广东省梅州市2020届高三总复习质检试卷理科数学含答案（2020.06）

1 梅州市高三总复习质检试卷 理科数学 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的。 1．复数 ，则其共轭复数 A．-1-i B．-1+i C．1-i D．1+i 2．已知集合 则 = A． B． C． D． 3．在 中 的中点，则 B． D. 4．以下四个命题： ①若 为假命题，则 p,q 均为假命题； ②对于命题 则¬p 为： ； ③ 是”函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件; ④ 为偶函数的充要条件是 其中真命题的个数是 ( )2020.6 2 1 iz i = − z = 2 2{ | 1, }, { | 2 },RM y y x x N x y x= = − = = −∈ M N [ )1,+∞ 1, 2 −  )2,− +∞ ABC∆ , , DBD DC E A=  是 EB = 2 1. 3 3A AB AC−  2 1 3 3AB AC+  3 1. 4 4C AB AC+  3 1 4 4AB AC−  p q∧ 2 0 0 0: , 1 0,Rp x xx ∈∃ + + < 2, 1 0;Rx x x+ +∀ ∉  " 2"a = ( ) logaf x x= ( )0,+∞ ( ) ( )sinf xx ϕω= + 2 πϕ = 2 A．1 B．2C．3D．4 5．2021 年起，我省将实行“3+1+2”高考模式，某中学为了解本校学生的选考情况，随机调查了 100 位学生， 其中选考化学或生物的学生共有 70 位，选考化学的学生共有 40 位，选考化学且选考生物的学生共有 20 位．若该校共有 1500 位学生，则该校选考生物的学生人数的 估计值为 A．300 B．450 C．600 D．750 6. 展开式的常数项为 A．120 B．160 C．200 D．240 7．已知在各项均不为零的等差数列 数列 是等比数列， 且 则 等于 A．2 B．4C．8 D．16 8．某几何体的三视图如图示，已知其主视图的周长为 8，则该几何体侧面积的最大值为 A．2π B．4π C．16π D．不存在 9．若 有下列四个不等式： ； ③ ； 3 2 2 1 4 4xx  + +   7 2 3 11{ } 2 2 0,n aa a a− + =中， { }nb 7 7 ,b a= 86b b⋅ 1 1 0,a b > > ( ) 3 3l a b< 2 1log 3 log 3;a b+ +>② b a b a− < − 3 ④ 则下列组合中全部正确的为 A．①② B．①③ C．①④ D．②③ 10．已知直线 ：2x-y+3=0 和直线 ：x=-1，抛物线 上的点 P 到直线 和直线 的距离之和的最小 值是 A． B．2 C． 11．祖暅是南北朝时代的伟大数学家，五世纪末提出几何体体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积 不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截 面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等，现在有四个几何体：图①是从圆柱中挖去一个圆锥所 得的几何体，图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为 A．①② B．①③ D．①④ 12．在直角坐标系 xOy 中，如果相异两点 都在函数 的图象上，那么称 A，B 为函数 的一对关于原点成中心对称的点对(A，B 与 B，A 为同一对).函数 图象 上关于原点成中心对称的点对有 A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对 二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13．已知数列 的前 n 项和为 则 ▲ 3 3 22 .a b ab+ > 1l 2l 2 4y x= 1l 2l 5 3 . 2D .C ②④ ( ) ( ), , ,A a b B a b− − ( )y f x= ( )f x ( ) 6 sin , 02 log , 0 x xf x x x π ≤=   > { }na 1 1, 1, 2 ,n n nS a S a += = nS = 4 14．曲线 在点 处的切线方程为▲ 15．某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储存温度 x(单位：℃)满足函数关系 （ 为自然对数的底数， k，b 为常数)，若该食品在 0C 的保鲜时间是 384 小时，在 22℃的保鲜时间是 24 小时，则该食品在 33C 的 保鲜时间是▲ 16．已知双曲线 C： 的左、右焦点分别为 ，O 为坐标原点，P 是双曲线在第 一象限上的点，直线 PO 、PF2 分别交双曲线 C 的左、右支于另一点 M 、N ．若 且 则双曲线 C 的离心率为▲ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个考生都必 须作答；第 22-23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：60 分 17．(12 分) 已知 a，b，c 分别为说角△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，满足 (1)求 A； (2)若 b=2，，求 面积的取值范围。 18．(12 分) 如图 中 、C 分别是 PA、PD 的中点，将 //BC 折起连结 PA、 PD，得到多面体 PABCD。 (1)证明：在多面体 PABCD 中 ； ( ) tanf x x= ,14 π     kx by e += e ( )2 2 2 2 0, 0x y l a ba b − = > > 1 2,F F 1 2| | 2 | |,PF PF= 2 60 ,NMF °=∠ 2 2 2sin sin sin sin sin 0.A B C B C− − + = ABC∆ PAD∆ , 90 , 2,DP DA BPDA °∠ = = = PBC∆ , ;BC PD⊥ 5 (2)在多面体 PABCD 中，当 时，求二面角 B-PA-D 的余弦值。 19．(12 分) 某市《城市总体规划（ 年）》提出到 2035 年实现“15 分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育 与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身 4 个方面构建“15 分钟社区生活圈“指标体系，并依据“15 分 钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区(指数为 、良好小区(指数为 0.4-0.63、中等小区(指 数为 0.2~0.4)以及待改进小区(指数为 0-0.2)4 个等级．