2020届上海市闵行区高三二模数学试题（解析版）

上海市闵行区 2020 届高三二模数学试卷 一、填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1.设集合 ，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据交集的定义，即可求解. 【详解】 . 故答案为: . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题. 2.已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】解：由 ，得 ， ∴ . 故答案为： . 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题. 3.若直线 的方向向量为 ，则此直线的倾斜角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 利用直线的方向向量算出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【详解】解：∵直线 的方向向量为 ， { } { }1,3,5,7 , 4 7A B x x= = ≤ ≤ A B = {5,7} { } { }1,3,5,7 , 4 7A B x x= = ≤ ≤ {5,7}A B = {5,7} z 1i z i⋅ = + i Imz = 1− 1i z i⋅ = + 2 1 (1 )( ) 1i i iz ii i + + −= = = −− Im 1z = − 1− 1 0ax by+ + = ( )1,1 4 π 1 0ax by+ + = ( )1,1 ∴直线的斜率为 1， ∴直线的倾斜角为 . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的倾斜角，是基础题. 4.记 为等差数列 的前 n 项和，若 ， ，则 __________． 【答案】6 【解析】 【分析】 利用等差数列的通项公式求和公式即可得出. 【详解】解：设等差数列 的公差为 ， ， ，解得 . 则 . 故答案为：6. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5.已知圆锥的母线长为 ，母线与轴的夹角为 ，则该圆锥的侧面积为_． 【答案】 【解析】 【分析】 根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论. 【详解】解：设底面的半径为 ，则 ∴该圆锥的侧面积 故答案为 【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径. 6. 二项展开式的常数项为________. 4 π 4 π nS { }na 3 1 22S S S= + 1 2a = 5a = { }na d 3 1 2 12 , 2S S S a= + = 3 2 3 2 2 2 2d d∴ × + = × + × + 1d = 5 2 4 6a = + = 10 30 50π r sin30 10=5r = × 5 10=50S π π= × × 50π 8 3 1x x  −   【答案】28 【解析】 【分析】 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中 的指数为 0，求出 的值，将 的值代入通项公 式，求出展开式的常数项． 【详解】解： 展开式的通项为 ，令 ，解得 ，所以常数项为 故答案为： 【点睛】本题解决二项展开式的特定项问题，常利用的工具是二项展开式的通项公式，属于中档题． 7.若 x、y 满足 ，且 ，则 的最大值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】 画出约束条件不是的可行域，判断目标函数经过的点，求出最大值. 【详解】解：由 x、y 满足 ，且 ，画出可行域如图所示， 可得 A（2，1）， 则目标函数 在点 A（2，1）取得最大值， 代入得 ，故 的最大值为 5. 故答案为：5. 【点睛】本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域以及找出目标函数经过的点是解题关键. x r r 8 3 1x x  −   ( ) ( )8 483 3 1 8 8 1 1 r rr rr r rT C x C xx −− +  = − = −   8 4 03 r− = 2r = ( )22 0 3 8 1 28T C x= − = 28 | 1|x y< + 1y ≤ 3x y+ | 1|x y< + 1y ≤ 1 1 y x y =  = + 3z x y= + 3 5x y+ = 3x y+ 8.从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取 3 个不同的数，并从小到大排成一个数列，此数列为等比数列的概 率为__________．（结果用最简分数表示） 【答案】 【解析】 【分析】 先求出基本事件总数 ，再用列举法求出此数列为等比数列包含的基本事件有 4 个，由此能求出 此数列为等比数列的概率. 