高三教学质量检测数学（理科）试卷
一、选择题
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次不等式与对数不等式的方法分别求出集合 ,再求 即可.
【 详 解 】 ,
.
故 或 .所以 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次不等式与对数不等式的求解,同时也考查了集合的基本运算.属于基础题.
2.对于任意复数 ，任意向量 ，给出下列命题：
① ；② ；
③若 ，则 ；④若 ，则
其中正确的个数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对①②,根据复平面内复数的运算与平面向量运算,数形结合辨析即可.
对③,根据复数的运算推导.对④,举出反例判定即可.
【详解】对①②,复数在复平面内的运算与平面向量的运算相似,均满足平行四边形法则,根据向量的三角不
等式有 ,故 也成立.故①②正确.
对③, 则 ,由复数的运算可知, .故③正确.
U = R ( ){ }4 0A x x x= − < ( ){ }2log 1 2B x x= − < UA B =
{ }1 4x x< < { }0 1x x< ≤ { }0 4x x< < ∅
,A B UA B∩
( ){ } { }4 0 | 0 4A x x x x x= − < = < < ( ){ } { }2log 1 2 0 1 4B x x x x= − < = < − <
{ }1 5x x= < <
{ | 1U B x x= ≤ 5}x ³ { }0 1UA B x x∩ = < ≤
1 2,z z ,a b
1 2 1 2z z z z+ ≤ + a b a b+ ≤ +
2 2
1 2z z= 1 2
= ±z z 2 2
a b= a b= ±
1 2 3 4
a b a b+ ≤ +
1 2 1 2z z z z+ ≤ +
2 2
1 2z z= ( )( )1 2 1 2 0z z z z+ − = 1 2
= ±z z
对④, 若 则 ,不一定有 .
故①②③正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查了复数与平面向量的基本运算辨析,属于基础题.
3.已知双曲线 的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据右焦点到渐近线 距离等于实轴长列出关于 的关系式求解即可.
【详解】渐近线方程 ,即 .故右焦点 到渐近线的距离 .
故 .即 ,解得 .
故选：C
【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的运算,需要根据题意建立关于 的关系式求解.属于基础题.
4.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
的
2 2
a b= a b=
a b= ±
( )2 2
2 2: 1 0, 0x yC a ba b
− = > >
2 3 5 3
, ,a b c
by xa
= ± 0bx ay± = ( ),0c 2 2
bcd b
a b
= =
+
2b a= 2 2 2 2 24 4b a c a a= ⇒ − = 5c
a
=
, ,a b c
2( ) sinf x x x x= +
【解析】
【分析】
先判断函数 为偶函数，然后通过构造函数 ， ，可判断 是单调递
增 函 数 ， 从 而 可 得 到 时 ， ， 即 可 判 断 时 ， ，
，从而可确定 在 上单调递增，即可得到答案．
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 为 偶 函 数 ， 选 项 B 错 误 ，
，令 ，则 恒成立，所以 是单调
递增函数，则当 时， ，
故 时， ， ,
即 在 上单调递增，故只有选项 A 正确．
【点睛】本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题．
5.费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于 时，费马点与三
个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为 .根据以上性质，
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
易得 的几何意义为点 到点 的距离之和的最小值.此时点 为费
马点,再根据 求解 的坐标,进而求得最小值即可.
【详解】由题 的几何意义为点 到点 的距离之和的最小值.
由题可知,此时 ,且 在 轴上.
故 . , .
( )f x ( ) ( )f x xg x= ( ) sing x x x= + ( )g x
0x > ( ) ( )0 0g x g> = 0x > ( ) ( )f x xg x=
( ) ( ) ( )= + 0f x g x xg x′ >′ ( )f x ( )0,+¥
( ) ( ) ( )2 2sin sin =f x x x x x x x f x− = − − = + ( )f x
( ) ( )2 sin sinf x x x x x x x= + = + ( ) sing x x x= + ( ) 1 cos 0g x x=′ + ≥ ( )g x
0x > ( ) ( )0 0g x g> =
0x > ( ) ( )f x xg x= ( ) ( ) ( )= + 0f x g x xg x′ >′
( )f x ( )0,+¥
120°
120°
( ) ( ) ( )2 2 22 2 21 1 2z x y x y x y= − + + + + + + −
2 3 2 3− 2 3+
z ( ),M x y ( ) ( ) ( )1,0 , 1,0 , 0,2A B C− ( ),M x y
120AMB∠ = ° ( ),M x y
z ( ),M x y ( ) ( ) ( )1,0 , 1,0 , 0,2A B C−
120AMB∠ = ° ( ),M x y y
3
33
AOOM = = 2 32 3AM BM OM= = = 32 3CM = −
故 的最小值为
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据距离公式数形结合求解最小值的问题,需要根据题意画出坐标系,再结合所给费
马点的定义求解.属于中档题.
