理科2010-2018高考数学真题分类训练专题13推理与证明第三十八讲推理与证明

天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 专题十三 推理与证明 第三十八讲 推理与证明 2019 年 2019 年 8.（2019 全国 I 理 4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底 的长度之比是 （ ≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如 此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满 足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高 可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm 8 解析 头顶至脖子下端的长度为 26cm，说明头顶到咽喉的长度小于 26cm， 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是 ， 可得咽喉至肚脐的长度小于 ， 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 ，可得肚脐至足底的长度小 ， 即有该人的身高小于 ， 又肚脐至足底的长度大于 105cm，可得头顶至肚脐的长度大于 105×0.618≈65cm， 即该人的身高大于 65+105=170cm.综上可得身高在 170cm-178cm 之间．故选 B． 9. （2019 全国 II 理 4）2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面 5 1 2 − 5 1 2 − 5 1 2 − 5-1 0.6182 ≈ 26 420.618 ≈ 5-1 2 42+26 =1100.618 110 68 178cm+ = 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问 题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日 点的轨道运行． 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球 质量为 M１，月球质量为 M２，地月距离为 R， 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律 和 万有引力定律，r 满足方程： . 设 ，由于 的值很小，因此在近似计算中 ，则 r 的近似值为 A． B． C． D． 9 解 析 解 法 一 （ 直 接 代 换 运 算 ） ： 由 及 可 得 ， . 因为 ，所以 ，则 ， . 故选 D. 解法二（由选项结构特征入手）：因为 ，所以 ， r 满足方程： ． 所以 ， 2L 2L 2L 1 2 1 2 2 3( )( ) M M MR rR r r R + = ++ r R α = α 3 4 5 3 2 3 3 3(1 ) α α α αα + + ≈+ 2 1 M RM 2 12 M RM 23 1 3M RM 23 13 M RM 1 2 1 2 2 3( )( ) M M MR rR r r R + = ++ r R α = 1 2 1 2 2 2 2(1 )(1 ) M M M R r R αα + = ++ 3 2 3 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 [(1 ) 1] (3 3 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) M M M M M r R R R R α α α αα α α α + − + += + − = =+ + + 3 4 5 3 2 3 3 3(1 ) α α α αα + + ≈+ 2 1 1 2 2 3 33M M M rr r R R R ≈ ⋅ = 3 3 2 13 M Rr M ≈ 23 13 Mr RM ≈ r R α = r Rα= 1 2 1 2 2 3( )( ) M M MR rR r r R + = ++ 3 4 5 32 2 1 3 3 3(1 ) M M α α α αα + += ≈+ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 所以 故选 D. 2010-2018 年 一、选择题 1．(2018 浙江)已知 ， ， ， 成等比数列，且 ．若 ，则 A． ， B． ， C． ， D． ， 2．(2018 北京)设集合 则 A．对任意实数 ， B．对任意实数 ， C．当且仅当 时， D．当且仅当 时， 3．（2017 新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说： 你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给 丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 4．（2017 浙江）如图，已知正四面体 （所有棱长均相等的三棱锥）， ， ， 分 别 为 ， ， 上 的 点 ， ， ， 分 别 记 二 面 角 ， ， 的平面角为 ， ， ，则 23 13 Mr R RM α= = 1a 2a 3a 4a 1 2 3 4 1 2 3ln( )a a a a a a a+ + + = + + 1 1a > 1 3a a< 2 4a a< 1 3a a> 2 4a a< 1 3a a< 2 4a a> 1 3a a> 2 4a a> {( , ) | 1, 4, 2},A x y x y ax y x ay= − + > −≥ ≤ a (2,1) A∈ a (2,1) A∉ 0a < (2,1) A∉ 3 2a ≤ (2,1) A∉ D ABC− P Q R AB BC CA AP PB= 2BQ CR QC RA = = D PR Q− − D PQ R− − D QR P− − α β γ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ A． < < B． < < C． < < D． < < 5．(2016 北京)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶 段．下表为 10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊. 