下面是三个小区 4 个方面指标值的调查数据： 注：每个小区”15 分钟社区生活圈”指数 其中 、 、 、 为该小区四 个方面的权重， 为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为 之间的一个数值) 现有 100 个小区的“15 分钟社区生活圈“指数数据，整理得到如下频数分布表： 6PA = 2016 2035− 0.6 ~1) 21 1 3 3 4 42 ,T TwT w T w T w= ++ + 1w 2w 3w 4w 41 2 3, , ,T T TT 0 ~1 6 (1)分别判断 A、B、C 三个小区是否是优质小区，并说明理由； (2)对这 100 个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层抽样，抽取 10 个小区进行调 查，若在抽取的 10 个小区中再随机地选取 2 个小区做深入调查，记这 2 个小区中为优质小区的个数为 ζ， 求 ζ 的分布列及数学期望。 20．(12 分) 已知两动圆 ： ： ，把它们的公共点 P 的轨 迹记为曲线 C，若曲线 C 与 y 轴的正半轴的交点为 M，且曲线 C 上相异的两点 A，B 满足：MA⋅MB=0． (1)求曲线 C 的方程; (2)证明直线 AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标; (3)求 面积 S 的最大值. 21．(12 分) 已知函数 (1)当 时，求证： ; (2)当 f(x)有三个零点时，求 a 的取值范围. 1F ( )2 2 23x y r+ + = 2F和 ( ) ( ) ( )2 223 4 0 4x y r r− + = − < < ABM∆ ( ) 2 22ln .af x x ax x = − + 0 1a< < 02 af   >   7 (二)选考题：10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分) 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位， 已知直线的参数方程为 (t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为 (1)求直线和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 在圆 C 上，求 的取值范围． 23．[选修 4-5：不等式选讲](10 分) 已知函数 (1)求不等式 的解集； (2)若不等式 对任意 x∈R 恒成立，求实数 a 的取值范围。 3 2 35 2 1 x t y t  = −  = − + 4cos .3 πρ θ = −   ( ),P x y 3x y− ( ) | 2 3| | 1|.f x x x= + − − ( ) 3f x  ( ) 2 | 3 3|f x a x> − − 8 梅州市高三总复习质检试题（2020、6） 理科数学参考答案与评分意见 一、题选择：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A C D A D B D D B A D C 二、填空题:每题 5 分，满分 20 分. 13. . 14. . 15. 6. 16. . 17.(12 分) 解:(1)由已知及正弦定理得, ……………………2 分 由余弦定理可得 ……………………4 分 又 ……………………6 分 (2) 由已知及正弦定理得, ……………………7 分 由 得 ……………………8 分 ……………………9 分 △ 是锐角三角形,得 得 ……………………10 分 ……………………11 分 1)2 3( −n 0212 =−+− π yx 3 ,222 bccba −+= .2 1cos =A .3,0 ππ =∴ 0a ≤ ( )' 0h x > ( )h x 1 2a ≥ ( )' 0h x ≤ ( )h x 10 2a< < ( ) 2 ( 0)x ax x a xϕ = − + − > 1x 2x 1 20 x x< < 1 2 1x x⋅ = ( )10,x x∈ ( )' 0h x < ( )1 2,x x x∈ ( )' 0h x > ( )2 ,x x∈ +∞ ( )' 0h x < ( )1 0h = 1 21x x< < ( )1 2,x x x∈ ( )' 0h x > ( )h x ( ) ( ) ( )1 21h x h h x< < ( ) ( )1 20h x h x< < ( )10,x x∈ ( )' 0h x < ( )h x ( )2 ,x x∈ +∞ ( )' 0h x < ( )h x 02 ah   >    ( )1 0h x < ( )h x 1,2 a x       ,0ln)(),,2( 0 00010 =+−=∈ x aaxxxhxax ,0)(11ln)1( 00 000 =−=+⋅−= xhaxxaxxh 15 所以 也是 的零点 . ……………………11 分 综上可知 有 三个零点. 即当 有三个零点时， 的范围是 . ……………………12 分 22.(10 分) 解：（1）由题意，直线 的参数方程为 （ 为参数）， 消去参数 ，得直线 的直角坐标方程为 ， ……………………2 分 又由圆 的极坐标方程为 ，即 ，………………4 分 又因为 ， ， ， 可得圆 的直角坐标方程为 . ……………………5 分 （2）因为点 在圆 上，可设 ( 是参数)， ………………7 分 所以 . ……………………9 分 因为 ，所以 的取值范围是 . ……………………10 分 23.(10 分) 解：（1） , 0 1 x )(xh ( ) ln ( 0)ah x x ax xx = − + > 0 ,0 1,1 xx ( ) 2 2 2 2 22ln ln ( 0)a af x x ax x ax xx x = − + = − + > a 10, 2      l 35 2 13 2 x t y t  = −  = − + t t l 3 2 0x y+ − = C 4cos 3 πρ θ = −   2 2 cos 2 3 sinρ ρ θ ρ θ= + 2 2 2x yρ = + cos xρ θ = y=θρ sin C ( ) ( )221 3 4x y− + − = ( ),P x y C ( )1 2cos , 3 2sinP θ θ+ + θ 23 3 2 3 cos 3 2sin 4sin 3x y πθ θ θ − = + − − = +   2sin [ 1,1]3 πθ + ∈ −   3x y− [ ]4,4− | 2 3| | 1| 3x x+ − − ≤ 16 或 或 . ……………………3 分 或 或 . . ……………………5 分 即不等式 的解集为 . ……………………6 分 （2） 即 得 ……………………7 分 ……………………9 分 所以实数 的取值范围是 ……………………10 分 1 2 3 1 3 x x x ≥∴ + − + ≤ 3 12 2 3 1 3 x x x  − < −−+ xaxx .2|22||32| axx >−++ ,5|2232||22||32| =+−+≥−++ xxxx .2 5,52