6.设 ， ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件 ，令 ，代入 中并取相同的正指数，可得 的范围并可比较 的大
小；由对数函数的图像与性质可判断 的范围，进而比较 的大小.
【详解】因为
令
则
将式子变形可得 ，
z 2 3 32 2 2 33 3
× + − = +
0 1a b< < < bx a= ay b= logbz a=
x y z< < y x z< < z x y< < z y x< <
0 1a b< < < 1 1,3 2a b= = ,x y ,x y ,x y
z , ,x y z
0 1a b< < <
1 1,3 2a b= =
1
21
3
bx a =
=
1
31
2
ay b =
=
1
2
log log 1
3b az ==
61 321 1 1
3 3 27
= =
61 231 1 1
2 2 4
= =
因为
所以
由对数函数的图像与性质可知
综上可得
故选：A.
【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于
基础题.
7.在等差数列 中， 为其前 项的和，已知 ，且 ，若 取得最大值，则 为（ ）
A. 20 B. 21 C. 22 D. 23
【答案】A
【解析】
【分析】
转化条件得 ，进而可得 ， ，即可得解.
【详解】设等差数列 的公差为 ，
由 可得 即 ，
， ，数列 为递减数列，
， ，
当 时， 取得最大值.
故选：A.
【点睛】本题考查了等差数列通项公式的应用，考查了等差数列前 项和最大值的问题，属于基础题.
8.已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
1 1 127 4
< <
x y<
1 1
2 2
1 1log log 13 2
> =
x y z< <
{ }na nS n 8 133 5a a= 1 0a > nS n
1
39
2a d= − 20 0a > 21 0a <
{ }na d
8 133 5a a= ( ) ( )1 13 7 5 12a d a d+ = + 1
39
2a d= −
1 0a > ∴ 0d < { }na
∴ 120
119 02a a d d= + = − > 121
120 02a a d d= + = <
∴ 20n = nS
n
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
易得该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体,再分别根据面积公式求解即可.
【详解】该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体,且四分之一圆锥底面半径为 1,高为 1.
三棱锥为墙角三棱锥,三条直角边长分别为 .另外三条边长分别为 .
故该几何体的表面积为
.
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据三视图求解几何体表面积的问题,需要根据题意三视图确定几何体的形状,再分
别计算各边长,再利用公式求解即可.属于中档题.
9.据统计，连续熬夜 小时诱发心脏病的概率为 ，连续熬夜 小时诱发心脏病的概率为 . 现
有一人已连续熬夜 小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜 小时不诱发心脏病的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果.
详解：设事件 A 为 48h 发病，事件 B 为 72h 发病，
2 7
4 2
π + 2 44
π + 2 1 7
4 2
π+ + 2 1 44
π+ +
1,1,2 5, 5, 2
21 1 1 1 1 1 11 2 1 1 1 1 2 1 2 2 54 4 2 2 2 2 2
π π⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
2 1 44
π+= +
48 0.055 72 0.19
48 24
6
7
3
35
11
35 0.19
由题意可知： ，
则 ，
由条件概率公式可得： .
本题选择 A 选项.
点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
10.已知 中，角 的对边分别为 ， 是 的中点， ， ，则
面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ,根据 的余弦定理可得 关于 的关系式,再根据 中的余弦定理
可求得 的关系式,进而化简得到 关于 的关系式,再表达出 面积的公式,化简求解最大值
即可.
【详解】设 ,在 中有余弦定理 .
在 中,因为 ,
故 .即 .
化简可得 .故 .
故 .
