2020 年绵阳高考适应性考试模拟数学试题（理科）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合 ， ，则集合 =（ ）
A.{1，2} B.{1，2，3} C.{0，1，2} D.（0，1）
2.已知 ， ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围为（ ）
A.(-∞，3] B.[2，3] C.(2，3] D.（2，3）
3.若当 时，函数 始终满足 ，则函数 的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
4. 展开式的常数项为（ ）
A.120 B.160 C.200 D.240
5.用电脑每次可以自动生成一个属于区间（0，1）内的实数，且每次生成每个实数都是等可能的，若用该电
脑连续生成 3 个实数，则这 3 个实数都大于 的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.下列说法正确的是（ ）
A.命题“ ， ”的否定是“ ， ”
B.命题“若 ，则函数 只有一个零点”的逆命题为真命题
C.“ 在 上恒成立”⇔“ 在 上恒成立”
D.命题“已知 ， ，若 ，则 或 ”的逆否命题是真命题
7.如图，在平行四边形 中， ， ， ，若 、 分别是边 、 上的
点，且满足 ，其中 ，则 的取值范围是（ ）
{ }A 0 3, Nx x x= < < ∈ { }2B 9x y x= = − ( )RA B∩
1: 12p x
≥− ( )2: 1q x a− < p q a
Rx∈ ( ) xf x a= ( )0 1f x< ≤ 1logay x
=
3
2
2
1 4 4xx
+ +
1
3
1
27
2
3
8
27
4
9
Rx∀ ∈ 0xe > 0 Rx∃ ∈ 0 0xe >
1a = − ( ) 2 2 1f x ax x= + −
2 2x x ax+ ≥ [ ]1,2x∈ ( ) ( )2
maxmin
2x x ax+ ≥ [ ]1,2x∈
x Ry∈ 3x y+ ≠ 2x ≠ 1y ≠
ABCD BAD 3
π∠ = AB 2= AD 1= M N BC CD
BM NC
BC DC
λ= = [ ]0,1λ ∈ AM AN⋅ A.[0，3] B.[1，4] C.[2，5] D.[1，7]
8.已知 ， 满足约束条件 ，若 的最大值为 4，则 =（ ）
A.3 B.2 C.-2 D.-3
9.若 ，且 ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知数列 与 的前 项和分别为 ， ，且 ， ， ，若
， 恒成立，则 的最小值是（ ）
A. B. C.49 D.
11.四棱锥 的三视图如图所示，四棱锥 的五个顶点都在一个球面上， ， 分别是棱
， 的中点，直线 被球面所截得的线段长为 ，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
12.若函数 在区间（1，+∞）上存在零点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C.（0，+∞） D.
二.填空题
13.已知 是实数， 是虚数单位，若 是纯虚数，则 =______.
14.设 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则数列
中
的最大项是
第______项.
15.若函数 对任意的 ，都有 成立，则
x y
0
2
0
x y
x y
y
− ≥
+ ≤
≥
z ax y= + a
0a b> > 1ab =
( )2
1 log2a
ba a bb
+ < < + ( )2
1log2a
b a b a b
< + < +
( )2
1 log 2a
ba a bb
+ < + < ( )2
1log 2a
ba b a b
+ < + <
{ }na { }nb n nS nT 0na > 26 3n n nS a a= + *n N∈
( )( )1
2
2 1 2 1
n
n n
a
n a ab
+
=
− −
*n N∀ ∈ nk T>
1
7
1
49
8
441
P ABCD− P ABCD− E F
AB CD EF 2 2
12π 24π 36π 48π
( ) lnf x x x a x= − − a
10, 2
1 ,2 e
1 ,2
+∞
a i ( )2 1 1z a a i= − + + a
nS { }na n 25 0S > 26 0S < ( ), 25n
n
S n N na
+ ∈ ≤
( )f x x R∈ 1 1 22 2f x f x + + − =
1 2 7
8 8 8f f f + +⋅⋅⋅+ =______。
16.已知 为抛物线 的焦点，点 ， 在该抛物线上且位于 轴的两侧，而且 （ 为坐
标原点），若 与 的面积分别为 和 ，则 最小值是______。
三.解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设 .
（Ⅰ）求 的单调区间；
（Ⅱ）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，求 面
积的最大值.
18.在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为 1：3，且成绩分数分布在[40，100]，
分数在 80 以上（含 80）的同学获奖.按文、理科用分层抽样的方法抽取 200 人的成绩作为样本，得到成绩
的频率分布直方图如图所示.
（1）求 的值，并计算所抽取样本的平均值 （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）填写下面的 2×2 列联表，并判断在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下能否认为“获奖与学生的文、理
科有关”.
文科生 理科生 总计
获奖 5
不获奖
总计 200
附表及公式：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
F 2y x= A B x 6OA OB⋅ = O
ABO△ AFO△ 1S 2S 1 24S S+
( ) 2sin cos cos 4f x x x x
π = − +
( )f x
ABC△ A B C a b c 02
Af = 1a = ABC△
a x
( )2
0P K k≥
0k.
19.如图，已知长方形 中， ， ， 为 的中点，将 沿 折起，
使得平面 平面 .
（1）求证： ；
（2）若点 是线段 上的一动点，问点 在何位置时，二面角 的余弦值为 .
20.设椭圆 的离心率 ，左焦点为 ，右顶点为 ，过点 的直线交椭圆于 ，
两点，若直线 垂直于 轴时，有
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （点 异于点 ），直线
与 轴相交于点 .若 的面积为 ，求直线 的方程.
21.已知函数 ， ， ， .
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若曲线 在点（0，1）处的切线 与曲线 切于点 ，求 ， ， 的值；
（Ⅲ）若 恒成立，求 的最大值.