【详解】解：从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中任取 3 个不同的数，并从小到大排成一个数列， 基本事件总数 ， 此数列为等比数列包含的基本事件有：（1，2，4），（1，3，9），（2，4，8），共 3 个， ∴此数列为等比数列的概率为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 9.已知直线 ，斜率为 的直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 ，过 作 x 轴 的平行线，交 于点 ，过 作 y 轴的平行线，交 于点 ，再过 作 x 轴的平行线交 于点 ，…， 这样依次得线段 、 、 、 、…、 、 ，记 为点 的横坐标，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】 1 28 3 9 84n C= = 3 9 84n C= = 3 1 84 28P = = 1 28 1 :l y x= ( )0 1q q< < 2l ( )0 0,B a 0B 1l 1A 1A 2l 1B 1B 1l 2A 0 1B A 1 1A B 1 2B A 2 2A B 1n nB A− n nA B nx nB lim nn x→∞ = 1 a q− 先由题设条件得出点 的坐标，根据它们之间的关系求出点 的坐标，然后利用数列极限的运算性 质求出 . 【详解】解：∵斜率为 的直线 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 ，直线 ， ∴A1（a，a）. ∵A1B0∥x 轴，∴B1（a，aq+a），A2（aq+a，aq+a）. ∵B1A2∥x 轴，∴B2（aq+a，aq2+aq+a）. 同理可得：A3（aq2+aq+a，aq2+aq+a）， B3（aq2+aq+a，aq3+aq2+aq+a），…， Bn（aqn﹣1+aqn﹣2+aqn﹣3+…aq2+aq+a，aqn+aqn﹣1+aqn﹣2+aqn﹣3+…aq2+aq+a）， ∵xn 为点 Bn 的横坐标， ∴xn＝aqn﹣1+aqn﹣2+aqn﹣3+…aq2+aq+a. 故 xn 是首项为 a，公比为 q（0＜q＜1）的等比数列的前 n 项的和， 由数列极限的运算性质得： . 故答案为： . 【点睛】本题主要考查数列在实际问题中的应用及数列极限的求法，属于中档题. 10.已知 是定义在 R 上的偶函数，当 ，且 ，总有 ，则不 等式 的解集为__________． 【答案】 1 2 3, ,B B B nB lim nn x→∞ ( )0 1q q< < 2l ( )0 0,B a 1 :l y x= lim 1nn ax q→∞ = − 1 a q− ( )2f x + 1 2 [2, , )x x ∈ +∞ 1 2x x≠ 1 2 1 2 0( ) ( ) x x f x f x − 1 2 [2, , )x x ∈ +∞ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2 1 2 0x x f x f x − 1x > ( )1,+∞ ( )1,+∞ AB AC⋅  1 ,24  −   ( , ) ( , ) ( )( ) (1 0) (1 0) 1 1 2AB AC p a q r a s p a r a qs⋅ = − ⋅ − = − − + ≤ − × − + × =  1 0 p r q s a = = = =  = 1 0 a q s p r = = =  = = ( , ) ( , ) ( )( ) ( )( ) 0 ( )( )AB AC p a q r a s p a r a qs p a r a a p r a⋅ = − ⋅ − = − − + ≥ − − + = − − −  ， 当且仅当 ，即 或 时，等号成立. 故答案为： . 【点睛】 本题考查了正方形的性质、考查向量坐标表示，数形结合思想，极限思想，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题. 12.已知函数 ，若函数 在区间 内恰好有奇数个零点 ，则实数 k 的所有取值之和为__________． 【答案】 【解析】 分析】 讨论 0＜x≤ 时与 ＜x＜π 时函数解析式，令 k＝sinx+cosx﹣4sinxcosx，换元，根据二次函数的单调性即 可得出答案. 【详解】解：（1）当 0＜x≤ 时，设 k＝sinx+cosx﹣4sinxcosx， 令 t＝sinx+cosx＝ sin（x+ ），则 t∈[1， ]， k＝t﹣2（t2﹣1）＝﹣2t2+ t+2，t∈[1， ]为单调函数， 则可知当 t＝1 时，即 k＝1 时，一解； 【 2 1 2 4 p r− ≥ − ≥ −   1 0 a p r a p r qs − = −  − =  = 1 2 1 0 0 a p r qs  =  =  = = 1 2 0 1 0 a p r qs  =  =  = = 1 ,24  −   ( ) sin cos 4sin cosf x x x x x k= + − − ( )y f x= (0, )π 2 2 1+ 2 π 2 π 2 π 2 4 π 2 2 当 t＝ 时，即 k＝ 时，一解； 当 1＜t＜ 时，即 ﹣2＜k＜1 时两解； （2）当 ＜x＜π 时，设 k＝sinx﹣cosx﹣4sinxcosx， 令 t＝sinx﹣cosx＝ sin（x﹣ ），则 t∈（1， ]， k＝t+2（t2﹣1），t∈（1， ]也为单调函数， 则可知当 1＜t＜ 时，即 1＜k＜2+ 时两解， 当 t＝ 时，即 k＝ 时一解， 综上：k＝1 或 k＝ ﹣2 或 k＝ ， 故所有 k 的和为 . 