山河联盟 2019 学年第二学期期中考试高一数学试卷
考试时间:120 分钟 总分:150 分
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题 10 小题,每小题 4 分,共 40 分)
1.已知等差数列 的首项为 1,公差为 2,则 a9 的值等于( )
A.15 B.16 C.17 D.18
2.在△ABC 中,已知 a=7,b=3,c=5,则该三角形的最大内角度数是( )
A.300 B.600 C.1200 D.1500
3.不等式 x2+ax+b<0 的解集为(-1,2),则 a+b=( )
A.-3 B.1 C.-1 D.3
4.已知各项均为正数的等比数列{an}中,a2 = 2,a3a4a5 = 29,则 a3=( )
A.16 B.8 C.4 D.2
5.已知 0<a<1<b,则下列不等式成立的是( )
A. 1
a2>1
a> 1
ab B. 1
a2> 1
ab>1
a
C.1
a> 1
a2> 1
ab D.1
a> 1
ab> 1
a2
6.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sinA
k = sinB
3 = sinC
4 (k为非零
实数),则下列结论错误的是( )
A. 当k = 5时,ΔABC是直角三角形 B. 当k = 3时,ΔABC是锐角三角形
C. 当k = 2时,ΔABC是钝角三角形 D. 当k = 1时,ΔABC是钝角三角形
7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1>0 且a6
a5= 9
11,则当 Sn 取最大值时,n 的值
{ }na为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
8.已知向量푎 = (3cos휃,3sin휃),푏 = (0, - 3),휃 ∈ (휋
2,휋),则向量푎、푏的夹角为
( )
A. 3휋
2 - 휃 B. 휃 - 휋
2 C. 휋
2 +휃 D. 휃
9.已知实数 x,y 满足xy ― 2 = x + y,且x > 1,则y(x + 11)的最小值为( )
A.21 B.24 C.25 D. 27
10.若不等式(|x-2a|-b)×cos(πx-
π
3 )≤0 在 x∈[-
1
6,
5
6]上恒成立,则 2a+
b 的最小值为( )
A.1 B. 5
6 C.2
3 D. 2
二、填空题(本大题 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分,共,36 分)
11.已知平面向量 a=(2,-3),b=(1,x),若 a∥b,则 x=________;若
a⊥b,则 x=________.
12.若x,y满足{x ≤ 2,
y ≥ -1,
4x-3y+1 ≥ 0,
则2y-x的最小值为______.最大值为_______.
13.已知正数 a,b 满足 a+b=1,则b
a+1
b的最小值为________,此时 a=
________.
14. 在△ABC 中,AB>AC,BC=2 3,A=60°,△ABC 的面积等于 2 3,则 sin
B=________,BC 边上中线 AM 的长为________.
15.若 a1=2,an+1=an+n+1,则通项公式 an=________.16. 若关于 x 的不等式|2020-x|-|2 019-x|≤d 有解,则实数 d 的取值范围
________.
17.已知 G 为△ABC 的重心,过点 G 的直线与边 AB,AC 分别相交于点 P,Q,若AP→
=λAB→
,则△ABC 与△APQ 的面积之比为________.(结果用 λ 表示)
第Ⅱ卷
三、解答题(本大题 5 小题,共 74 分)
18.(本小题满分 14 分).已知数列{an}满足 a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 bn=
an
n .
(1)证明:数列{bn}为等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
19. (本小题满分 15 分)已知函数푓(푥) = - 4푥2 +13푥 - 3.
(1)求不等式푓(푥) > 0的解集;
(2)当푥 ∈ (0, + ∞)时,求函数푦 = 푓(푥)
푥 的最大值,以及 y 取得最大值时 x 的
值.20. (本小题满分 15 分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,
(1)求 a 与 b 的夹角 θ;
(2)求|a+2b|;
(3)若AB→
=a+2b,BC→
=b,求△ABC 的面积.
21. (本小题满分 15 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,sin2A
+sin2B+sinAsinB=2csinC,△ABC 的面积 S=abc.
(1)求角 C;
(2)求 a+b 的取值范围.22.(本小题满分 15 分)已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a2n=4Sn-2an-
1(n∈N*).数列{푏푛}满足푏푛 = 1
푎푛·푎푛 +1
,푇푛为数列{푏푛}的前 n 项和.
(1)求数列{푎푛}的通项公式;
(2)求数列{푏푛}的前 n 项和푇푛;
(3)若对任意的푛 ∈ 푁*,不等式휆푇푛 < 푛 + 8 ⋅ ( - 1)푛恒成立,求实数휆的取值
范围;
山河联盟 2019 学年第二学期期中考试高一数学参考答案
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A C A D B A D B
二、填空题: 本大题共 7 个小题,共 36 分.
11. - 3
2, 2
3 12. -4 4
13. 3, 1
2 14. 1
2 , 7
15. n2+n+2
2
16. d ≥ - 1
17. 3λ-1
λ2
三、解答题: 本大题共 5 个小题,共 74 分.
