2020 年绵阳高考适应性考试模拟
文科数学试题卷
2020 年 5 月
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 定义运算 ，则满足 （ 为虚数单位）的复数 的共轭复数 在复平面内
对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别
是（ ）
A. 46，45 B. 45，46
C. 46，47 D. 47，45
4. 2020 年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时艰，社会各界支
援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，绵阳市中心医院派出 3 名医生，2 名护士支援湖北，现从这 5 人中任选 2 人
定点支援湖北某医院，则恰有 1 名医生和 1 名护士被选中的概率为（ ）
A. 0.7 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.3
5. 《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节
的容积共 3 升，下面 3 节的容积共 4 升，则该竹子的容积为（ ）
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
6. 已知 ， 是两个不同的平面， 是一条直线，给出下列说法：
{ }2| 3 0A x x x= − < ( ){ }| ln 2B x y x= = − A B =
( )2,+∞ ( )2,3 ( )3,+∞ ( ),2−∞
a b ad bcc d
= − 01 2
z i
i i
− =− − i z z
100
11
90
11
254
33
201
22
α β l
①若 ， ，则 ； ②若 ， ，则 ；
③若 ， ，则 ； ④若 ， ，则 .
其中正确说法的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 （ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
8. 已知函数 ，且 ， ，则实数 的
值可能是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9. 已知点 是抛物线 ： 上的一点， 是其焦点，定点 ，则 的外接圆
的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 从 区 间 随 机 抽 取 个 数 ， ， … ， ， ， ， … ， ， 构 成 个 数 对 ，
，…， ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
的近似值为（ ）
A. B. C. D.
11. 已 知 双 曲 线 ， 点 是 直 线 上 任 意 一 点 ， 若 圆
l α⊥ α β⊥ / /l β / /l α / /α β / /l β
l α⊥ / /α β l β⊥ / /l α α β⊥ l β⊥
0.001t = n =
( ) ( )sinf x A xω ϕ= +
3 3f x f x
π π + = − − 6 6f x f x
π π + = −
ω
( )4,4P C 2 2y px= F ( )1,4M − MPF△
125
32
π 125
16
π 125
8
π 125
4
π
[ ]0,1 2n 1x 2x nx 1y 2y ny n ( )1 1,x y
( )2 2,x y ( ),n nx y m π
4n
m
2n
m
4m
n
2m
n
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > ( )0 0,P x y 2 0bx ay a− + =
与双曲线 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 设函数 是偶函数 的导函数， 在区间 上的唯一零点为2，并且当 时，
，则使得 成立的 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22~23 题为选
考题，考生根据要求作答.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中横线上）
13. 已知向量 与 的夹角为 ， ， ，则 ______.
14. 若 ， ，则 ______.
15. 已知实数 ， 满足不等式组 ，则 的最大值是______.
16. 一个密闭且透明的正方体容器中装有部分液体，已知该正方体的棱长为 2，如果任意转动该正方体，液
面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围为______.
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， 成等差数列，且 .
（1）求角 的大小；
（2）设数列 满足 ，前 项和为 ，若 ，求 的值.
18. 如图，在直三棱柱 中， ， 是 的中点， .
( ) ( )2 2
0 0 1x x y y− + − = C
( ]1,2 ( )1,2 ( )2,+∞ [ )2,+∞
( )'f x ( )f x ( )f x ( )0,+∞ ( )1,1x∈ −
( ) ( )' 0x f x f x⋅ + < ( ) 0f x < x
( )2,2− ( ) ( ), 2 2,−∞ − +∞
( )1,1− ( ) ( )2,0 0,2−
a b 60° 2a = 3b = 3 2a b− =
tan 3α = 0, 2
πα ∈ cos 4
πα − =
x y
0
0
2 8
3 9
x
y
x y
x y
≥
≥ + ≤
+ ≤
3z x y= +
ABC△ A B C a b c A B C 2c a=
A
{ }na 2 cosn
na nC= n nS 20nS = n
1 1 1ABC A B C− 1 1 1 1A B AC⊥ D 1 1B C 1 1 1 2A A A B= =
（1）求证： 平面 ；
（2）若异面直线 和 所成角为 ，求四棱锥 的体积.
19. 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2019 年连续六个月（5 一 10
月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示.
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润 （单位：百万元）与月份代码 之间的关系，求
关于 的线性回归方程，并据此预测该公司 2020 年 5 月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有 ， 两种型号的新型材料可供选择，按规
定每种新型材料最多可使用 4 个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对 ， 两种型
号的新型材料对应的产品各 100 件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表 1）.
