一、选择题（每题 4 分）
1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，则 p1 等于 ( )
ξ －2 2 4
P 5
2
3
1
P1
A.0 B. 2
15 C.
15
4 D．1
2．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n＋3n＋4
2
(n∈N*)，验证 n＝1 时，
左边应取的项是( )
A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
3．用反证法证明命题：“若 a，b∈N，ab 能被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5
整除”时，假设应为( )
A．a，b 都能被 5 整除 B．a，b 都不能被 5 整除
C．a，b 不都能被 5 整除 D．a 不能被 5 整除
4．若 a>0，b>0，则有( )
A.b2
a >2b－a B.b2
a f(n)，则 m，n 的大小关系
为________．
13．设函数
0,2
0,)(
2
x
xcbxxxf 若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1，则方程 f(x)＝x 的解
的个数是________．
14．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，
第 n 行有 n 个数且两端的数均为1
n(n≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如1
1
＝1
2
＋1
2
，
1
2
＝1
3
＋1
6
，1
3
＝1
4
＋ 1
12
，…，则第 7 行第 5 个数(从左往右数)为________
1
1
1
2
1
2
1
3
1
6
1
3
1
4
1
12
1
12
1
4
1
5
1
20
1
30
1
20
1
5
…
三、解答题（94 分）
15．（12 分）某校组织一次冬令营活动，有 7 名同学参加，其中有 4 名男同学，3 名女
同学，为了活动的需要，要从这 7 名同学中随机抽取 3 名同学去执行一项特殊任务，记其中
有 X 名男同学．
(1)求 X 的分布列；
(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率．
16．（12 分）已知
n
xx
1 展开式中的第三项的系数为 45，求：
(1)含 x4 的项；
(2)二项式系数最大的项．
17.（12 分）一场小型晚会有 3 个唱歌节目和 2 个相声节目，要求排出一个节目单。
（1）2 个相声节目要排在一起，有多少种排法？
（2）2 个相声节目彼此要隔开，有多少种排法？
（3）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（4）前 3 个节目中要有相声节目，有多少种排法？
（要求：每小题都要有过程，且计算结果都用数字表示）18.（12 分）如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1
上的点(点 D 不同于点 C)，且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点．
求证：(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1；
(2)直线 A1F∥平面 ADE.
19．（14 分）已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c，且其中任意两边长均不相等，若1
a
，
1
b
，1
c
成等差数列．
(1)证明 b
a< c
b
；
(2)求证：角 B 不可能是钝角．
20（14 分）．在二项式 nx)21( 的展开式中，
(1)若展开式中第 5 项、第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式
系数最大的项的系数；(最后结果用算式表达，不用计算出数值）
(2)若展开式前三项的二项式系数的和等于 79，求展开式中系数最大的项．(最后结果用
算式表达，不用计算出数值）
21．（14 分）已知函数 y＝x＋t
x
有如下性质：如果常数 t>0，那么该函数在(0， t]上是减
函数，在[ t，＋∞)上是增函数．
(1)已知 f(x)＝2x＋1＋ 4
2x＋1
－8，，x∈[0,1]，利用上述性质，求函数 f(x)的单调区间和值
域；
(2)对于(1)中的函数 f(x)和函数 g(x)＝－x－2a，若对任意 x1∈[0,1]，总存在 x2∈[0,1]，使
得 g(x2)＝f(x1)成立，求实数 a 的值．
22．（16 分）已知函数 f(n)(n∈N＋)满足条件：①f(2)＝2，②f(xy)＝f(x)·f(y)，③f(n)∈N＋，
④当 x＞y 时，有 f(x)＞f(y)．
(1)求 f(1)，f(3)，f(4)的值；
(2)由 f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，猜想 f(n)的解析式；
(3)证明你猜想的 f(n)的解析式的正确性．
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