理科2010-2018高考数学真题分类训练专题11概率与统计第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题十一 概率与统计 第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 2019 年 1.（2019 天津理 16）设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 .假定 甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列 和数学期望； （Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 发生的概率. 2．（2019 全国I 理 21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更 有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于 两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮 试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈 只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施 以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白 鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分．甲、乙两 种药的治愈率分别记为 α 和 β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分， 表示“甲药的累计得分为 时， 最 终 认 为 甲 药 比 乙 药 更 有 效 ” 的 概 率 ， 则 ， ， ， 其 中 ， ， ． 假 设 ， ． (i)证明： 为等比数列； (ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性． 3.（2019 北京理 17） 改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。近年来，移动支付已成为主要支 付方式之一。为了解某校学生上个月 A,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机 2 3 X X M M 1− 1− X ( 0,1, ,8)ip i =  i 0 0p = 8 1p = 1 1i i i ip ap bp cp− += + + ( 1,2, ,7)i =  ( 1)a P X= = − ( 0)b P X= = ( 1)c P X= = 0.5α = 0.8β = 1{ }i ip p+ − ( 0,1,2, ,7)i =  4p 4p 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 抽取了 100 人，发现样本中 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额 支付方式 大于 2000 仅使用 A 18 人 9 人 3 人 仅使用 B 10 人 14 人 1 人 （Ⅰ）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A,B 两个支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中上个月支 付金额大于 1000 元的人数，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用 A 的学生中，随 机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额大于 2000 元。根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由. 2010-2018 年 一、选择题 1．(2018 全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相 互 独 立 ， 设 为 该 群 体 的 10 位 成 员 中 使 用 移 动 支 付 的 人 数 ， ， ，则 = A．0．7 B．0．6 C．0．4 D．0．3 2．(2018 浙江)设 ，随机变量 的分布列是 0 1 2 则当 在 内增大时， A． 减小 B． 增大 ( ]0,1000 ( ]1000,2000 p X 2.4DX = ( 4) ( 6)P X P X= < = p 0 1p< < ξ ξ P 1 2 p− 1 2 2 p p (0,1) ( )D ξ ( )D ξ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ C． 先减小后增大 D． 先增大后减小 3．（2017 浙江）已知随机变量 满足 ， ， =1，2． 若 ，则 A． < ， < B． < ， > C． > ， < D． > ， > 4 ．（ 2014 浙 江 ） 已 知 甲 盒 中 仅 有 1 个 球 且 为 红 球 ， 乙 盒 中 有 个 红 球 和 个 篮 球 ，从乙盒中随机抽取 个球放入甲盒中． （a）放入 个球后，甲盒中含有红球的个数记为 ； （b）放入 个球后，从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 ．则 A． B． C． D． 二、填空题 5．（2017 新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回 地抽取 次， 表示抽到的二等品件数，则 = ． 6．(2016 年四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次 试验成功，则在 2 次试验中成功次数 的均值是 . 7．（2014 浙江）随机变量 的取值为 0,1,2，若 ， ，则 __． 三、解答题 8．（2018 北京）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． m n ( )3, 3m n≥ ≥ ( )1,2i i = i ( )1,2i iξ = i ( )1,2ip i = ( ) ( )1 2 1 2,p p E Eξ ξ> < ( ) ( )1 2 1 2,p p E Eξ ξ< > ( ) ( )1 2 1 2,p p E Eξ ξ> > ( ) ( )1 2 1 2,p p E Eξ ξ< < ξ ( ) 10 5P ξ = = ( ) 1E ξ = ( )D ξ = ( )D ξ ( )D ξ i ξ ( 1)i iP pξ = = ( 0) 1i iP pξ = = − i 1 2 10 2p p< < < 1( )E ξ 2( )E ξ 1( )D ξ 2( )D ξ 1( )E ξ 2( )E ξ 1( )D ξ 2( )D ξ 1( )E ξ 2( )E ξ 1( )D ξ 2( )D ξ 1( )E ξ 2( )E ξ 1( )D ξ 2( )D ξ 0.02 100 DX X 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ (1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概 率； (2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1 部，估计恰有 1 部获得好评的概率； (3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“ ”表 示第 类电影得到人们喜欢，“ ”表示第 k 类电影没有得到人们喜欢（ =1， 2，3，4，5，6）．写出方差 ， ， ， ， ， 的大小关系． 9．（2018 全国卷Ⅰ）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之 前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任 取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不 合格品的概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 ． (2)现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以(1)中确定的 作为 的 值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件 不合格品支付 25 元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为 ， 求 ； （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作 检验？ 10．(2018 天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24，16，16．现采用分 层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查． (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一 步的身体检查． （i）用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X 的分布列与数学期望； （ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求 事件 A 发生的概率． 11．（2017 新课标Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元， 售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往 1k ξ = k 0k ξ = k 1Dξ 2Dξ 3Dξ 4Dξ 5Dξ 6Dξ )10( 0 2x<  2x > 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 概率； （II）若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 ，生产一辆乙 品牌轿车的利润为 ，分别求 , 的分布列； （III）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌 的轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理 由． 30．（2011 北京）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个 数据模糊，无法确认，在图中以 X 表示． （Ⅰ）如果 X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （Ⅱ）如果 X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树 Y 的分布列和数学期望． （注：方差 ，其中 为 ， ，…… 的平均数） 31．（2011 江西）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以使确定工资级别， 公司准备了两种不同的饮料共 8 杯，其颜色完全相同，并且其中 4 杯为 A 饮料，另外 4 杯为 B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料，若 4 杯都 选对，则月工资定为 3500 元，若 4 杯选对 3 杯，则月工资定为 2800 元，否则月工资定 为 2100 元，令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数，假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别 能力． （1）求 X 的分布列； （2）求此员工月工资的期望． 答案： 1 1 1 0 9 9 0 X 8 9 乙组甲组 1X 2X 1X 2X ( ) ( ) ( )2 2 22 1 2 1 ns x x x x x xn  = − + − + + −   x 1x 2x nx 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 理科2010-2018 高考数学真题分类训练专题11概率与统计第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与方差答案.pdf