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远（单位：米） 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30 秒跳绳（单位：次） 63 a 75 60 63 72 70 a−1 b 65 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决 赛的有 6 人，则 A．2 号学生进入 30 秒跳绳决赛 B．5 号学生进入 30 秒跳绳决赛 C．8 号学生进入 30 秒跳绳决赛 D．9 号学生进入 30 秒跳绳决赛 6．(2015 广东)若集合 ，且 ， ， 用 表示集合 中的元素个数，则 A． B． C． D． 7．（2014 北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不 合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于 乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩 好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有 A． 人 B． 人 C． 人 D． 人 8．（2014 山东）用反证法证明命题“设 为实数，则方程 至少有一个实根” R Q P A B C D γ α β α γ β α β γ β γ α ( ){ , , , 0 4,0 4,0 4Ε p q r s p s q s r s= < < n iA i iB i i iQ i 1Q 2Q 3Q ip i 1p 2p 3p 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 13．(2016 新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有 1 和 2，1 和 3，2 和 3．甲，乙，丙三人各取走 一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡 片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”， 则甲的卡片上的数字是 ． 14．（2016 山东）观察下列等式： ； ； ； ； …… 照此规律， _______． 15．（2015 陕西）观察下列等式： 1－ 1－ 1－ …… 据此规律，第 个等式可为______________________． 2 2π 2π 4(sin ) (sin ) 1 23 3 3 − −+ = × × 2 2 2 2π 2π 3π 4π 4(sin ) (sin ) (sin ) (sin ) 2 35 5 5 5 3 − − − −+ + + = × × 2 2 2 2π 2π 3π 6π 4(sin ) (sin ) (sin ) (sin ) 3 47 7 7 7 3 − − − −+ + +⋅⋅⋅+ = × × 2 2 2 2π 2π 3π 8π 4(sin ) (sin ) (sin ) (sin ) 4 59 9 9 9 3 − − − −+ + +⋅⋅⋅+ = × × 2 2 2 2π 2π 3π 2 π(sin ) (sin ) (sin ) (sin )2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n n − − − −+ + +⋅⋅⋅+ =+ + + + 1 1 2 2 = 1 1 1 1 1 2 3 4 3 4 + − = + 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 4 5 6 + − + − = + + n 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 16．（2015 山东）观察下列各式： ； ； …… 照此规律，当 时， ． 17．（2014 安徽）如图，在等腰直角三角形 中，斜边 ，过点 作 的垂 线，垂足为 ；过点 作 的垂线，垂足为 ；过点 作 的垂线，垂足为 ；…，依此类推，设 ， ， ，…， ，则 __． 18．(2014 福建)若集合 且下列四个关系：① ；② ；③ ；④ 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 的个数是 ____． 19．(2014 北京)顾客请一位工艺师把 、 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一 位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作， 两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间 原料 粗加工 精加工 原料 A B CA1 A2 A3 A4 0 0 1 4C = 0 1 1 3 3 4C C+ = 0 1 2 2 5 5 5 4C C C+ + = 0 1 2 3 3 7 7 7 7 4C C C C+ + + = *Nn∈ 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n nC C C C − − − − −+ + +⋅⋅⋅+ = ABC 2 2BC = A BC 1A 1A AC 2A 2A 1AC 3A 1BA a= 1 2AA a= 1 2 3A A a= 5 6 7A A a= 7a = },4,3,2,1{},,,{ =dcba 1=a 1≠b 2=c 4≠d ),,,( dcba A B A 9 15 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 原料 则最短交货期为 个工作日． 20．(2014 陕西)已知 ，若 ，则 的表达式为________． 21．(2014 陕西)观察分析下表中的数据： 多面体 面数（ ） 顶点数（ ) 棱数（ ) 三棱锥 5 6 9 五棱锥 6 6 10 立方体 6 8 12 猜想一般凸多面体中， 所满足的等式是_________． 22．(2013 陕西)观察下列等式: … 照此规律, 第 个等式可为 ． 23．(2013 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数 1，3， 6，10，…，第 个三角形数为 ．记第 个 边形数为 ，以下列出了部分 边形数中第 个数的表达式： 三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 …… 21 1= 2 21 2 3− = − 2 2 21 2 63+− = 2 2 2 21 2 43 10−+− = − n ( ) 21 1 1 2 2 2 n n n n + = + n k ( ),N n k ( )3k ≥ k n ( ) 21 1,3 2 2N n n n= + ( ) 2,4N n n= ( ) 23 1,5 2 2N n n n= − ( ) 2,6 2N n n n= − B 6 21 0,1)( ≥+= xx xxf ++ ∈== Nnxffxfxfxf nn )),(()(),()( 11 )(2014 xf F V E EVF ，， n 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 可以推测 的表达式，由此计算 ． 