．64.1 m/s
7．若 3 个班分别从 5 个风景点中选择一处浏览，则不同选法的种数是( )种.
A．3 B．15 C． D．
8．如图是函数 的导函数 的图象，给出下列命题：
①-2 是函数 的极值点； ②1 是函数 的极值点；
③ 的图象在 处切线的斜率小于零； ④函数 在区间 上单
调递增.
则正确命题的序号是（ ）
4
1z i
= + i z
2i 2− 2i−
z (2, 1)− (1 i)z+
3 i+ 2 i+ 1 i+ 1 i−
2
3
z
i
=
− z z =
3 1
2 2 i− 1 3
2 2 i− 3 1
2 2 i+ 1 3
2 2 i+
z 1 3i i1 iz
+= ++ z =
2 2
2
3
x x
y y
′
′
=
=
2 2
12 3
x y+ =
2 2
14 9
x y+ =
1
2
53 35
( )y f x= '( )y f x=
( )y f x= ( )y f x=
( )y f x= 0x = ( )y f x= ( 2,2)−A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
9．由曲线 y＝x2 与直线 y＝2x 所围成的平面图形的面积为( )
A． B． C． D．
10．用数字 、 、 、 、 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，一环形花坛分成 四块，现有 4 种不同的花供选种，要求在每块里
种 1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）
A．96 B．84 C．60 D．48
12．若函数 f（x）= x3- ax2+（a-1）x+1 在区间（1，+∞）上为增函数，则实数 a 的取值
范围是
A．[2，+∞） B．（2，+∞） C．（-∞，2] D．（-∞，2）
二、填空题（共 4 道小题，每题 5 分）
13．将极坐标方程 化成直角坐标方程为 ．
14．在极坐标系中，点 ，直线 ，则 到直线 的距离是______.
15．若函数 在区间 上存在唯一的极值点，则实数 a 的取值
范围为________.
16．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，若 ，
则不等式 的解集为____________
4
3 2 3 3
2
2 3 4 5 6
120 72 60 48
A B C D， ， ，
1
3
1
2
2cosρ θ=
34, 4A
π
( ): 3l
πθ ρ= ∈R A l
2( ) ( 3) lnf x x a x x= + + + (1,2)
( )f x R 0x < ( ) ( )' 0f x xf x+ < ( )2 0f =
( ) 0xf x >三、解答题（共 6 道小题，其中 17 题 10 分，其它每题 12 分）
17．已知复数 ， ， 为虚数单位，求满足下列条件的
的值．
（ ） 是实数．
（ ） 是纯虚数．
18．在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （ 为参数），椭圆
的参数方程为 （ 为参数）
（1）将直线 的参数方程化为极坐标方程；
（2）设直线 与椭圆 相交于 ， 两点，求线段 的长.
19．7 人排成一排，按以下要求分别有多少种排法？
(1)甲、乙两人排在一起；
(2)甲不在左端、乙不在右端；
(3)甲、乙、丙三人中恰好有两人排在一起.（答题要求：先列式，后计算）
20．已知曲线 C 的参数方程为 （ 为参数），以直角坐标系的原点 o 为极点，x
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程是：
（Ⅰ）求曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程：
（Ⅱ）点 P 是曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值与最小值.
21．已知函数 在 处取得极大值为 9.
（1）求 ， 的值；
（2）求函数 在区间 上的最大值与最小值.
22．设函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
2 26 ( 2 8)iz x x x x= + − + + − x∈R i x
1 z
2 z
xOy l
11 2
3
2
x t
y t
= +
=
t C
cos
2sin
x
y
θ
θ
=
=
θ
l
l C A B AB
2cos
3sin
x
y
ϕ
ϕ
=
=
ϕ
1 2cos sin
6
θ θ
ρ
+=
3 21( ) ( , )3f x x ax bx a b R= + + ∈ 3x = −
a b
( )f x [ 4,4]−
( ) sinf x ax x= −
1a = ( )y f x= ( , ( ))fπ π（2）当 ， 时，证明： ．1a ≤ [0, )x∈ +∞ 31( ) 6f x x≤
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