唐山市 2019—2020 学年度高三年级第一次模拟考试
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 中元素的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求解 ,再求 判断即可.
【详解】由题, ,故 有两个元素.
故选：B
【点睛】本题主要考查了交集的运算,属于基础题.
2.设 是虚数单位，复数 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
利用复数的除法法则将复数 化为一般形式，可得出复数 ，进而可判断出复数 在复平面内对应的点所在
的象限.
【详解】 ， .
因此，复数 在复平面内对应的点位第四象限.
{ }1,0,1,2A = − { }2 2 0B x x x= + ≤ A B
{ }2 2 0B x x x= + ≤ A B
{ } ( ){ } { }2 2 0 2 0 2 0B x x x x x x x x= + ≤ = + ≤ = − ≤ ≤ { }1,0A B∩ = −
i 2
3
iz i
+= − z
z z z
( )( )
( )( )
2 32 5 5 1 1
3 3 3 10 2 2
i ii iz ii i i
+ ++ += = = = +− − +
1 1
2 2z i∴ = −
z
故选：D.
【点睛】本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，考查复数的除法运算和共轭复数定义的应用，
考查计算能力，属于基础题.
3.人口平均预期寿命是综合反映人们健康水平的基本指标. 年第六次全国人口普查资料表明，随着我国
社会经济的快速发展，人民生活水平的不断提高以及医疗卫生保障体系的逐步完善，我国人口平均预期寿
命继续延长，国民整体健康水平有较大幅度的提高.下图体现了我国平均预期寿命变化情况，依据此图，下
列结论错误的是（ ）
A. 男性的平均预期寿命逐渐延长
B. 女性 平均预期寿命逐渐延长
C. 男性的平均预期寿命延长幅度略高于女性
D. 女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性
【答案】C
【解析】
【分析】
从图形中的数据变化可判断 A、B 选项的正误；计算出男性和女性平均预期寿命延长幅度，可判断 C、D 选
项的正误，综合可得出结论.
【详解】由图形可知，男性的平均预期寿命逐渐延长，女性的平均预期寿命也在逐渐延长，A、B 选项均正
确；
从 年到 年，男性的平均预期寿命的增幅为 ，女性的平均预期寿命的增幅为
，
所以，女性的平均预期寿命延长幅度略高于男性，C 选项错误，D 选项正确.
故选：C.
的
2010
1981 2010 72.38 66.28 6.1− =
77.37 69.27 8.1− =
【点睛】本题考查统计图的应用，考查学生的数据处理能力，属于基础题.
4.已知向量 ， 满足 ，且 ，则 （ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将 两边平方,再根据数量积公式求解即可.
【详解】由 有 .因为 ,故 .
故选：D
【点睛】本题主要考查了数量积与模长的计算等.属于基础题.
5.设 sin ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析： ，两边平方后得 ，
整理为 ，即 ，故选 A.
考点：三角函数
6.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八
尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少
斛米”（古制 丈 尺， 斛 立方尺，圆周率 ），则该圆柱形容器能放米（ ）
A. 斛 B. 斛 C. 斛 D. 斛
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果.
a b a b b+ = 2a = a b⋅ =
1− 2−
a b b+ =
a b b+ = ( )2 22
= +2 0a b b a a b+ ⇒ ⋅ = 2a = 2a b⋅ = −
1+ =4 3
π θ（ ） sin 2θ =
7
9
− 1
9
− 1
9
7
9
1 10= 1 1.62= 3π =
900 2700 3600 10800
【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为 ，则 （尺），
所以，该圆柱形容器的体积为 （立方尺），
因此，该圆柱形容器能放米 （斛）.
故选：B.
【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.
7.已知数列 是等差数列， 是等比数列， ， ，若 、 为正数，且 ，
则（ ）
A. B.
C. D. 、 的大小关系不确定
【答案】A
【解析】
【分析】
用 、 表示 、 ，然后利用作差法可得出 与 的大小关系.
【详解】由于 、 、 成等差数列，则 ，则 ，
由于 、 、 成等比数列，则 ，则 ，
所以， ，
、 为正数，且 ，因此， ，即 .
故选：A.
【点睛】本题考查数列中项的大小比较，涉及比较法的应用，考查推理能力，属于中等题.
