2020届浙江省金华市山河联盟高一数学下学期期中试题及答案
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2020届浙江省金华市山河联盟高一数学下学期期中试题及答案

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资料简介
山河联盟 2019 学年第二学期期中考试高一数学试卷 考试时间:120 分钟 总分:150 分 第Ⅰ卷 一、选择题(本大题 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1.已知等差数列 的首项为 1,公差为 2,则 a9 的值等于( ) A.15 B.16 C.17 D.18 2.在△ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,则该三角形的最大内角度数是( ) A.300 B.600 C.1200 D.1500 3.不等式 x2+ax+b<0 的解集为(-1,2),则 a+b=(  ) A.-3 B.1 C.-1 D.3 4.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a2 = 2,a3a4a5 = 29,则 a3=(  ) A.16 B.8 C.4 D.2 5.已知 0<a<1<b,则下列不等式成立的是(  ) A. 1 a2>1 a> 1 ab B. 1 a2> 1 ab>1 a C.1 a> 1 a2> 1 ab D.1 a> 1 ab> 1 a2 6.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA k = sinB 3 = sinC 4 (k为非零 实数),则下列结论错误的是( ) A. 当k = 5时,ΔABC是直角三角形 B. 当k = 3时,ΔABC是锐角三角形 C. 当k = 2时,ΔABC是钝角三角形 D. 当k = 1时,ΔABC是钝角三角形 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1>0 且a6 a5= 9 11,则当 Sn 取最大值时,n 的值 { }na为(  ) A.9 B.10 C.11 D.12 8.已知向量푎 = (3cos휃,3sin휃),푏 = (0, - 3),휃 ∈ (휋 2,휋),则向量푎、푏的夹角为 ( ) A. 3휋 2 - 휃 B. 휃 - 휋 2 C. 휋 2 +휃 D. 휃 9.已知实数 x,y 满足xy ― 2 = x + y,且x > 1,则y(x + 11)的最小值为( ) A.21 B.24 C.25 D. 27 10.若不等式(|x-2a|-b)×cos(πx- π 3 )≤0 在 x∈[- 1 6, 5 6]上恒成立,则 2a+ b 的最小值为(  ) A.1 B. 5 6 C.2 3 D. 2 二、填空题(本大题 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分,共,36 分) 11.已知平面向量 a=(2,-3),b=(1,x),若 a∥b,则 x=________;若 a⊥b,则 x=________. 12.若x,y满足{x ≤ 2, y ≥ -1, 4x-3y+1 ≥ 0, 则2y-x的最小值为______.最大值为_______. 13.已知正数 a,b 满足 a+b=1,则b a+1 b的最小值为________,此时 a= ________. 14. 在△ABC 中,AB>AC,BC=2 3,A=60°,△ABC 的面积等于 2 3,则 sin B=________,BC 边上中线 AM 的长为________. 15.若 a1=2,an+1=an+n+1,则通项公式 an=________.16. 若关于 x 的不等式|2020-x|-|2 019-x|≤d 有解,则实数 d 的取值范围 ________. 17.已知 G 为△ABC 的重心,过点 G 的直线与边 AB,AC 分别相交于点 P,Q,若AP→ =λAB→ ,则△ABC 与△APQ 的面积之比为________.(结果用 λ 表示) 第Ⅱ卷 三、解答题(本大题 5 小题,共 74 分) 18.(本小题满分 14 分).已知数列{an}满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 bn= an n . (1)证明:数列{bn}为等比数列; (2)求{an}的通项公式. 19. (本小题满分 15 分)已知函数푓(푥) = - 4푥2 +13푥 - 3. (1)求不等式푓(푥) > 0的解集; (2)当푥 ∈ (0, + ∞)时,求函数푦 = 푓(푥) 푥 的最大值,以及 y 取得最大值时 x 的 值.20. (本小题满分 15 分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61, (1)求 a 与 b 的夹角 θ; (2)求|a+2b|; (3)若AB→ =a+2b,BC→ =b,求△ABC 的面积. 21. (本小题满分 15 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,sin2A +sin2B+sinAsinB=2csinC,△ABC 的面积 S=abc. (1)求角 C; (2)求 a+b 的取值范围.22.(本小题满分 15 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2n=4Sn-2an- 1(n∈N*).