理科2010-2018高考数学真题分类训练专题13推理与证明第三十九讲数学归纳法

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题十三 推理与证明 第三十九讲 数学归纳法 解答题 1．（2017 浙江）已知数列 满足： ， ． 证明：当 时 （Ⅰ） ； （Ⅱ） ； （Ⅲ） ． 2．(2015 湖北) 已知数列 的各项均为正数， ，e 为自然对数的 底数． （Ⅰ）求函数 的单调区间，并比较 与 e 的大小； （Ⅱ）计算 ， ， ，由此推测计算 的公式，并给出证明； （ Ⅲ ） 令 ， 数 列 ， 的 前 项 和 分 别 记 为 , , 证 明 ： ． 3．(2014 江苏)已知函数 ，设 为 的导数， ． （Ⅰ）求 的值； （2）证明：对任意的 ，等式 成立． 4．（2014 安徽）设实数 ，整数 ， ． （Ⅰ）证明：当 且 时， ； （Ⅱ）数列 满足 ， ， 证明： ． 0>c 1>p *Nn∈ 1−>x 0≠x pxx p +>+ 1)1( { }na pca 1 1 > p nnn ap cap pa − + +−= 1 1 1 p nn caa 1 1 >> + { }nx 1 1x = 1 1ln(1 )n n nx x x+ += + + ( )n∈ *N n∈ *N 10 n nx x+< < 1 12 2 n n n n x xx x + + − ≤ 1 2 1 1 2 2nn nx− −≤ ≤ { }na 1(1 ) ( )n n nb n a nn += + ∈N ( ) 1 exf x x= + − 1(1 )n n + 1 1 b a 1 2 1 2 b b a a 1 2 3 1 2 3 b b b a a a 1 2 1 2 n n b b b a a a   1 1 2( )n n nc a a a=  { }na { }nc n nS nT en nT S< 0 sin( ) ( 0)xf x xx = > ( )nf x 1 ( )nf x− n ∗∈N ( ) ( )1 22 2 2 2f fπ π π+ n ∗∈N ( ) ( )1 2 4 4 4 2n nnf f− π π π+ = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 5．（2014 重庆）设 （Ⅰ）若 ，求 及数列 的通项公式； （Ⅱ）若 ，问：是否存在实数 使得 对所有 成立？证明 你的结论． 6．（2012 湖北）（Ⅰ）已知函数 ，其中 为有理数，且 . 求 的最小值； （Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设 ， 为正有理数. 若 ， 则 ； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题． 注：当 为正有理数时，有求导公式 . 7．（2011 湖南）已知函数 ， . （Ⅰ）求函数 的零点个数，并说明理由； （Ⅱ）设数列{ }（ ）满足 ， ，证明：存在常数 ，使得对于任意的 ，都有 ≤ ． 2 1 11, 2 2 ( *)n n na a a a b n N+= = − + + ∈ 1b = 2 3,a a { }na 1b = − c r 0 1r< < ( )f x 1 20, 0a a≥ ≥ 1 2,b b 1 2 1b b+ = 1 2 1 2 1 1 2 2 b ba a a b a b≤ + α 1( )x xα αα −′ = 2 2 1n na c a +< < *n N∈ ( ) (1 )rf x rx x r= − + − ( 0)x > 3( )f x x= ( )g x x x= + ( ) ( ) ( )h x f x g x= − na *n N∈ 1 ( 0)a a a= > 1( ) ( )n nf a g a+ = M *n N∈ na M