故
.设 ,
( ) ( )0.055, 0.19P A P B= =
( ) ( )0.945, 0.81P A P B= =
( ) ( )
( )
( )
( )
0.81 6| 0.945 7
P AB P B
P B A
P A P A
= = = =
ABC , ,A B C , ,a b c M BC AM c b= − 4a = ABC
3 2 3 3 3 4 3
BAC θ∠ = ABC cosθ ,b c ,ABM ACM
,b c sinθ ,b c ABC
BAC θ∠ = ABC
2 2 24cos 2
b c
bc
θ + −=
,ABM ACM AMB AMC π∠ + ∠ =
cos cos 0AMB AMC∠ + ∠ = ( )
( )
( )
( )
2 22 2 2 22 2 02 2 2 2
c b c c b b
c b c b
+ − − + − −+ =⋅ − ⋅ −
2 2 4 8b c bc+ = −
2 2 24 2 12cos 2
b c bc
bc bc
θ + − −= =
2
2 2 12sin 1 cos 1 bc
bc
θ θ − = − = −
( ) ( )2
2 21 2 12 11 2 122 2ABC
bcS bc bc bcbc
− = − = − −
( ) ( )23 16 482 bc bc= ⋅ − + − 0t bc= >
则 ,当 时取得 面积的最大值为 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用,同时也考查了二次复合函数的最值问题.需要根据
题意确定边角的关系,进而表达出面积关于边长的关系式,再换元利用二次函数的性质求解.属于难题.
11.函数 在 上有唯一零点 ，下列四个结论：
① ；② ；③ ；④
其中所有正确结论的编号是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
【答案】A
【解析】
【分析】
求导可得 ,再根据函数的单调性以及极值点和零点即可知 为函数 的零点和
极小值点,进而根据 满足的关系式逐个选项判定即可.
【详解】由题, ,
令 ,因为 ,故 .
设 的根为 ,则可知在区间 上 , 单调递减；
在区间 上 , 单调递增.
又当 时, ；当 时, .
故 在 时取最小值,且 ,故 .
且 ,即 .故③正确.
因为 ,
即 .
故①正确.②错误.
( )223 316 48 4 162 2ABCS t t t= ⋅ − + − = ⋅ − − +
4t = ABC 2 3
( ) ( )1 lnxf x x e x k= − − − ( )0, ∞+ 0x
1k = 1k > 0
0 1xx e = 0
1 1
2xe
< <
( ) ( ) 1' 1 xf x x e x
= + − 0x ( )f x
0x
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1' 1 1 1x x x xxf x e xe e x x ex x x
+ = − + − = + − = + −
( )' 0f x = ( )0,x∈ +∞ 1 0xe x
− =
1 0xe x
− = 1x ( )10, x ( )' 0f x < ( )f x
( )1,x +∞ ( )' 0f x > ( )f x
0x +→ ( )f x → +∞ x → +∞ ( )f x → +∞
( )f x 1x x= ( )1 0f x = 1 0x x=
0
0
1xe x
=
0 0lnx x= −
( ) ( )0
0 0 01 ln 0xf x x e x k= − − − =
0
0 0 0 0 0ln 1 1xk x e x x x x= − − = − + =
令 , ,则 ,
故 为增函数.
又 ,故 .故④错误.
综上,①③正确.
故选：A
【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的零点问题,需要根据题意求导分析函数的单调性,进而得到零点
满足的关系式,再逐个性质进行判定即可.属于中档题.
12.过椭圆 上一点 作圆 的切线，且切线的斜率小于 ，切点为
，交椭圆另一点 ，若 是线段 的中点，则直线 的斜率（ ）
A. 为定值 B. 为定值 C. 为定值 D. 随 变化而变化
【答案】C
【解析】
【分析】
因为 是线段 的中点,故可设 ,再用点差法根据直线 与 垂直斜率相乘等于 求出
切点 的坐标,再求出直线 的斜率即可.
【 详 解 】 设 , , 则 , 化 简 可 得
.因为 是线段 的中点,故 .
代入化简可得 的斜率 .
又直线 与 垂直,故 ,解得 ,代入圆 可得 .故直
( ) xg x xe= ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )' 1 0xg x x e= + >
( ) xg x xe=
( )1
2
0
1 1 12 2g e g x = < = 0
1
2x >
( )2
2 14
x y λ λ+ = > P ( )2 2: 1 1C x y− + = 0 M
Q M PQ CM
2
2 2 2 2 λ
M PQ ( )0 0,M x y CM PQ 1−
M CM
( )0 0,M x y ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y
2
21
2 21
2 21 2
1 22
22
2
4 04
4
x y x x y y
x y
λ
λ
+ = − ⇒ + − =
+ =
( )1 2 1 2
1 2 1 24
y y x x
x x y y
− += −− + M PQ
1 2
0
1 2
0
2
2
x x x
y y y
+ = + =
PQ 0
04PQ
xk y
= −
CM PQ 0 0
0 0
14 1
x y
y x
− ⋅ = −− 0
4
3x = ( )2 2: 1 1C x y− + =
0
2 2
3y =
线 的斜率为 为定值.