若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？
（表 1）
使用寿命/材料类型 1 个月 2 个月 3 个月 4 个月 总计
20 35 35 10 100
10 30 40 20 100
参考数据： ； .
1 / /AB 1ACD
1AB BC 60° 1 1A CDB B−
y x
y x
A B
A B
A
B
6
1
96i
i
y
=
=∑ 6
1
371i i
i
x y
=
=∑
参考公式：回归直线方程 ，其中 ， .
20. 已知 ， 为椭圆 的左、右顶点， 为其右焦点， 是椭圆 上异于 ， 的动点，
且 面积的最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与椭圆在点 处的切线交于点 ，当点 在椭圆上运动时，求证：以 为直径的圆与直线
恒相切.
21. 已知函数 ， .
（1）讨论函数 在 上的单调性；
（2）比较 与 的大小，并加以证明.
请考生在 22~23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 选修 4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中， 为极点，点 在曲线 ： 上，直线 过点 且与
垂直，垂足为 .
（1）当 时，求 及 的极坐标方程；
（2）当 在 上运动且 在线段 上时，求 点轨迹的极坐标方程.
23. 选修 4-5：不等式选讲
已知不等式 的解集为 .
（1）求 ， 的值；
（2）若 ， ， ，求 的最小值.
2020 年绵阳高考适应性考试模拟
文科数学试题卷参考答案
一、选择题
1-5：BAACD 6-10：BCBBC 11-12：AA
y bx a= +
( )( )
( )
1 1
2 22
1 1
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nx y
b
x x x nx
= =
= =
− − − ⋅
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
a y bx= −
( )2,0A − ( )2,0B C F P C A B
APB△ 2 3
C
AP B D P BD
PF
( ) 23 xf x e x= + ( ) 9 1g x x= −
( ) ( )( )ln , 0x a x bg x a R bϕ = − ∈ > ( )1,+∞
( )f x ( )g x
O ( )( )0 0 0, 0M ρ θ ρ > C 2sinρ θ= l ( )2,0A OM
P
0 4
πθ = 0
ρ l
M C P OM P
2 5x x x+ − < + ( ),m n
m n
0x > 0y > 0nx y m+ + = 1 1
x y
+
1. B [ 集 合 ， ， 所 以
.故选 B.]
2. A [ 因 为 . 所 以
，所以 复数 在复平面内对应的点为 ，故选 A.]
3. A [由茎叶图可知，出现次数最多的是数 45，将所有数从小到大排列后，中间两数为 45，47，故中位数
为 46，.故选 A.]
4. C
5. D [设竹子自上而下各自节的容积构成数列 ，且 ，
则 ，得 ，∴竹子的容积为
，故选 D.]
6. B [①若 ， ，则 或 ；②若 ， ，则 或 ；③若 ，
，则 ，正确；④若 ， ，则 或 或 与 相交且 与 不垂直.故选 B.]
7. C [第一次循环， ， ， ；第二次循环， ， ， ；第三次循环，
， ， ；第四次循环， ， ， ，此时 不成立，此时结束循
环，所以输出的 的值为 4，故选 C.]
8. B [根据题意可知，点 是图象的一个对称点，直线 是图象的一条对称轴，所以会有
， 从 而 可 以 求 得 ， 所 以 有 ， 从 而 得
，从而求得 可以是 3，故选 B.]
9. B [将点 坐标代入抛物线 方程 ，得 ，解得 ，∴点 ，
据题设分析知， ， ，又 （ 为 外接球半
{ } { }2| 3 0 | 0 3A x x x x x= − < = < < ( ){ } { }| ln 2 | 2B x y x x x= = − = >
{ } ( )| 2 3 2,3A B x x= < < =
( 2 ) ( )(1 ) ( 2 ) 1 01 2
z i z i i i z i ii i
− = − − − − = − + + =− −
1 (1 ) ( ) 1 1 1
2 2 ( ) 2 2 2
i i i ii ii i i
+ + ⋅ − −= = = = −⋅ −
1 1
2 2z i= + z 1 1,2 2
{ }na ( )1 1na a n d= + −
1 2 3 4 1
7 8 9 1
4 6 3
3 21 4
a a a a a d
a a a a d
+ + + = + =
+ + = + =
1
13
22
7
66
a
d
=
=
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
9 89 2a a a a a a a a a a d
×+ + + + + + + + = + 13 7 2019 3622 66 22
= × + × =
l α⊥ α β⊥ / /l β l β⊂ / /l α / /α β / /l β l β⊂ l α⊥
/ /α β l β⊥ / /l α α β⊥ l β⊥ / /l β l β l β
1
2S = 1
4m = 1n = 1
8S = 1
8m = 2n =
1
64S = 1
16m = 3n = 1
1024S = 1
32m = 4n = S t>
n
,03
π
6x
π=
2 1
4 3 6 6
k T
π π π− = − = ( )*2
6 3T k Nk
π= ∈− ( )*2 2
6 3 k Nk
π π
ω = ∈−
6 3kω = − ω
( )4,4P C 2 2y px= 24 2 4p= ⋅ 2p = ( )1,0F
4sin 5MPF∠ = 2 24 2 2 5MF = + = 2sin
MF RMPF
=∠ R MPF△
径），∴ ，∴ ，∴ 外接圆面积 ，故选 B.]