故答案为： . 【点睛】本题考查函数零点与方程根的转化，换元思想，分类讨论思想，属于中档偏难题. 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13.在空间中，“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交，即可判断出结论. 【详解】解：在空间中，“两条直线不平行”，可得：这两条直线异面或相交. ∴“两条直线不平行”是“这两条直线异面”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】本题考查了空间中两条直线位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题. 14.某县共有 300 个村，现采用系统抽样方法，抽取 15 个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将 300 2 2 2− 2 2 2 π 2 4 π 2 2 2 2 2 2 2+ 2 2 2+ 2 2 1+ 2 2 1+ 个村编上 1 到 300 的号码，求得间隔数 ，即每 20 个村抽取一个村，在 1 到 20 中随机抽取一 个数，如果抽到的是 7，则从 41 到 60 这 20 个数中应取的号码数是（ ） A. 45 B. 46 C. 47 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】 根据系统抽样的定义和性质即可得到结论. 【详解】解：根据题意，样本间隔数 ， 在 1 到 20 中抽到的是 7， 则 41 到 60 为第 3 组，此时对应的数为 7+2×20＝47. 故选：C. 【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，样本间距是解决本题的关键，比较基础. 15.已知抛物线的方程为 ，过其焦点 F 的直线交此抛物线于 M．N 两点，交 y 轴于点 E，若 ， ，则 （ ） A B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设直线 MN 的方程为 y＝k（x﹣1），与抛物线方程联立，由 ， ，分别表示出λ1， λ2，利用根与系数关系即可算得答案. 【详解】解：根据条件可得 F（1，0）， 则设直线 MN 的方程为 y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2）， 所以 E（0，﹣k），联立 ，整理可得 k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0， 则 x1+x2＝ ，x1x2＝1， . 300 2015k = = 300 2015k = = 2 4y x= 1EM MFλ=  2EN NFλ=  1 2 λ λ+ = 2− 1 2 − 1− 1EM MFλ=  2EN NFλ=  2 ( 1) 4 y k x y x = −  = 2 2 2 4k k + 因为 ， ， 所以 λ1（1﹣x1）＝x1，λ2（1﹣x2）＝x2， 即有 λ1＝ ，λ2＝ ， 所以 . 故选：D. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合，将条件转化为坐标形式，结合根与系数关系解题是关键，属于中 档题. 16.关于 x 的实系数方程 和 有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应 的点共圆，则 m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件分别设四个不同的解所对应的点为 ABCD，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断. 【详解】解：由已知 x2﹣4x+5＝0 的解为 ，设对应的两点分别为 A，B， 得 A（2，1），B（2，﹣1）， 设 x2+2mx+m＝0 的解所对应的两点分别为 C，D，记为 C（x1，y1），D（x2，y2）， （1）当△＜0，即 0＜m＜1 时， 的根为共轭复数，必有 C、D 关于 x 轴对称，又因为 A、 B 关于 x 轴对称，且显然四点共圆； （2）当△＞0，即 m＞1 或 m＜0 时，此时 C（x1，0），D（x2，0），且 ＝﹣m， 故此圆的圆心为（﹣m，0）， 半径 ， 又圆心 O1 到 A 的距离 O1A＝ ， 解得 m＝﹣1， 综上：m∈（0，1）∪{﹣1}. 