24．(2012 陕西)观察下列不等式 ， ， …… 照此规律，第五个不等式为 ． 25 ． (2012 湖 南 ) 设 ， 将 个 数 依 次 放 入 编 号 为 1,2，…， 的 个位置，得到排列 ．将该排列中分别位于奇数与偶数 位 置 的 数 取 出 ， 并 按 原 顺 序 依 次 放 入 对 应 的 前 和 后 个 位 置 ， 得 到 排 列 ，将此操作称为 C 变换，将 分成两段，每段 个数，并 对每段作 C 变换，得到 ；当 时，将 分成 段，每段 个数，并对 每段 C 变换，得到 ，例如，当 =8 时， ，此时 位于 中 的第 4 个位置. （1）当 =16 时， 位于 中的第 个位置； （2）当 （ ）时， 位于 中的第 个位置. 26．(2011 陕西)观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …… 照此规律，第 个等式为 ． 27．(2010 浙江)设 ，将 的最小值记为 ，则 ( ),N n k ( )10,24N = 2 1 31 2 2 + < 2 3 1 1 51 2 3 3 + + < 4 7 4 1 3 1 2 11 222 ( , )s ti i 1 2 ni i i 1 2 ni i i ( )nf k k 3 4(2), (2)f f 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ (2)求 的表达式(用 表示)． 31．（2017 江苏）对于给定的正整数 ，若数列 满足 对任意正整数 总成立，则称数列 是“ 数列”． （1）证明：等差数列 是“ 数列”； （2）若数列 既是“ 数列”，又是“ 数列”，证明： 是等差数列． 32．（2017 北京）设 和 是两个等差数列，记 ， 其中 表示 这 个数中最大的数． （Ⅰ）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列； （Ⅱ）证明：或者对任意正数 ，存在正整数 ，当 时， ；或者存在 正整数 ，使得 是等差数列． 33．(2016 江苏)记 ．对数列 （ ）和 的子集 ，若 ，定义 ； 若 ， 定 义 ． 例 如 ： 时 ， ．现设 （ ）是公比为 的等比数列，且当 时， ． (1)求数列 的通项公式； (2)对任意正整数 （ ），若 ，求证： ； (3)设 ， ， ，求证： ． 34．(2016 浙江)设函数 = ， ．证明： (1) ； (2) ． ( )f x [0,1]x∈ (2)( 5)nf n≥ n k { }na 1 1 1 1 2n k n k n n n k n k na a a a a a ka− − + − + + − ++ +⋅⋅⋅+ + +⋅⋅⋅+ + = n ( )n k> { }na ( )P k { }na (3)P { }na (2)P (3)P { }na { }na { }nb 1 1 2 2max{ , , , }n n nc b a n b a n b a n= − − ⋅⋅⋅ − ( 1,2,3, )n = ⋅⋅⋅ 1 2max{ , , , }sx x x⋅⋅⋅ 1 2, , , sx x x⋅⋅⋅ s na n= 2 1nb n= − 1 2 3, ,c c c { }nc M m n m≥ nc Mn > m 1 2, , ,m m mc c c+ + ⋅⋅⋅ { }1,2, ,100U =  { }na *n∈N U T T = ∅ 0TS = { }1 2, , , kT t t t=  1 2 kT t t tS a a a= + + + { }1,3,66T = 1 3 66TS a a a= + + { }na *n∈N 3 { }2,4T = 30TS = { }na k 1 100k≤ ≤ { }1,2, ,T k⊆  1T kS a +< C U⊆ D U⊆ C DS S≥ 2C C D DS S S+  ≥ 3 1 1x x + + 2( ) 1f x x x− +≥ 3 3( )4 2f x< ≤ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 天添资源网 http://www.ttzyw.com/ 35．(2015 湖北)已知数列 的各项均为正数， ，e 为自然对数的 底数． (1)求函数 的单调区间，并比较 与 e 的大小； (2)计算 ， ， ，由此推测计算 的公式，并给出证明； (3)令 ，数列 ， 的前 项和分别记为 , , 证明： ． 36．(2015 江苏)已知集合 ，设 整除 或 ，令 表示集合 所含元素的个数． (1)写出 的值； (2)当 时，写出 的表达式，并用数学归纳法证明． 37．(2014 天津)已知 和 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 ， 集合 . (1)当 ， 时，用列举法表示集合 ； (2)设 ， ， ，其中 ， ， ．证明：若 ，则 ． 38．(2013 江苏)设 是首项为 ，公差为 的等差数列 ， 是其前 项和. 记 ， ，其中 为实数. (1)若 ，且 ， ， 成等比数列，证明： ； (2)若 是等差数列，证明： ． { }na a d ( )0d ≠ nS n 2 n n nSb n c = + Nn *∈ c 0c = 1b 2b 4b ( )2 Nnk kS n S k,n *= ∈ { }nb 0c = { }na 1(1 ) ( )n n nb n a nn += + ∈N ( ) 1 exf x x= + − 1(1 )n n + 1 1 b a 1 2 1 2 b b a a 1 2 3 1 2 3 b b b a a a 1 2 1 2 n n b b b a a a   1 1 2( )n n nc a a a=  { }na { }nc n nS nT en nT S< *{1,2,3}, {1,2,3,....., }( )nX Y n n N= = ∈ {( , ) |nS a b= a b , , }nb a a X b Y∈ ∈除 ( )f n nS (6)f 6n≥ ( )f n q n {0,1,2 , 1, }M q= - 1 1 2 , , 1,2, ,{ }n n ix q x M i nA x x x x q  -+ Î == = + + 2q = 3n = A ,s t AÎ 1 1 2 n ns a a q a q -= + + + 1 1 2 n nt b b q b q -= + + + ia ib M∈ 1,2, ,i n= ⋅⋅⋅ n na b< s t