故选：C
【点睛】本题主要考查了点差法在研究中点弦中的应用,需要根据题意利用点差法以及直线与圆相切,斜率之
间的关系列式求解.属于中档题.
二、填空题
13.已知向量 ，向量 与 的夹角为 ，且 ，则 ______.
【答案】 或
【解析】
【分析】
数形结合可设 或者 ,再分别根据向量坐标的模长公式代入 求解即可.
【详解】建立平面直角坐标系,不妨设 , 起点均在原点.因为向量 与 的夹角为 ,故可设 或
者 , .
当 时,因为 ,故 ,解得 .
当 时,因为 ,故 ,解得 .
故 或 .
故答案为： 或
【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,需要根据题意建系确定 的方向,再设坐标进行计算.属于中档题.
CM
2 2
3 2 24 13
=
−
( )1,1a = b a 3
4
π
1a b+ = b =
( )0, 1− ( )1,0−
( )0,b y= ( ),0b x= 1a b+ =
a b b a 3
4
π ( )0,b y=
( ),0b x= , 0x y <
( )0,b y= 1a b+ = ( )221 1 1y+ + = 1y = −
( ),0b x= 1a b+ = ( )2 21 1 1x + + = 1x = −
( )0, 1b = − ( )1,0b = −
( )0, 1− ( )1,0−
b
14.在 的展开式中，常数项为________．
【答案】－5
【解析】
【分析】
易知 的展开式的通项 .故常数项为 ，带入计算即可.
【详解】易知 的展开式的通项 ，
又 的展开式的通项 ，
所以 .
令 ，得 .
因为 ，所以 ，
所以当 时， .
故常数项为 .
故答案为：
【点睛】本题主要考查二项式定理求常数项，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.
15.请你举出与函数 在原点 处具有相同切线的一个函数是______.
【答案】 （满足题设条件的函数均可）
【解析】
【分析】
先求出函数 在原点 处的切线方程,再构造常见的函数分析即可.
【详解】由题, ,故 ,故函数 在原点 处的切线方程
为 .
故可考虑如函数 ,此时 ,故 .又 ,故
.此时 .
故答案为： （满足题设条件的函数均可）
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义求解切线方程与构造函数的问题.需要熟悉常见的函数的性质,从而
能够构造出合适的函数.属于基础题.
41( 1)x x
− −
41( 1)x x
− − 4 2
1 4 ( 1) ( 1)r r m m r m
r rT C C x− −
+ = − ⋅ − 1 3 5T T T+ +
41( 1)x x
− − 4
1 4
1( 1) ( )r r r
rT C x x
−
+ = − −
1( )rx x
− 1 2
1 ( ) ( 1)m m r m m m r m
m r rR C x x C x− − −
+ = − = −
4 2
1 4 ( 1) ( 1)r r m m r m
r rT C C x− −
+ = − ⋅ −
2 0r m− = 2r m=
0 4r≤ ≤ 0 2m≤ ≤
0,1,2m = 0,2,4r =
0 4 2 2 1 1 4 0 2 2
1 3 5 4 4 2 4 4( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 5T T T C C C C C+ + = − + − ⋅ − + − ⋅ − = −
5−
( ) sin 2f x x= ( )0,0
2 2xy e= −
( ) sin 2f x x= ( )0,0
( )' 2cos2f x x= ( )' 0 2cos0 2f = = ( ) sin 2f x x= ( )0,0
2y x=
( ) , 0xg x ae b a= + ≠ ( )' xg x ae= ( ) 0' 0 2g ae a= = = ( )0 0g a b= + =
2b = − ( ) 2 2xg x e= −
2 2xy e= −
16.棱长为 的正四面体 的外接球与内切球的半径之和为______，内切球球面上有一动点 ，则
的最小值为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)将正四面体 放入正方体可求得外接球半径,利用等体积法可求得内切球的半径.
(2)根据阿波罗尼斯球的性质找到阿波罗尼斯球中的两个定点,再将 转换,从而得出 取最小
值时的线段,再根据余弦定理求解即可.
【详解】(1) 将正四面体 放入如图正方体,则正四面体 的外接球与该正方体的外接球为同一球
.半径为 .
设正四面体 的内切球半径为 ,根据等体积法有 ,解
得 .
故外接球与内切球的半径之和为 .