18.(本小题满分 14 分)
(1)由条件可得an+1
n+1=2an
n ,即 bn+1=2bn,又 b1=1,
所以{bn}是首项为 1,公比为 2 的等比数列.
(2)由(1)可得 bn=2n-1,an
n =2n-1 所以 an=n·2n-1.
19. 本小题满分 15 分)
解:(1)由题意得 - 4푥2 +13푥 - 3 > 0,
因为方程 - 2푥2 +7푥 - 3 = 0有两个不等实根푥1 = 1
4,푥2 = 3,
又二次函数푓(푥) = - 4푥2 +13푥 - 3的图象开口向下,
所以不等式푓(푥) > 0的解集为{푥|1
4 < 푥 < 3};(2)由题意知,푦 = 푓(푥)
푥 = -4푥2 + 13푥 - 3
푥 = - 4푥 - 3
푥 +13,
因为푥 > 0,所以푦 = - 4푥 - 3
푥 +13 = 13 - (4푥 + 3
푥) ≤ 13 - 4 3,
当且仅当4푥 = 3
푥,即푥 = 3
2 时,等号成立.
综上所述,当且仅当푥 = 3
2 时,y 取得最大值为13 - 4 3.
20.(本小题满分 15 分)
解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,
∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,
∴64-4a·b-27=61,
∴a·b=-6.∴cos θ= a·b
|a||b|= -6
4 × 3=-1
2.
又 0≤θ≤π,∴θ=2π
3 .
(2)|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4a·b+4|b|2
=42+4×(-6)+4×32=28,
∴|a+2b|=2 7
(3)BA与BC的夹角 B
cosB = -2
7 ∴sinB = 3
7
|AB→
|=2 ퟕ,|BC→
|=3,
∴S△ABC=1
2|AB→
||BC→
|sinB=1
2×2 ퟕ×3× 3
7 =3 3.21. (本小题满分 15 分)
解 (1)由 S=abc=1
2absin C 可知 2c=sin C,∴sin2A+sin2B+sinAsinB=
sin2C.由正弦定理得 a2+b2+ab=c2.由余弦定理得 cos C=a2+b2-c2
2ab =-1
2,
∴C∈(0,π),∴C=2π
3 .
(2) 法一:由(1)知 2c=sin C,c=
3
4 ∴2a=sinA,2b=sin B.
△ABC 的 a+b=1
2(sinA+sinB)
=1
2[sin A+sin(π
3 -A)]
=1
2(sin A+
3
2 cos A-
1
2sin A)
=1
2(1
2sin A+
3
2 cos A)
=1
2sin(A+
π
3 )
∵A∈(0,
π
3 ),∴A+π
3 ∈(π
3 ,
2π
3 ),∴sin(A+
π
3 )∈( 3
2 ,1],∴1
2sin(A+
π
3 )
∈( 3
4 ,1
2]
∴a+b 的取值范围为. ( 3
4 ,1
2]
法二:c2 = a2 + b2 +ab
c2 = (a + b)2 - ab ≥ (a + b)2 - (a + b)2
4
3
16 ≥ 3
4(a + b)2
∴a+b ≤ 1
2∵a+b > 푐 = 3
4
∴a+b 的取值范围为. ( 3
4 ,1
2]
22(本小题满分 15 分)
解:(1) 当 n=1 时,a1=1;
当 n≥2 时,因为 an>0,a2n=4Sn-2an-1,
所以 a 2n-1=4Sn-1-2an-1-1,
两式相减得 a2n-a 2n-1=4an-2an+2an-1=2(an+an-1),
所以 an-an-1=2,所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列,所以 an=
2n-1.
(2)由题意和(1)得:푏푛 = 1
푎푛·푎푛 +1
= 1
(2푛 - 1)·(2푛 + 1) = 1
2( 1
2푛 - 1 - 1
2푛 + 1),
所以数列{푏푛}前 n 项和푇푛 = 1
2(1 - 1
3 + 1
3 - 1
5 + ⋯
+ 1
2푛 - 1 - 1
2푛 + 1) = 푛
2푛 + 1.
(3)①当 n 为偶数时,要使不等式휆푇푛 < 푛 + 8 ⋅ ( - 1)푛恒成立,
即需不等式휆 < 2푛 + 8
푛 +17恒成立.
∵ 2푛 + 8
푛 ≥ 8,等号在푛 = 2时取得.
∴ 此时휆需满足휆 < 25.
②当 n 为奇数时,要使不等式휆푇푛 < 푛 + 8 ⋅ ( - 1)푛恒成立,
即需不等式휆 < 2푛 - 8
푛 - 15恒成立.
∵ 2푛 - 8
푛是随 n 的增大而增大,
∴ 푛 = 1时,2푛 - 8
푛取得最小值 - 6.
∴ 此时휆需满足휆 < - 21.
综合①、②可得휆的取值范围是휆 < ― 21.