10. C [如图，数对 表示的点落在边长为 1 的正方形 内（包括边界），两数的
平方和小于 1 的数对表示的点落在半径为 1 的四分之一圆（阴影部分）内，则由几何概型的概率公式可得
.故选 C.]
11. A [直线 ，即 ，圆 与双曲线 的右支没有公共点，
则直线 与双曲线的渐近线 之间的距离大于或等于 1，即 ，所以
.]
12. A [令 ， ，当 时， ，
∴ 在 上递减，而 ，∴ 在 是奇函数，
∵ 在区间 上的唯一零点为 2，即 在区间 上的唯一零点为 2，
∴ ， ， ， 当 时 ， 由 已 知 ， 得 ， 符 合
， 当 时 ， ， 即 ， 得 ， 当 时 ， ， 即
，得 ，综上： .故选 A.]
二、填空题
13. 6 14. 15. 12 16.
13. 6 [∵ ， ， 与 的夹角为 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，故答案为 6.]
2 52 4
5
R = 5 5
4R = MPF△
2
2 5 5 125
4 16S R
ππ π = = ⋅ =
( )( ), 1,2, ,i ix y i n= ⋅⋅⋅ OABC
2
1
44
1
m m
n n
π
π= ⇒ ≈
2 0bx ay a− + = 2by xa
= + ( ) ( )2 2
0 0 1x x y y− + − = C
2by xa
= + by xa
=
2
2
2 2 1
1
d eb
a
= = ≥
+
1 2e< ≤
( ) ( )g x xf x= ( ) ( ) ( )' 'g x xf x f x= + ( )1,1x∈ − ( ) ( )' 0xf x f x+ <
( )g x ( )1,1− ( ) ( ) ( ) ( )g x xf x xf x g x− = − − = − = − ( )g x R
( )f x ( )0,+∞ ( )g x ( )0,+∞
( )0 0g = ( )2 0g = ( )2 0g − = 0x = ( ) ( )' 0xf x f x+ < ( )0 0f <
( ) 0f x < 0x > ( ) 0f x < ( ) 0xf x < 0 2x< < 0x < ( ) 0f x <
( ) 0xf x > 2 0x− < < ( )2,2x∈ −
2 5
5
4 20,3 3
2a = 3b = a b 60° 1cos60 2 3 32a b a b⋅ = ⋅ ⋅ ° = × × =
2 2 2
3 2 9 12 4 36 12 3 36 36a b a a b b− = − ⋅ + = − × + = 3 2 6a b− =
14. [由 ，可得 .又 ，结合 ，可得 ，
，∴ ，故答案为 .]
15. 12 [作出不等式组 表示的平面区域如图阴影部分所示，分析知，平移直线 ，由
图可得直线经过点 时， 取得最大值，且 ，故答案为 12.]
16. [设正方体为 ，旋转正方体使得平面 平行于水平面放置，则易得当
液面高于平面 ，低于平面 时，任意转动正方体，液面的形状都不可能为三角形，此时液体体
积大于三棱锥 的体积，小于正方体的体积减去三棱锥 的体积，即液体体积 满足
，得 ，即液体体积的取值范围为 .]
三、解答题
17. [ 解 ] （ 1 ） 由 已 知 ， 又 ， 所 以 . 又 由 ， 所 以
，∴ ，
所以 为直角三角形，所以 ，∴ .
