理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷 选择题（60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．设集合 ， ，则
A． B． C． D．
2．复数 z1＝2+i，若复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 z1z2＝
A．﹣5 B．5 C．﹣3+4i D．3﹣4i
3．双曲线 的渐近线方程为
A． B． C． D．
4．为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机
构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下
面三个结论：
①样本数据落在区间 的频率为 0.45；
②如果规定年收入在 500 万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有 55%的当地中小型企
业能享受到减免税政策；③样本的中位数为 480 万元.其中正确结论的个数为
{ }0, 1, 2, 3,4A = − − − { }2 12B x x= < A B = { }4 { }1,2, 3− − { }0, 1,2, 3− − { }3, 2, 1,0,1,2,3− − − 2 2 14 y x− = y x= ± 2y x= ± 1 2y x= ± 1 4y x= ± [300 500),
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知 ，向量 在向量 上的投影为 1，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
6．已知 一条对称轴为 ，则
A． B． C． D．
7．疫情期间，一同学通过网络平台听网课，在家坚持学习.某天上午安排了四节网课，分别是
数学，语文，政治，地理，下午安排了三节，分别是英语，历史，体育.现在，他准备在上午
下午的课程中各任选一节进行打卡，则选中的两节课中至少有一节文综学科（政治、历史、
地理）课程的概率为
A． B． C． D．
8．已知 ，则 a，b，c 的大小关系
A． B． C． D．
9．已知函数 在 为单调递增函数，则 的取值范围为
A． B． C． D．
10．已知三棱锥 的外接球为球 ， 为球 的直径，且 ，若面 面 ，
则三棱锥 的体积最大值为
A． B． C．1 D．2
11．若函数 （其中 ， 图象的一个对称中心为 ， ，其
相邻一条对称轴方程为 ，该对称轴处所对应的函数值为 ，为了得到 的
图象，则只要将 的图象
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
2=a a b a b
3
π
6
π
2
π 2
3
π
sin(3 ) | | 2y x
πϕ ϕ = +
(0, )+∞ a
(1, )+∞ (1,2) (1.2] (0,2]
S ABC− O SA O 2SA = SAC ⊥ SAB
S ABC−
1
3
2
3
( ) sin( )f x A xω ϕ= + 0A > | | )2
πϕ < ( 3 π 0) 7 12x π= 1− ( ) cos2g x x= ( )f x 6 π 12 π 6 π 12 π
12．已知函数 ，若对任意的 在区间 上总存在唯一
的零点，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
第 II 卷 非选择题（90 分）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．曲线 在点 处的切线方程为________.
14．已知 ，则 _____________.
15．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防
止 ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使
用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民
小区电子出入证的登录验证码由 0，1，2，…，9 中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然
后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如 14532，12543），已知某人收到了
一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是 7 的概率为__________.
16．已知函数 ，有下列四个命题：
①函数 是奇函数； ②函数 在 是单调函数；
③当 时，函数 恒成立； ④当 时，函数 有一个零点，其中正确的
是_______
三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．（12 分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典
用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高
中学校随机抽取了 120 名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为 3:2，而男生中喜欢
阅读中国古典文学和不喜欢的比例是 7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是
5:3.
（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有 的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别
2( ) lnxf x xe t a= + − 1 , , ( )t e f xe
∈ [ 1,1]−
a
2
2
1 ,ee
−
2
2
11 , 1ee
− −
21 , 12 ee
− −
2
2
11 , 1ee
− +
( sin )exy x x= + (0,0)
tan 3α = − cos2 =α
OCR
( ) 2 ln xf x x x
= −
( )f x ( )f x ( ) ( ),0 0,−∞ ∪ +∞
0x > ( ) 0f x > 0x < ( )f x 95%
有关系？
男生 女生 总计
喜欢阅读中国古典文学
不喜欢阅读中国古典文学
总计
（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交
流.实验人员已经从所调查的 120 人中筛选出 4 名男生和 3 名女生共 7 人作为代表，这 7 个代
表中有 2 名男生代表和 2 名女生代表喜欢中国古典文学.现从这 7 名代表中任选 3 名男生代表
和 2 名女生代表参加座谈会，记 为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求 5 的分布列及数
学期望
附表及公式： .
18．（12 分）记 为数列 的前 n 项和，已知 .
（1）求 的值及 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和.
19．（12 分如图，四棱锥 中，底面 为直角梯形，
∥ ， 为等边三角形，平面 底面
， 为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）点 在线段 上，且 ，求平面 与平
面 所成的锐二面角的余弦值.
ξ
( )E ξ
2
2 ( ) ,( )( )( )( )
n ad bcK n a b c da b c d a c b d
−= = + + ++ + + +
( )2
0P K k≥ 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
nS { }na 3 6,a = 2 ,nS n nλ= + Rλ ∈
λ { }na 1
n
n
b S n
= + { }nb
P ABCD− ABCD
45AB AD ADC AD⊥ ∠ = °， ， 2 2BC AD AB= =， ADP△ PAD ⊥
ABCD E AD
PBC ⊥ PCE
F CD 3
2
CF
FD
= PAD
PBF
20．（12 分）已知抛物线 焦点为 ，直线 过 与抛物线交于 两点.
到准线的距离之和最小为 8.
（1）求抛物线方程；
（2）若抛物线上一点 纵坐标为 ，直线 分别交准线于 .求证：以 为直
径的圆过焦点 .
21．（12 分）已知函数 f（x）＝axlnx﹣x2﹣ax+1（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点.