数列{푏푛}满足푏푛 = 1 푎푛·푎푛 +1 ,푇푛为数列{푏푛}的前 n 项和. (1)求数列{푎푛}的通项公式; (2)求数列{푏푛}的前 n 项和푇푛; (3)若对任意的푛 ∈ 푁*,不等式휆푇푛 < 푛 + 8 ⋅ ( - 1)푛恒成立,求实数휆的取值 范围; 山河联盟 2019 学年第二学期期中考试高一数学参考答案 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A C A D B A D B 二、填空题: 本大题共 7 个小题,共 36 分. 11.  - 3 2,  2 3 12. -4 4 13. 3,  1 2 14. 1 2 , 7 15. n2+n+2 2 16. d ≥ - 1 17. 3λ-1 λ2 三、解答题: 本大题共 5 个小题,共 74 分. 18.(本小题满分 14 分) (1)由条件可得an+1 n+1=2an n ,即 bn+1=2bn,又 b1=1, 所以{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列. (2)由(1)可得 bn=2n-1,an n =2n-1 所以 an=n·2n-1. 19. 本小题满分 15 分) 解:(1)由题意得 - 4푥2 +13푥 - 3 > 0, 因为方程 - 2푥2 +7푥 - 3 = 0有两个不等实根푥1 = 1 4,푥2 = 3, 又二次函数푓(푥) = - 4푥2 +13푥 - 3的图象开口向下, 所以不等式푓(푥) > 0的解集为{푥|1 4 < 푥 < 3};(2)由题意知,푦 = 푓(푥) 푥 = -4푥2 + 13푥 - 3 푥 = - 4푥 - 3 푥 +13, 因为푥 > 0,所以푦 = - 4푥 - 3 푥 +13 = 13 - (4푥 + 3 푥) ≤ 13 - 4 3, 当且仅当4푥 = 3 푥,即푥 = 3 2 时,等号成立. 综上所述,当且仅当푥 = 3 2 时,y 取得最大值为13 - 4 3. 20.(本小题满分 15 分) 解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61, ∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3, ∴64-4a·b-27=61, ∴a·b=-6.∴cos θ= a·b |a||b|= -6 4 × 3=-1 2. 又 0≤θ≤π,∴θ=2π 3 . (2)|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4a·b+4|b|2 =42+4×(-6)+4×32=28, ∴|a+2b|=2 7 (3)BA与BC的夹角 B cosB = -2 7 ∴sinB = 3 7 |AB→ |=2 ퟕ,|BC→ |=3, ∴S△ABC=1 2|AB→ ||BC→ |sinB=1 2×2 ퟕ×3× 3 7 =3 3.21. (本小题满分 15 分) 解 (1)由 S=abc=1 2absin C 可知 2c=sin C,∴sin2A+sin2B+sinAsinB= sin2C.由正弦定理得 a2+b2+ab=c2.由余弦定理得 cos C=a2+b2-c2 2ab =-1 2, ∴C∈(0,π),∴C=2π 3 . (2) 法一:由(1)知 2c=sin C,c= 3 4 ∴2a=sinA,2b=sin B. △ABC 的 a+b=1 2(sinA+sinB) =1 2[sin A+sin(π 3 -A)] =1 2(sin A+ 3 2 cos A- 1 2sin A) =1 2(1 2sin A+ 3 2 cos A) =1 2sin(A+ π 3 ) ∵A∈(0, π 3 ),∴A+π 3 ∈(π 3 , 2π 3 ),∴sin(A+ π 3 )∈( 3 2 ,1],∴1 2sin(A+ π 3 ) ∈( 3 4 ,1 2] ∴a+b 的取值范围为. ( 3 4 ,1 2] 法二:c2 = a2 + b2 +ab c2 = (a + b)2 - ab ≥ (a + b)2 - (a + b)2 4 3 16 ≥ 3 4(a + b)2 ∴a+b ≤ 1 2∵a+b > 푐 = 3 4 ∴a+b 的取值范围为. ( 3 4 ,1 2] 22(本小题满分 15 分) 解:(1) 当 n=1 时,a1=1; 当 n≥2 时,因为 an>0,a2n=4Sn-2an-1, 所以 a 2n-1=4Sn-1-2an-1-1, 两式相减得 a2n-a 2n-1=4an-2an+2an-1=2(an+an-1), 所以 an-an-1=2,所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,所以 an= 2n-1. (2)由题意和(1)得:푏푛 = 1 푎푛·푎푛 +1 = 1 (2푛 - 1)·(2푛 + 1) = 1 2( 1 2푛 - 1 - 1 2푛 + 1), 所以数列{푏푛}前 n 项和푇푛 = 1 2(1 - 1 3 + 1 3 - 1 5 + ⋯ + 1 2푛 - 1 - 1 2푛 + 1) = 푛 2푛 + 1. (3)①当 n 为偶数时,要使不等式휆푇푛 < 푛 + 8 ⋅ ( - 1)푛恒成立, 即需不等式휆 < 2푛 + 8 푛 +17恒成立. ∵ 2푛 + 8 푛 ≥ 8,等号在푛 = 2时取得. ∴ 此时휆需满足휆 < 25. ②当 n 为奇数时,要使不等式휆푇푛 < 푛 + 8 ⋅ ( - 1)푛恒成立, 即需不等式휆 < 2푛 - 8 푛 - 15恒成立. ∵ 2푛 - 8 푛是随 n 的增大而增大, ∴ 푛 = 1时,2푛 - 8 푛取得最小值 - 6. ∴ 此时휆需满足휆 < - 21. 综合①、②可得휆的取值范围是휆 < ― 21.

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