(2)由阿波罗尼斯球得内切球球心 是线段 上以 为定点,空间中满足 的点 的集合
,连接 并延长交平面 于 ,交内切球上方的点设为 ,过 作 ,交 于 ,连接
,设 .
由(1)空得 .
36 ABCD M
1
3MB MC+
12 6 4 33
ABCD
1
3 MC 1
3MB MC+
ABCD ABCD
36 3
2 9 62
×
=
ABCD r
3 3
236 1 1 36 1 34 4 363 2 3 42 2
r
− × × × = × × ×
3 6r =
9 6 3 6 12 6+ =
O CH ,C E ( )1PC
PE
λ λ= ≠ P
CO ABD H K M ME CH⊥ CH E
,BM CM OE x=
9 6, 3 6,CO OH= = KC HC
KE HE
=
所以 ,解得 , ,
所以 ,所以 .
所以 ,
在 中, , , ,
所以 .
所以 的最小值为
故答案为：(1) ；(2)
【点睛】本题主要考查了正四面体外接球与内切球的半径计算,同时也考查了利用阿波罗尼斯球中的比例关
系求解线段最值的问题,需要根据题意找到球中的定点,根据阿波罗尼斯球的性质转换所求的线段之和求解.
属于难题.
三、解答题
17. 为数列 的前 项和满足： .
（1）设 ，证明 是等比数列；
（2）求 .
6 6 12 6
3 6 3 6x x
=
− + 6x = 6 6 3
2 6
KC
KE
λ = = =
3MC
ME
= 1
3 MC ME=
1
3MB MC MB ME BE+ = + ≥
BOE△ 9 6BO CO= = 6OE = 1cos cos 3BOE BOH∠ = − ∠ = −
( ) ( ) ( ) ( )2 2 19 6 6 2 9 6 6 4 333BE = + − × × × − =
1
3MB MC+ 4 33
12 6 4 33
nS { }na n ( )*4 2 2n
n nS a n N− = ∈
1n n nb a a += + { }nb
nS
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)利用数列 的前 项和与通项的关系,再构造 证明即可.
(2)根据(1)可得 ,故可分 为奇数与 为偶数两种情况求解 即可.
【详解】(1)因为 …①,故 …②,
②-①可得 .
整理可得 ,即 , .
因为 , .故 是等比数列.
(2)当 时, ,解得 ,又 ,
故当 为偶数时有
.
当 为奇数时有
.
故
【点睛】本题主要考查了根据数列前 项和与通项的关系,构造并证明新数列为等比数列的问题,同时也考
查了分奇偶求解数列前 项和的方法,属于中档题.
18.如图，已知平行四边形 中， ， ， 为边 的中点，将 沿直
2 1,3
2 1,3
n
n n
n
S
n
+
= −
为奇数
为偶数
{ }na n 1n n nb a a += +
1
1 2n
n na a −
+ + = n n nS
4 2 2n
n nS a− = 1
1 14 2 2n
n nS a +
+ +− = ( )*n N∈
1
1 14 2 2 2 2n n
n n na a a +
+ +− + = −
1
1 2n
n na a −
+ + = 12n
nb −= ( )*n N∈
1
1
2 22
n
n
n
n
b
b
+
−= = ( )*n N∈ { }nb
1n = 1
1 14 2 2S a− = 1 1a = 1
1 2n
n na a −
+ + =
n ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1... n nn a a a a aS a−= + + + + + +
0 2
0 2 2
2 1 4
2 12 2 ... 2 1 4 3
n
n
n−
− − = + + + = =−
n ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 1... n nn a a a a aS a a−= + + + + + + +
1
1 2
1 3 2
2 1 4
2 11 2 2 ... 2 1 1 4 3
n
n
n
−
−
− + = + + + + = + =−
2 1,3
2 1,3
n
n n
n
S
n
+
= −
为奇数
为偶数
n
n
ABCD 60BAD∠ = ° 2 4AB AD= = E AB ADE
线 翻折成 .若 为线段 的中点.
（1）证明 平面 ，并求 的长；
（2）在翻折过程中，当三棱锥 的体积取最大时，求平面 与平面 所成的二面角的余
弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)取 的中点 ,连接 ,证明四边形 为平行四边形即可.
(2)易得当三棱锥 的体积取最大时,面 面 ,再以 为坐标原点建立空间直角坐标
系,再分别求出面 与面 的法向量,进而求得平面 与平面 所成的二面角的余弦值即
可.