8.抛物线 上一点 到其准线和坐标原点的距离都为 3，则 （ ）
A 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】
分析】
.
【
r 54 54 92 6r π= = =
2 218 3 9 18 4374V rπ= × = × × =
4374 27001.62
=
{ }na { }nb 2 2a b m= = 3 3a b n= = m n m n≠
1 1a b< 1 1a b>
1 1a b= 1a 1b
m n 1a 1b 1a 1b
1a 2a 3a 2 1 32a a a= + 1 2 32 2a a a m n= − = −
1b 2b 3b 2
2 1 3b b b=
2 2
2
1
3
b mb b n
= =
( )22 2 2
1 1
22 m nm mn n ma b m n n n n
−− −− = − − = = −
m n m n≠ ( )2
1 1 0m na b n
−− = − < 1 1a b<
( )2 2 0x py p= > A p =
设 ,再根据抛物线的定义以及点到点的距离公式列出等式求解即可.
【详解】设 ,则由题意得 ,即 ,又 ,故 ,化简得
,又点 到原点的距离为 3,故 .解得 .
又由题可得 ,代入 有 .
故选：C
【点睛】本题主要考查了抛物线定义的运用,需要根据题意设对应的点,再根据点 在抛物线上以及抛物线的
定义列式求解即可.属于中档题.
9.函数 在 上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分析函数 的奇偶性以及函数 在 上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项
.
【 详 解 】 当 时 ， ， 则 ，
( )0 0,A x y
( )0 0,A x y 0 32
py + = 06 2p y= − 2
0 02x py= ( )2
0 0 02 6 2x y y= −
2 2
0 04 12x y+ = A 2 2
0 0 9+ =x y 2 2
0 08, 1x y= =
0 1y = 2
0 02x py= 4p =
A
( ) 2tanf x x x= − ,2 2
π π −
( )y f x= ( )y f x= 0, 4
π
,2 2x
π π ∈ − ( ) ( ) ( )2 2tan tanf x x x x x− = − − − = − − ( ) ( )f x f x− ≠
，
所以，函数 为非奇非偶函数，排除 B、D 选项；
当 时，设 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，
所以，当 时， ，则 ，即 ，排除 C 选项.
故选：A.
【点睛】本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及
函数值符号，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10.设函数 ，则下列结论中错误的是（ ）
A. 的图象关于点 对称 B. 的图象关于直线 对称
C. 在 上单调递减 D. 在 上的最大值为 1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的对称点、对称轴以及单调区间与最值的性质逐个代入检验即可.
【详解】对 A, ,为对称点.故 A 正确.
对 B,当 时, 不是 的对称轴.故 B 错误.
对 C,当 时, , 在 上单调递减.故 C 正确.
对 D, 当 时, .当 时,取得最大值 1.故 D 正确.
故选：B
( ) ( )f x f x− ≠ −
( )y f x=
0, 4x
π ∈
( ) sintan cos
xg x x x xx
= − = − ( ) 2
1 1 0cosg x x
′ = − >
( )y g x= 0, 4
π
( ) ( )0 0g x g> =
0, 4x
π ∈ tan 0x x− > 2tan x x x> > ( ) 0f x >
( ) 2sin 3f x x
π = +
( )f x ,03
π
( )f x
6x
π=
( )f x 0, 3
π
( )f x ,03
π −
2sin 03 3 3f
π π π = + =
6x
π= 2 2 5
3 6 3 6x
π π π π+ = + = siny x=
0, 3x
π ∈
2 2 ,3 3x
π π π + ∈ siny x= 2π ,π3
é ùê úê úë û
,03x
π ∈ −
2 2,3 3 3x
π π π + ∈
2
3 2x
π π+ =
【点睛】本题主要考查了代入检验判断三角函数性质是否成立的问题.属于基础题.
11.已知四棱锥 的顶点都在球 的球面上， 底面 ， ，
，若球 的表面积为 ，则 （ ）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据球 的表面积为 可得外接球半径 ,再根据底面 中的边长关系,结合圆的内接四边形的性质
求解底面 外接圆的半径 ,进而求得 即可.