1EM MFλ=  2EN NFλ=  1 11 x x− 2 21 x x− ( ) 2 21 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 4 22 12 41 1 1 1 1 k x x x x x x kx x x x x x k k λ λ + −+ −= + = = = −+− − − + + − + + 2 4 5 0x x− + = 2 2 0x mx m+ + = { }5 { }1− ( )0,1 ( ) { }0,1 1− 2 i± 2 2 0x mx m+ + = 1 2 2 x x+ ( ) ( )2 2 1 2 1 21 2 24 2 4 2 2 2 x x x x m mx xr m m − −−= = = = − + 2 2 2(2 ) 1m m m+ + = − 故选：D. 【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题. 三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17.在直三棱柱 中， ， ， ，M 是侧棱 上一点，设 ． （1）若 ，求多面体 的体积； （2）若异面直线 BM 与 所成的角为 ，求 h 的值． 【答案】（1） ；（2）2 【解析】 【分析】 （1）多面体 的体积为 ，由此能求出结果； （2）以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出 h 的值. 【详解】解：（1）∵在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，AB⊥BC，AB＝BC＝2， ，M 是侧棱 C1C 上一点，设 MC＝ ， ∴多面体 ABM﹣A1B1C1 的体积为： ＝ ﹣ ＝ ＝ . 1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 2AB BC= = 1 2 3AA = 1C C MC h= 3h = 1 1 1ABM A B C− 1 1AC 60° 10 3 3 1 1 1ABM A B C− 1 1 1ABC A B C M ABCV V V− −= − 1 2 3AA = 3h = 1 1 1ABC A B C M ABCV V V− −= − 1 1 2 AB BC AA× × × 1 1 3 2 AB BC MC× × × × 1 1 12 2 2 3 2 2 32 3 2 × × × − × × × × 10 3 3 （2）以 B 为原点，BC 为 x 轴，BA 为 y 轴，BB1 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（0，0，0），M（2，0，h），A1（0，2，2 ），C1（2，0，2 ）， ＝（2，0，h）， ＝（2，﹣2，0）， ∵异面直线 BM 与 A1C1 所成的角为 60°， ∴cos60°＝ ＝ ， 由 h＞0，解得 h＝2. 【点睛】本题考查多面体的体积、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题. 18.已知函 ． （1）当 的最小正周期为 时，求 的值; （2）当 时，设 的内角 A．B．C 对应的边分别为 a、b、c，已知 ，且 ， ，求 的面积． 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 【分析】 （1）利用倍角公式、和差公式可得 f（x）＝ sin（2ωx+ ）+ ，根据 f（x）的最小正周期为 2π，可得 ω. （2）当 ω＝1 时， ，代入可得 sin（2× ）+ ＝3，解得 A，利用余弦定理可得：a2＝ b2+c2﹣2bccosA，解得 c，即可得出△ABC 的面积 S. 3 3 BM 1 1AC 1 1 1 1 | | | | | | BM AC BM AC ⋅ ⋅     2 4 4 8h+ ⋅ 2( ) 3cos 3sin cos ( 0)f x x x xω ω ω ω= + > ( )f x 2π ω 1ω = ABC ( ) 32 Af = 2 7a = 6b = ABC 1 2 ω = 3 3 6 3 3 3 π 3 2 32 Af   =   3 2 3 A π+ 3 2 【详解】解：（1）函数 . ∴f（x）＝3× ＝ sin（2ωx+ ）+ ， 当 f（x）的最小正周期为 2π 时， ＝2π，解得 ω＝ ； （2）当 ω＝1 时， ， ∴ sin（2× ）+ ＝3，又 A 为三角形的内角， 解得 A＝ . 且 ， 由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA， ∴c2﹣6c+8＝0， 解得 c＝2 或 4. ∴△ABC 的面积 S＝ bcsinA＝3 或 6 . 【点睛】本题考查了三角函数的性质与三角形的面积、和差公式与倍角公式、余弦定理，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题. 19.如图，A、B 两地相距 100 公里，两地政府为提升城市 抗疫能力，决定在 A、B 之间选址 P 点建造储备 仓库，共享民生物资，当点 P 在线段 AB 的中点 C 时，建造费用为 2000 万元，若点 P 在线段 AC 上（不含 点 A），则建造费用与 P、A 之间的距离成反比，若点 P 在线段 CB 上（不含点 B），则建造费用与 P、B 之间的距离成反比，现假设 P、A 之间的距离为 x 千米 ，A 地所需该物资每年的运输费用为 万元，B 地所需该物资每年的运输费用为 万元， 表示建造仓库费用， 表示两地物 资每年的运输总费用（单位:万元）． （1）求函数 的解析式; （2）若规划仓库使用的年限为 ， ，求 的最小值，并解释其实际意 义． 