【详解】(1) 取 的中点 ,连接 ,因为 为线段 的中点,故 为 的中位线,故
.又平行四边形 中, 为边 的中点,故 ,故 .故四边形
为平行四边形,故 .又 平面 , 平面 ,故 平面 .
(2)因为 为线段 中点,故 ,故当三棱锥 的体积取最大时三棱锥
的体积取最大.故此时面 面 .
因为 , .故 边长是 2 正三角形. , 故
的
的
DE 1A DE△ M 1AC
//MB 1A DE MB
1A DEM− 1A BC 1A DE
13
13
1A D N ,NM NE NEBM
1A DEM− 1A DE ⊥ ABCD E
1A DE ABCD 1A BC 1A DE
1A D N ,NM NE M 1AC NM 1A DC∆
1
2NM DC ABCD E AB 1
2EB DC NM EB NEBM
MB NE MB ⊄ 1A DE NE ⊂ 1A DE MB 1A DE
M 1AC 1 1
1
2A DEM A DECV V− −= 1A DEM−
1A DEC− 1A DE ⊥ ABCD
60BAD∠ = ° 2 4AB AD= = ADE 120EBC∠ = ° 30CEB∠ = °
,解得 .故 ,故 .故以 为原
点建立如图空间直角坐标系.
则平面 的一个法向量为 .
, , .故 , .
设平面 的一个法向量为 ,则因为 ,即 ,
取 有 , .故 .
设平面 与平面 所成的二面角为 ,则 .
故平面 与平面 所成的二面角的余弦值为
【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及利用空间直角坐标系求解二面角的问题.属于中档题.
19.某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去 期的养殖档案，该池塘的养殖重量 （百斤）都在 百斤以上
，其中不足 百斤的有 期，不低于 百斤且不超过 百斤的有 期，超过 百斤的有 期．根据统
计，该池塘的草鱼重量的增加量 （百斤）与使用某种饵料的质量 （百斤）之间的关系如图所示．
（1）根据数据可知 与 具有线性相关关系，请建立 关于 的回归方程 ；如果此人设想使用
某种饵料 百斤时，草鱼重量的增加量须多于 百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说
明理由．
（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过 台增
2 2 2 2 cos120EC EB BC EB BC= + − ⋅ ⋅ ° 2 3EC = 2 2 2DE EC DC+ = DE EC⊥ E
1A DE ( )1,0,0m =
( )1 0,1, 3A ( )3, 1,0B − ( )2 3,0,0C ( )1 3, 2, 3A B = − − ( )3,1,0BC =
1A BC ( ), ,n x y z= 1 0
0
n A B
n BC
⋅ =
⋅ =
3 2 3 0
3 0
x y z
x y
− − =
+ =
1x = 3y = − 3z = ( )1, 3,3n = −
1A BC 1A DE θ 1 13cos 131 1 3 9
m n
m n
θ
⋅
= = =
⋅ + +⋅
1A BC 1A DE 13
13
40 X 20
40 8 40 60 20 60 12
y x
y x y x ˆˆ ˆy bx a= +
10 5
3
氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量 有如下关系：
鱼的重量（单位：百斤）
冲水机只需运行台数
若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利 千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损 千元．视频率
为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？
附：对于一组数据 ，其回归方程 的斜率和截距的最小二乘估计公式
分别为
【答案】（1） 当 时，此方案可行．（2）应提供 台增氧冲水机
【解析】
【分析】
（1）求出， ．代入公式得到回归方程．代入 ，求出估计
值再进行判断．
（2）分三个方案分别计算盈利的期望，选择期望高者即可．
【详解】解：（1）依题意，
所以
当 时， ，故此方案可行．
（2）设盈利为 ，
安装 台时，盈利 ，
安装 台时， ；
X
20
Y
1 5000Y =
2 120 40, 3000, 5X Y p< < = =
．
安装 台时， ；
.
.
，故应提供 台增氧冲水机．
【点睛】本题考查了回归方程的求解，以及利用回归方程来作简单的预测，考查了方案的选择依据及合理
的判断能力．属于中档题．
20.已知点 ， 和抛物线 ，过点 的动直线 交抛物线于 ，直线 交抛
物线 于另一点 ， 为坐标原点.
（1）求 ；
（2）证明： 恒过定点.
【答案】(1)5; (2) 恒过定点 ,证明见解析
【解析】
【分析】
(1)设点 ,再根据 三点共线利用斜率 可得 ,进而求得
即可.