【详解】设球 的半径为 ,则 ,解得 .设底面 外接圆的半径 ,则由圆的内接四边
形 的 性 质 可 知 , 又 , , . 故 . 故
.故 .
故 .
故选：C
【点睛】本题主要考查了外接球的问题,需要根据底面圆的直径以及锥体高与球的直径满足的勾股定理,再结
合底面外接圆的内接四边形的性质进行求解.属于中档题.
12.已知 是双曲线 ： 的右焦点， 是 的渐近线上一点，且 轴，过
作直线 的平行线交 的渐近线于点 （ 为坐标原点），若 ，则双曲线 的离心率是（
）
A. 2 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设 ,根据 轴,可得 ,再根据直线 的方程联立渐近线方程可得 ,再利用
求解出关于 的方程,化简求得离心率即可.
P ABCD− O PA ⊥ ABCD 1AB AD= =
2BC CD= = O 36π PA =
6 31 33
O 36π R ABCD
ABCD r PA
O R 24 36Rπ π= 3R = ABCD r
180B D∠ + ∠ = ° 1AB AD= = 2BC CD= = AC AC= ABC ADC≅△ △
90B D∠ = ∠ = ° 2 21 2 5 2AC r= + = =
( ) ( )2 22 2 36 5 31PA R r= − = − =
F C ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > M C MF x⊥
F OM C N O MN ON⊥ C
3 6
2
2 3
3
( ),0F c MF x⊥ , bcM c a
NF N
1ON MNk k⋅ = − , ,a b c
【详解】设 ,因为 轴,故 .又直线 ： ,
联立直线 : 可得 , .
又 ,故 ,即 .
化简可得 ,故 .
故离心率 .
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据几何关系结合双曲线的性质求解离心率的问题,需要根据题意求解对应的点的
坐标,再根据几何关系列式求解关于基本量之间的关系,进而化简求得离心率.属于中档题.
二、填空题：本题共 4 小题.
13.若 、 满足约束条件 ，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得 取得最小值时对应的最优解，代入
目标函数计算即可.
【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
( ),0F c MF x⊥ , bcM c a
NF ( )by x ca
= −
ON by xa
= −
2x c=
2
bcy a
= −
MN ON⊥ 1ON MNk k⋅ = − 2 1
2
bc bc
b a a
ca c
+
− ⋅ = −
−
2 23a b= ( ) 2
2 2 2
2
43 3
ca c a a
= − ⇒ =
2 3
3
c
a
=
x y
1 0
3 0
3 1 0
x y
x y
x y
− + ≥
+ − ≤
− + ≤
2z x y= −
2−
2z x y= −
1 0
3 0
3 1 0
x y
x y
x y
− + ≥
+ − ≤
− + ≤
联立 ，解得 ，即点 ，
平移直线 ，当该直线经过可行域 顶点 时，直线 在 轴上的截距最小，此时 取最
小值，即 .
故答案为： .
【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线的方法找出最优解，
考查数形结合思想的应用，属于基础题.
14.曲线 在点 处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
求导根据导数的几何意义以及直线的方程求解切线方程即可.
【详解】由题, ,故 .又 .
故切线方程为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解在函数某点处切线的方程.属于基础题.
15.在数列 中，已知 ， （ ， 为非零常数），且 、 、 成等比数列，
则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
的
1 0
3 1 0
x y
x y
− + =
− + =
1
0
x
y
= −
=
( )1,0A −
2z x y= − A 2z x y= − x z
( )min 2 1 0 2z = × − − = −
2−
( ) 2sin 1xf x e x= + − ( )( )0, 0f
3y x=
( )' 2cosxf x e x= + ( ) 0' 0 2cos0 3f e= + = ( ) 00 2sin 0 1 0f e= + − =
3y x=
3y x=
{ }na 1 1a = 1n na a tn+ = + *n N∈ t 1a 2a 3a
na =
2 2
2
n n− +
由 、 、 成等比数列求出非零实数 的值，再利用累加法可求得 .
【详解】 ， （ ， 为非零常数），则 ， ，
由于 、 、 成等比数列，则 ，即 ，整理得 ，
，解得 ， ，
.
故答案为： .
【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，同时也考查了利用等比中项的性质求参数，考查计算能力，
属于中等题.