的 2( ) 3cos 3sin cos ( 0)f x x x xω ω ω ω= + > 1 cos2 3 sin 22 2 x x ω ω+ + 3 3 π 3 2 2 2 π ω 1 2 32 Af   =   3 2 3 A π+ 3 2 3 π 2 7, 6a b= = 1 2 3 3 ( )0 100x< < 2.5x ( )0.5 100 x− ( )f x ( )g x ( )f x *( )n n∈N ( ) ( ) ( )H x f x ng x= + ( )H x 【答案】（1）当 ， ；当 ， ；（2） ， 见解析 【解析】 【分析】 （1）由题意，设 f（x）＝ ，由 f（50）＝2000，求得 k1 与 k2 值，则函数解析式 可求； （2）求出 g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50，然后分段写出 H（x），求导后再对 n 分类求解 H（x）的 最小值，并解释其实际意义. 【详解】解：（1）由题意，设 f（x）＝ ， 由 f（50）＝2000，求得 k1＝k2＝100000. ∴f（x）＝ ； （2）g（x）＝2.5x+0.5（100﹣x）＝2x+50， 若 0＜x≤50，则 H（x）＝f（x）+ng（x）＝ ， H′（x）＝ ，由 H′（x）＝0，得 x＝100 ， 若 n∈N*且 n≤20，则 H（x）在（0，50]上单调递减，H（x）min＝H（50）＝2000+150n； 若 n∈N*且 n＞20，则 H（x）在（0，100 ）上单调递减，在（100 ，50）单调递增， ∴ ； 若 50＜x＜100，则 H（x）＝f（x）+ng（x）＝ ， 的 0 50x< ≤ 100000( )f x x = 50 100x< < 100000( ) 100f x x = − 50 400 5n n+ 1 2 , 0 50 , 50 100100 k xx k xx  < ≤  < { }nx 2 *( )na n n= ∈N { }na * na ∈N 1 2 1a a= = ka m= { }lg nx * 2 ), 0 0( 2n n ≤∈N 1 2 2020lg lg lg 0x x x+ + + = 1010 1011 1x x < *,17{ 2| }190m m m∈ ≤ ≤N ( )2 * na n n= ∈N 2 2 n na a ++ （3）运用反证法证明，假设 x1010x1011≥1，由题意可得 x1x2…x2020＝1， ＜ ，运用不等式的性质推 得 x1009x1012＞1，即可得到矛盾，进而得证. 【详解】解：（1）数列 是“差增数列”. 因为任意的 n∈N*，都有 an+an+2＝n2+（n+2）2＝2n2+4n+4＝2（n+1）2+2＞2（n+1）2＝2an+1， 即 ＞an+1 成立， 所以数列 是“差增数列”； （2）由已知，对任意的 n∈N*，an+2﹣an+1＞an+1﹣an 恒成立. 可令 bn＝an+1﹣an（n≥1），则 bn∈N，且 bn＜bn+1， 又 an＝m，要使项数 k 达到最大，且最大值为 20 时，必须 bn（1≤n≤18）最小. 而 b1＝0，故 b2＝1，b3＝2，…，bn＝n﹣1. 所以 an﹣a1＝b1+b2+…+bn﹣1＝0+1+2+…+（n﹣2）＝ （n﹣1）（n﹣2）， 即当 1≤n≤19 时，an＝1+ ，a19＝154，因为 k 的最大值为 20， 所以 18≤a20﹣a19＜18+19，即 18≤m﹣154＜18+19， 所以 m 的所有可能取值的集合为{m|172≤m＜191，m∈N*}. （3）证明：（反证法）假设 x1010x1011≥1.由已知可得 xn（n＝1，2，…，2020）均为正数，且 x1x2…x2020＝1， ＜ . 而由 ＜ 可得 ＜ ＜ ， 即 x1010x1011＜x1009x1012，所以 x1009x1012＞1. 又 ＝ • ＜ • ＝ ，即 x1008x1013＞1， 同理可证 x1007x1014＞1，…，x1x2020＞1， 因此 x1x2…x2020＞1，这与已知矛盾， 所以 x1010x1011＜1. 【点睛】本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，主要考查化 简整理的运算求解能力和逻辑推理能力，属于难题. 1n n x x + 2 1 n n x x + + ( )2 * na n n= ∈N 2 2 n na a ++ ( )2 * na n n= ∈N 1 2 ( 1)( 2) 2 n n− − 1n n x x + 2 1 n n x x + + 1n n x x + 2 1 n n x x + + 1010 1009 x x 1011 1010 x x 1012 1011 x x 1010 1008 x x 1010 1009 x x 1009 1008 x x 1012 1011 x x 1013 1012 x x 1013 1011 x x