（2） ，
所以 ，
2 5
5 tan 3α = sin 3cos
α
α = 2 2sin cos 1α α+ = 0, 2
πα ∈
3 10sin 10
α =
10cos 10
α = 2 2 5cos (cos sin )4 2 5
πα α α − = + ⋅ =
2 5
5
0
0
2 8
3 9
x
y
x y
x y
≥
≥ + ≤
+ ≤
3z x y= +
( )0,4A z max 0 3 4 12z = + × =
4 20,3 3
1 1 1 1ABCD A B C D− 1A BD
1A BD 1 1CB D
1A A BD− 1 1 1C CB D− V
31 1 1 12 2 2 2 2 2 23 2 3 2V× × × × < < − × × × × 4 20
3 3V< < 4 20,3 3
2B A C= + A B C π+ + =
3B
π= 2c a=
2 2 2 24 2 2 cos 33b a a a a a
π= + − × × = 2 2 2c a b= +
ABC△
2C
π=
6A
π=
0,2 cos 2 cos 2 2 ,
n n
n n
nna nC
n
π = = =
是奇数
是偶数
( )2
2 4 2
2 1 2
4 1 2
0 2 0 2 0 2 201 4
k
k
n k kS S S+
−
= = = + + + +⋅⋅⋅+ + = =−
所以 ，∴ ，所以 或 .
18.（1）证明：如图，连 交 于点 ，连 .
因为直三棱柱 中，四边形 是矩形，故点 是 中点，
又 是 的中点，故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 .
（2）解：由（1）知 ，又 ，故 或其补角为异面直线 和 所成角.
设 ， 则 ， ， ， 故 为 等 腰 三 角 形 ， 故
，
故 为等边三角形，则有 ，得到 .
故 为等腰直角三角形，故 ，又 平面 ， 平面 ，
故 ，又 ，故 平面 ，
又梯形 的面积 ， ,
则四棱锥 的体积 .
19. 解（1）由折线图可知统计数据 共有 6 组，即 ， ， ， ， ，
，
计算可得 ， ，
2 2 62 64 2k+ = = 2k = 4n = 5n =
AC 1AC E DE
1 1 1ABC A B C− 1 1AAC C E 1AC
D 1 1B C 1/ /DE AB
1AB ⊄ 1ACD DE ⊂ 1ACD 1 / /AB 1ACD
1/ /DE AB 1 / /C D BC 1C DE∠ 1AB BC
2AC m= 2
1 1C E m= + 2
1 1C D m= + 2DE = 1C DE△
1 60C DE∠ = °
1C DE△ 2 1 2m + = 1m =
1 1 1A B C△ 1 1 1A D C B⊥ 1B B ⊥ 1 1 1A B C 1A D ⊂ 1 1 1A B C
1 1A D B B⊥ 1 1 1 1B B C B B= 1A D ⊥ 1CDB B
1CDB B ( )1
1 2 2 2 2 3 22CDB BS = × + × = 1 2A D =
1 1A CDB B−
1 1
1 1 3 2 2 23 3CDB BV S A D= ⋅ = × × =
( ),x y ( )1,11 ( )2,13 ( )3,16 ( )4,15 ( )5,20
( )6,21
1 2 3 4 5 6 3.56x
+ + + + += =
6
1
1 1 96 166 6i
iy y
=
= = × =∑
所以 ， .
所以月度利润 与月份代码 之间的线性回归方程为 .
由题意推得 2020 年 5 月份对应的年份代码为 13，故当 时， （百万元），故预计甲
公司 2020 年 5 月份的利润为 35 百万元.
（2） 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为 （个月），
型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为 （个月），
∵ ，∴采购 型新材料更好.
注：若采用其他数字特征（如中位数、众数等）进行合理表述，也可酌情给分.
20. [解]（1）设椭圆 的方程为 ， ，
由题意知 ，解得 ， ，∴椭圆 的方程为 .
（2）证明：设直线 的方程为 .
则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 .
由 得 .
设点 的坐标为 ，则 ，∴ ， .
∵点 坐标为 ，当 时，点 的坐标为 ，直线 轴，点 的坐标为 .此
时以 为直径的圆 与直线 相切.
当 时，则直线 的斜率 ，∴直线 的方程为 .