440, 10000, 5X Y p= =
1 4( ) 3000 10000 86005 5E Y∴ = × + × =
3 120 40, 1000, 5X Y p< < = =
40 60, 8000,X Y =
3;5P =
160, 15000, 5X Y P> = =
1 3( ) 1000 80005 5E Y∴ = × + × 115000 80005
+ × =
8600 8000> 2
( )1,0A − ( )1, 1B − 2: 4C y x= A l ,M P MB
C Q O
OM OP⋅
PQ
PQ ( )1, 4−
2 2
1 2
1 2, , ,4 4
y yM y P y
, ,P M A AM PMk k= 1 2 4y y =
OM OP⋅
(2) 同(1),设点 ,根据 三点共线利用斜率 可得 .再根据
化简可得 ,再结合 可求得直线 的方程,进而代入
化简求得定点即可.
【详解】(1) 设点 ,因为 三点共线,故 ,即 ,即
,所以 .
故 .
(2) 设点 ,因为 三点共线,所以 ,所以 ,即 ,
化简得 .
由(1) ,所以 ,即 ,即 ...①
因 ,所以直线 的方程为 ,
即 ,即 ,由①有 ,代入可得
.
所以直线 恒过定点 .
【点睛】本题主要考查了设抛物线上的点坐标,根据抛物线方程表示求解向量的数量积问题,同时也考查了弦
长所在直线的方程进行化简求解证明定点的问题,其中三点共线需要用斜率相等表达,属于难题.
21.已知函数 ，其中 ， ， 为自然对数的底数.
（1）若 ，且当 时， 总成立，求实数 的取值范围；
（2）若 ，且 存在两个极值点 ， ，求证： .
2
3
3,4
yQ y
, ,M B Q BQ QMk k= 1 3 1 3 4 0y y y y+ + + =
1 2 4y y = ( )2 3 2 34 4 0y y y y+ + + =
2 3
4
PQk y y
= + PQ
( )2 3 2 34 4 0y y y y+ + + =
2 2
1 2
1 2, , ,4 4
y yM y P y
, ,P M A AM PMk k= 1 1 2
2 2 2
1 1 214 4 4
y y y
y y y
−=
+ −
1
2
1 1 2
1
4
y
y y y
=+ + 1 2 4y y =
2 2
1 2
1 2 54 4
y yOM OP y y⋅ = ⋅ + =
2
3
3,4
yQ y
, ,M B Q BQ QMk k= 3 1 3
2 22
3 31
1
14 4 4
y y y
y yy
+ −=
− −
3
2
3 1 3
1 1
4
y
y y y
+ =− +
1 3 1 3 4 0y y y y+ + + =
1 2 4y y = 1
2
4y y
= 3 3
2 2
4 4 4 0y yy y
⋅ + + + = ( )2 3 2 34 4 0y y y y+ + + =
2 3
22
32 2 3
4
4 4
PQ
y yk yy y y
−= = +− PQ
2
2
2
2 3
4
4
yy y xy y
− = − +
( )( ) 2
2 2 3 24y y y y x y− + = − ( )2 3 2 3 4y y y y y x+ − = ( )2 3 2 34 4y y y y− = + +
( )( ) ( )2 34 4 1y y y x+ + = −
PQ ( )1, 4−
( ) 2 1
xef x ax bx
= + + 0a > b R∈ e
1b = 0x ≥ ( ) 1f x ≥ a
0b = ( )f x 1x 2x ( ) ( )1 2
31 2 f x f x ea
+ < + ( )f x [0 2 1]a
a
−
2 1[ a
a
−
)+∞
2 1( ) ( ) (0) 1min
af x f fa
− 1a >
1x 2x 2 2 1 0ax ax− + = 1 2 1 2
12,x x x x a
+ = =
1 2x x< 1 20 1 2x x< < < <
1 21 2 1 2
2 1
1 2 2 2
1 2 1 2
( ) ( ) 1 1 2 2 2
x xx x x x e x e xe e e ef x f x ax ax ax ax
++ = + = + =+ +
1b = 1
2a = 0x ≥
2 11
xe
ax x
≥+ +
21 12
xe x x+ +≥ 0x =
0x > 21 12
x xe x> + +
2 2
1 2 1 2 2 2 1 1
1 1 1( ) ( ) 1 12 2 2f x f x x x x x x x
+ > + + + + +
又
令
则
所以 上递增， ，从而
综上可得：
【点睛】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析解决问题的能力，
属于中档题
22.已知 平面直角坐标系 中，
曲线 （ 为参数）， （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线 （ 且 ）.