（1）求实数 a 的取值范围；
（2）设两个极值点分别为 x1，x2，x1＜x2，证明：f（x1）+f（x2）＜2﹣x12+x22.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （其中 为参数）.以坐标原点
为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）设点 ，直线 交曲线 于 两点，求 的值.
23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
已知函数 ．
（1）解不等式 ；
2 2 ( 0)y px p= > F l F ,A B
,A B
P 2p ,PA PB ,M N MN
F
xOy 1C
3
3
62 3
x t
y t
= −
= +
t O
x 2C 2cos 3sinρ θ θ=
1C 2C
( )0,2P 1C 2C ,M N 2 2PM PN+
（2）若 ，对 ， ，使 成立，求实数
的取值范围．
理科数学参考答案
1-5:CABDA 6-10:ACACA 11-12:BB
13． 14． 15． 16．③④
17．（1）
男生 女生 总计
喜欢阅读中国古典文学 42 30 72
不喜欢阅读中国古典文学 30 18 48
总计 72 48 120
所以，没有 的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为 ，女生中喜欢古典文学的人数为
，则 .且
；
；
.
所以 的分布列为
2y x=
5
4−
36
5
2
2 120(42 18 30 30) 0.208 3.84172 48 72 48K
× − ×= = = =
+ +
PAD PBF 4 183
61
,A B | |AB
| |AB 2 8p = 4p = 2 8y x=
( )2,0F 2x = − P 2p (8,8)P
l x 2x = ( )2,4A ( )2, 4B −
PA 2 8
3 3y x= + PB 2 8y x= − 42, 3M −
( )2, 12N − −
162, 3
− −
20
3r = 256 2016 9 3d r= + = =
MN F l x
: 2l x my= + ( ) ( )1 1 2 2, ,A x y B x y
2
2
8
x my
y x
= +
=
2 8( 2)y my= + 1 2 16y y = − 1 2 8y y m+ =
PA 1
1 1
8 88 ( 8) ( 8)8 8
yy x xx y
−− = − = −− + 2x = −
1
1 1
80 8 1688 8M
yy y y
− −= + =+ +
2
2
8 16
8N
yy y
−= +
( ) ( ) ( )1 2 1 2
1 2 1 2
64 2 2 44, 4, 16 8 8 64M N
y y y yMF NF y y y y y y
− − +⋅ = ⋅ = + + + +
( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
16 128 16 64 64 2 2 4
8 8 64
y y y y y y y y
y y y y
+ + + ⋅ + − − += + + +
，所以 ，所以焦点 在以 为直径的圆上.
综上，以 为直径的圆过焦点 .
21．（1）由题意可知，f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝alnx﹣2x，
令 g（x）＝alnx﹣2x（x＞0），
由函数 f（x）在定义域内有两个不同的极值点，可知 g（x）在区间（0，+∞）内有两个不同
的变号零点，
由 可知，
当 a≤0 时，g'（x）＜0 恒成立，即函数 g（x）在（0，+∞）上单调，不符合题意，舍去.
当 a＞0 时，由 g'（x）＞0 得， ，即函数 g（x）在区间 上单调递增；
由 g'（x）＜0 得， ，即函数 g（x）在区间 上单调递减；
故要满足题意，必有 ，解得：a＞2e；
又 ,∴函数 g（x）在（1， ）内有一个零点，
又当 时，g（x） ，∴在（ ）内有一个零点，
∴a＞2e 满足题意.
（2）由（1）可知， ，故要证： ，
只需证明： ，即证： 不妨设 0＜x1＜x2，即证 ，
构造函数：h（t）＝lnt﹣t2+1（t＞1）其中 ，
由 ，所以函数 h（t）在区间（1，+∞）内单调递减，所以 h（t）＜h（1）＝
0 得证.
1 2
1 2 1 2
80 16 64 4 64 08 8 64
y y
y y y y
+ ⋅ + ⋅= =+ + + 2MFN
π∠ = F MN
MN F
( ) 2' a xg x x
−=
0 2
ax＜ ＜ 0 2
a
，
2
ax＞
2
a ∞ + ，
02 2
a ag aln a = − ＞
( )1 2g = −
2
a
x ∞→ + ∞→ −
2
a ∞+，
1 1
2 2
2
2
alnx x
alnx x
=
= ( ) ( ) 2 2
1 2 1 22f x f x x x+ − +＜
( )2
1 1 22
ax x x+＜
2 2
2 2 1
1
2
1
x xx xln x
−＜ 22 2
1 1
( ) 1x xln x x
−＜
2
1
xt x
=
( ) 21 2' 0th t t
−= ＜
22．（1）直线 的参数方程为 （其中 为参数），消去 可得 ；
由 ，得 ，则曲线 的直角坐标方程为 .
（2）将直线 的参数方程 代入 ，得 ，
设 对应的参数分别为 ，则 ， .
23：（1）不等式等价于 或 或
解得 或 或 ，所以不等式 的解集为 ．
（2）由 知，当 时， ；
，当且仅当 时取等号，
所以 ， 解得 ． 故实数 的取值范围是 ．
1C
3
3
62 3
tx
y t
= −
= +
t t 2 2 0x y+ − =
2cos 3sinρ θ θ= 2 2cos 3 sinρ θ ρ θ= 2C 2 3x y=
1C
3
3
62 3
x t
y t
= −
= +
2 3x y= 2 3 6 18 0t t− − =
,M N 1 2,t t 1 2
1 2
3 6
18
t t
t t
+ = = −
( )2 2 2
1 2 1 22 90PM PN t t t t+ = + − =
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