16.已知 ， 有极大值 和极小值 ，则 的取值范围是______，
______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)求导得 ,再根据 有极大和极小值可知导函数在定义域内有两个不相等的
实数根,再根据零点存在定理列式即可求得 的取值范围.
(2)代入 化简 ,再代入(1)中极值点满足的韦达定理求解即可.
【详解】(1)由题, ,因为 有极大值 和极小值 ,
故 在区间 上有两个不相等的实数根.
1a 2a 3a t na
1 1a = 1n na a tn+ = + *n N∈ t 2 1 1a a t t= + = + 3 2 2 3 1a a t t= + = +
1a 2a 3a 2
2 1 3a a a= ( ) ( )21 1 3 1t t+ = × + 2 0t t− =
0t ≠ 1t = 1n na a n+∴ − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 2 1 3 2 1
1 1 11 1 2 1 1 2n n n
n na a a a a a a a n−
+ − −∴ = + − + − + + − = + + + + − = +
2 2
2
n n− +=
2 2
2
n n− +
( ) 1 2 lnf x a x xx
= − +
( )f x ( )1f x ( )2f x a
( ) ( )1 2f x f x+ =
20, 4
ln 2−
( ) 2
1 1' 2f x a x x
= − − +
( )f x
a
( ) 1 2 lnf x a x xx
= − +
( ) ( )1 2f x f x+
( ) 2
2 2
1 1 2' 2 ax x af x a x x x
− + − = − − + =
( )f x ( )1f x ( )2f x
( ) 22g x ax x a= − + − ( )0, ∞+
故 ,即 ,解得 .
(2)由(1)可知 .
故
.
故答案为：(1). (2).
【点睛】本题主要考查了利用函数的极值求解参数范围的问题,同时也考查了零点存在性定理以及韦达定理
在极值点中的运用.属于中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每个试题考
生都必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：
17.某高校艺术学院 2019 级表演专业有 27 人，播音主持专业 9 人，影视编导专业 18 人.某电视台综艺节目
招募观众志愿者，现采用分层抽样的方法从上述三个专业的人员中选取 6 人作为志愿者.
（1）分别写出各专业选出的志愿者人数；
（2）将 6 名志愿者平均分成三组，且每组的两名同学选自不同的专业，通过适当的方式列出所有可能的结
果，并求表演专业的志愿者 与播音主持专业的志愿者分在一组的概率.
【答案】（1）表演专业 3 人，播音主持专业 1 人，影视编导专业 2 人； （2）可能的结果见解析； .
【解析】
【分析】
(1)先求解分层抽样抽取的比例,再逐个计算即可.
(2) 设表演专业的 3 位志愿者为 , , ,播音主持专业的志愿者为 ；影视编导专业的志愿者为 , .再
利用列举法求解即可.
【详解】（1）由题可知选取比例为 ,故表演专业 人,播音主持专业 人,
( )( )
1 02
02
1 4 2 0
a
a
a
a a
− > − − >−
− − − >
2
0
1
8
a
a
> ( ) ( )3 2 22 3 1 6 2f x ax a x ax= − + + −
( )f x
( )f x R a
( )0, 2
( ) ( )( )6 1f x x a ax′ = − − x a= 1x a
= a 1
a
( ) ( )( )2 21 2f a a a= − − 2
1 11f a a
= − 0 1a< < 1a = 1a >
a
( ) ( ) ( )( )2 26 6 1 6 6 1f x ax a x a x a ax′ = − + + = − −
( ) 0f x′ = x a= 1x a
=
0 1a< < 1 aa
>
x a< 1x a
> ( ) 0f x′ > ( )f x ( ),a−∞ 1 ,a
+∞
1a x a
< < ( ) 0f x′ < ( )f x 1,a a
1a = 1 1aa
= = ( ) 0f x′ ≥ ( )f x R
1a > 1a a
>
1x a
< x a> ( ) 0f x′ > ( )f x 1, a
−∞
( ),a +∞
1 x aa
< < ( ) 0f x′ < ( )f x 1 ,aa
( ) ( )( )4 2 2 23 2 1 2f a a a a a= − + − = − − 2
1 11f a a
= −
由（1）得，当 时， ， ,
所以 仅在 上有一个零点，因此 时成立；
当 时， ，所以 在 上仅有一个零点 1.