（1）求 与 的极坐标方程；
（2）若 与 相交于点 ， 与 相交于点 ，当 为何值时， 最大，并求最大值.
【答案】(1) , , ；(2) 当 时, 最大为 4.
【解析】
【分析】
(1) 中 可 得 , 再 代 入 化 简 得 出 的 直 角 坐 标 方 程 , 进 而 求 得 其 极 坐 标 方 程 . 又
在
在
( )1 2 1 2 1 2
1 1 42 2 x x x x x x = + + + +
1 6 22 2a
= +
3 12a
= +
( )2 1
1 121
1 2
2
1 1
1( ) ( ) 22 2
x x
x xx e x ef x f x x e x e−+ + = = + −
( ) ( )2 2x xh x xe x e−= + − ( )0 1x< <
( ) ( )( )` 21 0x xh x x e e −= − >+
( )h x ( )0,1 ( ) ( )1 2h x h e< = 1 2( ) ( )f x f x e+ <
( ) ( )1 2
31 2 f x f x ea
+ < + <
xOy
2
1
2
2
1: 2
1
x tC ty t
= +
= +
t 2
3 cos:
3 3sin
xC
y
α
α
=
= +
α O x
3 0:C θ θ= ρ ∈R 0ρ ≠
1C 2C
3C 1C A 3C 2C B 0
θ AB
1 :C 2cosρ θ= ( )0ρ ≠ 2 :C 2 3sinρ θ= 0
2
3
πθ = AB
2
1
2
2
1: 2
1
x tC ty t
= +
= +
y tx
= 1C
为圆,得出直角坐标方程后再求出极坐标方程即可.
(2)根据极坐标的几何意义,代入 到 与 的极坐标方程,再表达出 关于 的解析式求最大值即可.
【详解】(1) 因为 ,故 ,代入 有 ,即 ,化简可得
,故其极坐标方程为 ,即 .
又 ,故 , .
又 ,故 是以 为圆心,半径为 的圆.故 的直角坐标方程为
,即 ,故其极坐标方程为 .
故 , , .
(2)由题, , ,
故 .
故当 时, 最大为 4.
【点睛】本题主要考查了参数方程与直角坐标以及直角坐标和极坐标的互化,同时也考查了根据极坐标的几
何意义求解弦长最值的问题,属于中档题.
23.已知函数 的最大值为 .
（1）求 ；
（2）若 均为正数，证明： .
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)将绝对值函数写成分段函数,再分析 的最大值即可.
(2)可换元令 , , ,再反解出 利用基本不等式证明即可.
2
3 cos:
3 3sin
xC
y
α
α
=
= +
0
θ 1C 2C AB 0
θ
2
1
2
2
1: 2
1
x tC ty t
= +
= +
y tx
= 2
2
1x t
= +
2
2
1
x
y
x
=
+
2
2 2
2xx x y
= +
2 2 2 0x y x+ − = 2 2 cos 0ρ ρ θ− = 2cosρ θ=
( ]2
2 0,21x t
= ∈+ 1 :C 2cosρ θ= ( )0ρ ≠
2
3 cos:
3 3sin
xC
y
α
α
=
= + 2C ( )0, 3 3 2C
( )22 3 3x y+ − = 2 2 2 3 0x y y+ − = 2 3sinρ θ=
1 :C 2cosρ θ= ( )0ρ ≠ 2 :C 2 3sinρ θ=
02cosOA θ= 02 3sinOB θ=
0 0 02 3sin 2cos 4si 6nAB
πθ θ θ = = −
−
0
2
3
πθ = AB
( ) 1 2 1f x x x= − − + M
M
, ,a b c a b c Mb c c a a b
+ + ≥+ + +
3
2
=M
( )f x
b c x+ = c a y+ = a b z+ = , ,a b c
【详解】(1)由题, ,
故当 时, ；当 时 ；当 时, .
综上 .故 .
(2)原不等式即证
令 , , ,联立可得 , , ,
则不等式左边
右边.
当且仅当 时取等号.即得证.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式最值的求解以及换元利用基本不等式证明不等式的问题,需要根据所
证明的不等式的结构进行换元,反解证明利用基本不等式证明.属于中档题.
( )
12, 2
13 , 12
2, 1
x x
f x x x
x x
+ ≤ −
= − − <
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