2020届黑龙江高二数学下学期期中试题.docx

2019－2020 学年度下学期实验三部期中考试 高二数学理科试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1.设 ，则 （ ） A．0 B． C．1 D． 2.极坐标方程 表示的曲线是（ ） A．一个圆 B．两个圆 C．两条直线 D．一个圆和一条直线 3.现有甲、乙、丙、丁 4 名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，则乙、丙两人恰好参加同一 项活动的概率为（ ） A． B． C． D． 4.根据最小二乘法由一组样本点 （其中 ），求得的回归方程是 ，则下列说 法正确的是（ ） A．至少有一个样本点落在回归直线 上 B．若所有样本点都在回归直线 上，则变量间的相关系数为 1 C．对所有的解释变量 ， 的值一定与 有误差 D．若回归直线 的斜率 ，则变量 与 正相关 5.某人连续投篮 5 次，在他 3 次命中、2 次未命中的条件下，则他第 2 次、第 3 次两次均命中的概率是（ ） A． B． C． D． 6.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物 理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（ ） 1 21 iz ii −= ++ z = 1 2 2 2 cos 3 cos 3 0ρ θ ρ θ ρ− + − = 1 2 1 3 1 6 1 12 ( ),i ix y 1,2, ,300i =  ˆˆ ˆy bx a= + ˆˆ ˆy bx a= + ˆˆ ˆy bx a= + ( 1,2, ,300)ix i =  ˆ ˆibx a+ iy ˆˆ ˆy bx a= + ˆ 0b > x y 3 10 2 5 1 2 3 5A．24 B．16 C．8 D．12 7.若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 8.已知数列 满足 ，且 成等比数列.若 的前 项和为 ，则 的最小值为（ ） A．－10 B．－14 C．－18 D．－20 9. 如 图 ， 正 方 体 的 棱 长 为 2 ， E 是 棱 AB 的 中 点 ， F 是 侧 面 内 一 点 ， 若 ，则 长度的范围为（ ） A． B． C． D． 10.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中， 由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一 种颜色，则不同的涂色方案有（ ） A．180 B．192 C．420 D．480 ( )20 19 20 0 1 19 201 x a a x a x a x+ = + +…+ + 0 1 9 10a a a a+ +…+ + 192 19 10 20 12 2 C− 19 10 20 12 2 C+ 19 10 202 C+ { }na 1 2n na a+ − = 1 3 4, ,a a a { }na n nS nS 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1AA D D 1 1EF BB D D∥平面 EF [ 2, 3] [ 2, 5] [ 2, 6] [ 2, 7]11. 已知函数 在区间 上单调递减，则 的最大值为 （ ） A．1 B． C． D． 12.如图，点 是抛物线 的焦点，点 ， 分别在抛物线 和圆 的实线部分上 运动，且 总是平行于 轴，则 周长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题 13.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 8 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示， 其中甲班学生成绩的平均分是 86，乙班学生成绩的中位数是 83，则 的值为______. 14.将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件 A=“三个点数之和等于 15”，B=“至少出现一个 5 点” 则概率 等于______. 15.过椭圆 ： （ 为参数）的右焦点 作直线 ：交 于 ， 两点， ， ， 则 的值为______. 16.若函数 上 只有一个零点，则 的取值范围为______. 三、解答题 17.随着我国经济的发展，居民收入逐年增长．某地区 2014 年至 2018 年农村居民家庭人均纯收入 （单位： 千元）的数据如下表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 ( ) ( )2cos 2 3 cos 04 2 xf x x π ωω ω = − − >   0, 2 π     ω 6 5 4 3 3 2 F 2: 4C x y= A B C 2 2( 1) 4x y+ − = AB y AFB△ ( )3,6 ( )4,6 ( )4,8 ( )6,8 x y+ ( | )P A B C 2cos 3sin x y θ θ = = θ F l C M N MF m= NF n= 1 1 m n + ( ) ( )1 xf x x e a= − − ( )1,− +∞ a y年份代号 1 2 3 4 5 人均纯收入 5 6 7 8 10 （1）求 关于 的线性回归方程； （2）利用（1）中的回归方程，分析 2014 年至 2018 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预 测 2020 年该地区农村居民家庭人均纯收入约为多少千元？ 附 ： 回 归 直 线 的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ， . 18.已知在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ， 点 的 极 坐 标 是 . （1）求直线 的极坐标方程及点 到直线 的距离； （2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，求 的面积. 19.如图，在四棱锥 中， ，且 . （1）证明： ； （2）若 ， ，求二面角 的余弦值. t y ˆy t ( )( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 1 ˆ n n i i i i i i n n i i i i t t y y t y nt y b t t t nt = = = = − − − ⋅ = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ˆˆa y bt= − xOy l 1 2 3 2 x t y t  =  = t x C 2 2 cos 2 0ρ ρ θ− − = P 2 15 2,3 3 π      l P l l C M N PMN△ P ABCD− AB CD∥ 90BAP CDP∠ = ∠ = ° PAB PAD⊥平面 平面 PA PD AB DC= = = 90APD∠ = ° A PB C− −20.为庆祝党的 99 岁生日，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题的党史知识竞赛．从参加竞赛的学 生中，随机抽取 40 名学生，将其成绩分为六段 ， ， ， ， ，到如图所 示的频率分布直方图. （1）求图中 的值及样本的中位数与众数； （2）若从竞赛成绩在 与 两个分数段的学生中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩 之差的绝对值不大于 5 分为事件 ，求事件 发生的概率. （3）为了激励同学们的学习热情，现评出一二三等奖，得分在 内的为一等奖，得分在 内的 为二等奖，得分在 内的为三等奖.若将频率视为概率，现从考生中随机抽取三名，设 为获得三等奖 的人数，求 的分布列与数学期望. 21.已知椭圆 上的点到焦点的最大距离为 3，离心率为 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）设直线 与椭圆 交于不同两点 ， ，与 轴交于点 ，且满足 ，若 ，求实数 的取值范围. 22.已知 . （1）若 ，讨论函数 的单调性； （2）当 时，若不等式 在 上恒成立，求 的取值范围. [ )70,75 [ )75,80 [ )85,90 [ )90,95 [ ]95,100 a [ )70,75 [ ]95,100 M M [ ]95,100 [ )90,95 [ )85,90 ξ ξ 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1 2 C : 1 0l x my− + = C A B x D DA DBλ=  1 1 2 3 λ− ≤ < − m ( ) ln xef x a x axx = + − 0a < ( )f x 1a = − ( ) 1 0xf x bx b e xx  + − − − ≥   [ )1,+∞ b