当 时， ，所以要满足题设有 ，
从而 ，解得 ，因此 时成立.
综上，满足题目条件的 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查了分类讨论函数单调性的问题，同时也考查了利用导数求解函数零点的问题，需要
根据单调性以及极值的取值范围列式求解，属于难题.
（二）选考题：请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在极坐标系中，圆 ，直线 .以极点 为坐标原点，以极轴为 轴的正半轴建
立直角坐标系.
（1）求圆 的参数方程，直线 的直角坐标方程；
（2）点 在圆 上， 于 ，记 的面积为 ，求 的最大值.
【答案】（1） （ 为参数）， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用极坐标方程与普通方程之间的转换关系可将直线 的极坐标方程转化为直角坐标方程，将圆 的
极坐标方程化为普通方程后，确定圆心和半径，即可得出圆 的参数方程；
（2）设点 ，可得点 ，利用三角恒等变换思想化简三角形的面积公
式，再利用正弦函数的有界性可得出 的最大值.
【详解】（1）由题意得 ，所以 ，
将圆 的极坐标方程化为 ，
由 ， ，所以 的普通方程为 ，即 .
0 1a< < ( ) 0f a < 1 0f a
1 0f a
>
( ) 0f a >
22 0a− > 1 2a< < 1 2a< <
a ( )0, 2
: 4sinC ρ θ= : cos 2l ρ θ = O x
C l
A C AB l⊥ B OAB S S
2cos: 2 2sin
xC y
α
α
=
= +
α : 2l x = 3 2 2+
l C
C
( )2cos ,2 2sinA α α+ ( )2,2 2sinB α+
S
cosx ρ θ= : 2l x =
C 2 4 sinρ ρ θ=
2 2 2x yρ = + siny ρ θ= C 2 2 4x y y+ = ( )22 2 4x y+ − =
从而 的参数方程为 （ 为参数）；
（2）设 ， ，则 .
所以
.
， ，
当 ，即 时， 取得最大值 .
【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用圆的参数方程求
解三角形面积的最值问题，考查三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等
题.
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）是否存在实数 ，使得 的图象与 轴有唯一的交点？若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，实数 或 .
【解析】
【分析】
（1）当 时，由 得出 ，然后分 、 、 三种情况解
不等式 ，综合可得出该不等式的解集；
（2）分 、 和 三种情况讨论，将函数 的解析式表示为分段函数的形式，求出
该函数的最小值 ，根据题意得出 ，由此可求得实数 的值.
【详解】（1）当 时， 化为 .
当 时，不等式化为 ，无解；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
C
2cos: 2 2sin
xC y
α
α
=
= +
α
( )2cos ,2 2sinA α α+ 0 2α π< < ( )2,2 2sinB α+
( ) ( )( )1 2 2sin 2 1 cos 1 sin2S AB α α α= ⋅ + = − +
( ) ( )2sin 2cos 2cos sin 2 1 2sin cos 2 sin cos 1α α α α α α α α= − − + = − + − +
( ) ( ) ( )
2
2 2sin cos 2 sin cos 1 sin cos 1 2 sin 14
πα α α α α α α = − + − + = − + = − +
0 2α π<
a ( )f x x a
2 23x x
< 1 2 1 1 0x x+ − − − > 1x ≤ − 1 1x− < < 1x ≥
1 2 1 1 0x x+ − − − >
1a > − 1a < − 1a = − ( )y f x=
( )maxf x ( )max 0f x = a
1a = ( ) 0f x > 1 2 1 1 0x x+ − − − >
1x ≤ − 4 0x − >
1 1x− < < 3 2 0x − > 2 13 x< 1 2x≤ <
( ) 0f x > 2 23x x
< − ( )
3,
3 3, 1
1, 1
x a x a
f x x a a x
x a x
− − < −
= + − − ≤ ≤
− + + >
( )y f x= ( )1f a= 0a =
1a < − ( )
3, 1
3 1,1
1,
x a x
f x x a x a
x a x a
− − −
( )y f x= ( )1 2f a= − − 2a = −
1a = − ( ) 1 1 0f x x= − − − < 1a = −
0a = 2a = −
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