6
1
6 22
1
371 6 3.5 16 217.5
i i
i
i
i
x y nx y
b
x nx
=
=
− ⋅
=
−
− ⋅ ⋅= =
∑
∑
16 2 3.5 9a y bx= − = − × =
y x 2 9y x= +
13x = 2 13 9 35y = × + =
A 1
20 1 35 2 35 3 10 4 2.35100x
× + × + × + ×= =
B 2
10 1 30 2 40 3 20 4 2.7100x
× + × + × + × ==
1 2x x< B
C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > ( ),0F c
2 2 2
1 2 2 32
2
a b
a
a b c
⋅ ⋅ =
=
= +
3b = 1c = C
2 2
14 3
x y+ =
AP ( )( )2 0y k x k= + ≠
D ( )2,4k BD E ( )2,2k
2 2
( 2)
14 3
y k x
x y
= + + =
( )2 2 2 23 4 16 16 12 0k x k x k+ + + − =
P ( )0 0,x y
2
0 2
16 122 3 4
kx k
−− = +
2
0 2
6 8
3 4
kx k
−= + ( )0 0 2
122 3 4
ky k x k
= + = +
F ( )1,0 1
2k = ± P 31, 2
± PF x⊥ D ( )2, 2±
BD ( ) ( )2 22 1 1x y− + = PF
1
2k ≠ ± PF 0
2
0
4
1 1 4PF
y kk x k
= =− − PF 2
4 ( 1)1 4
ky xk
= −−
点 到直线 的距离 .
又∵ ，∴ ，∴以 为直径的圆与直线 相切.
综上，当点 在椭圆上运动时，以 为直径的圆与直线 恒相切.
21. [解]（1） ，
当 时，即 时， ，∴ 在 上单调递减；
当 时，即 时，令 ，得 ；令 ，得 .
故 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2） .
证明如下：设 ，
∵ 为增函数，
∴可设 ，∵ ， ，
∴ ，
当 时， ；当 时， .
∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ .
22. 解：（1）因为 在 上，当 时， .
E PF
( )
3
22 2
22
222
2 88 42 1 41 4 1 4 21 416 1 1 41 4
k kk kk kk kd kkk
kk
+− − −− −= = =+
+ −−
4BD k= 1
2d BD= BD PF
P BD PF
( )
99 99 ( 1' )
ab xa a bx bb xx xx x
ϕ
− − = − = = >
19
a
b
≤ 9a b≤ ( )' 0xϕ < ( )xϕ ( )1,+∞
19
a
b
> 9a b> ( )' 0xϕ > 1, 9
ax b
∈
( )' 0xϕ < ,9
ax b
∈ +∞
( )xϕ 1, 9
a
b
,9
a
b
+∞
( ) ( )f x g x>
( ) ( ) ( ) 23 9 1xh x f x g x e x x= − = + − +
( )' 3 2 9xh x e x= + −
( )0' 0h x = ( )' 0 6 0h = − < ( )' 1 3 7 0h e= − >
( )0 0,1x ∈
0x x> ( )' 0h x > 0x x< ( )' 0h x <
( ) 0 2
min 0 0 0( ) 3 9 1xh x h x e x x= = + − +
0
03 2 9 0xe x+ − = 0
03 2 9xe x= − +
2
min 0 0 0( ) 2 9 9 1h x x x x= − + + − + ( )( )2
0 0 0 011 10 1 10x x x x= − + = − −
( )0 0,1x ∈ ( )( )0 01 10 0x x− − >
( )min 0h x > ( ) ( )f x g x>
( )0 0,M ρ θ C 0 4
πθ = 0 2sin 24
πρ = =
由己知得 ，设 为 上除 点外的任意一点，连接 ，
在 中， .
经检验，点 在曲线 上.所以， 的极坐标方程为 .
（2）设 ，在 中， ，即 .
因为 在线段 上，且 ，故 的取值范围是 .
所以， 点轨迹的极坐标方程为 ， .
23. [解]（1）原不等式可化为
或 或 ，
解得 或 或 ，∴ ，
∴原不等式的解集为 ，故 ， .
（2）由（1）得 ，即 ，所以
.
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故所求最小值为 .
cos 24OP OA
π= = ( ),Q ρ θ l P OQ
Rt OPQ△ cos 24 OP
πρ θ − = =
2, 4P
π
cos 24
πρ θ − = l cos 24
πρ θ − =
( ),P ρ θ Rt OAP△ cos 2cosOP OA θ θ= = 2cosρ θ=
P OM AP OM⊥ θ ,4 2
π π
P 2cosρ θ= ,4 2
π πθ ∈
0
2 5
x
x x x
+ − < +
1 0x− < < 0 2x≤ ≤ 2 7x< < 1 7x− < <
( )1,7− 1m = − 7n =
7 1 0x y+ − = ( )7 1 0, 0x y x y+ = > >
1 1 7 7 7 8x y x y y x
x y x y x y
+ ++ = + = + + 2 7 8 7 1≥ + = +
7
7 1
x
x y
x y
y =
+ =
1
7 7
x =
+
7
7 7
y =
+
7 1+
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