请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（选修 4-4：参数方程与极坐标）
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.在以坐标原点为极点， 轴正半
轴为极轴的极坐标系中，曲线 .
（1）写出曲线 ， 的普通方程；
（2）过曲线 的左焦点且倾斜角为 的直线 交曲线 于 ， 两点，求 .
23.（选修 4-5：不等式选将）
已知函数 .
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + +
ABCD AB 2 2= AD 2= M DC ADM△ AM
ADM ⊥ ABCM
AD BM⊥
E DB E E AM D− − 2 5
5
( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 1
2e = F A F E
H EH x 3
2EH =
: 1l x = − P Q x AP B B A
BQ x D APD△ 6
2 AP
( ) 2xf x e x x= + − ( ) 2g x x ax b= + + a Rb∈
1a = ( ) ( ) ( )F x f x g x= −
( )y f x= l ( )y g x= ( )1,c a b c
( ) ( )f x g x≥ a b+
xOy 1c 2 5 cos
2sin
x
y
α
α
= =
α x
2
2 : 4 cos 2 sin 4 0C ρ ρ θ ρ θ+ − + =
1C 2C
1C 4
π
l 2C A B AB
( ) 2 3f x x x a= − + +（1）当 时，解不等式 ；
（2）若存在 满足 ，求实数 的取值范围.
2020 年绵阳高考适应性考试模拟数学答案（理科）
一.选择题：ACBBC DCBBB AD 二.填空题：13.1 14.13 15.7 16.6
12 解析：因为函数 ，所以 ，令
，因为 .当 时， ， ，所
以 ，
所以 在（1，+∞）上为增函数，则 ，
当 时， ，所以 ，所以 在（1，+∞）上为增函数.
则 ，所以 在（1，+∞）上没有零点.当 时，即 时，
因为 在（1，+∞）上为增函数，则存在唯一的 .使得 ，且当 时，
；当 时， ，
所以当 时， ， 为减函数；当 时， ， 为增函数，
当 时， ，因为 ，当 趋于+∞时， 趋于+∞，
所以在 内， 一定存在一个零点，所以 ，故答案选 D.
16.【解析】设直线 的方程为 ，点 ， ，直线 与 轴交点为
∴联立 ，可得 ，根据韦达定理得 。∵ ∴ ，
即 ，∵ ， 位于 轴的两侧∴ ∴ 设点 在 轴的上方，则
∵ ∴
当且仅当 ，即 时取等号
1a = ( ) 5f x ≥
0x ( )0 02 2 3f x x+ − < a
( ) lnf x x x a x= − − ( ) 1 2 21 22
a x x af x x xx
− −′ = − − =
( ) 2 2g x x x a= − − ( ) 1 4 12 22
xg x xx
−′ = − = ( )1,x∈ +∞ 4 1 0x − > 2 0x >
( ) 0g x′ >
( )g x ( ) ( )1 1 2g x g a> = −
1 2 0a− ≥ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )f x
( ) ( )1 0f x f> = ( )f x 1 2 0a− < 1
2a >
( )g x ( )0 1,x ∈ +∞ ( )0 0g x = ( )01,x x∈
( ) 0g x < ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x >
( )01,x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
0x x= ( ) ( )min 0f x f x= ( ) ( )0 1 0f x f< = x ( )f x
( )0 ,x x∈ +∞ ( )f x 1 ,2a ∈ +∞
AB x ty m= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB x ( )0,M m
2
x ty m
y x
= +
=
2y ty m= + 1 2y y m⋅ = − 6OA OB⋅ =
1 2 1 2 6x x y y+ =
( )2
1 2 1 2 6 0y y y y⋅ + ⋅ − = A B x 1 2 3y y⋅ = − 3m = A x
1 0y > 1 ,04F
( )1 2 1 2 1 1 1 1
1 1
1 1 1 3 3 1 94 3 4 2 62 2 4 2 2 2S S y y y y y yy y
+ = × × − + × × = + + = + ≥
1
1
92 2y y
= 1
3
2y =17.（Ⅰ）由题意知
由 ， 可得 ，
由 ， 可得 ，
所以函数 的单调递增区间是 ；单调递减区间是
（Ⅱ）由 ，得 .由题意知 为锐角.所以
由余弦定理： 可得：
即： ，当且仅当 时等号成立.因此 所以 面积的最大值为
18.解：（1） ，
.
（2）由频率分布直方图知样本中获奖的人数为 40，不获奖的人数为 160，2×2 列联表如下：因为
，故在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下能认为“获奖与
学生的文、理科有关”.
文科生 理科生 总计
获奖 5 35 40
不获奖 45 115 160
总计 50 150 200
19.（1）证明：∵长方形 中， ， ， 为 的中点，∴ ，则
.
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面
，∵ 平面 ，∴ ；
（2）解：取 中点 ，连接 ，则 平面 ，
( )
1 cos 2sin 2 sin 2 1 sin 2 12 sin 22 2 2 2 2
xx x xf x x
π + + − = − = − = −
2 2 22 2k x k
π ππ π− + ≤ ≤ + k Z∈
4 4k x k
π ππ π− + ≤ ≤ + k Z∈
32 2 22 2k x k
π ππ π+ ≤ ≤ + k Z∈ 3
4 4k x k
π ππ π+ ≤ ≤ + k Z∈
( )f x ,4 4k k
π ππ π − + +
( )3,4 4k k k Z
π ππ π + + ∈
1sin 02 2
Af A = − =
1sin 2A = A 3cos 2A =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 21 3 2bc b c bc+ = + ≥
2 3bc ≤ + b c= 1 2 3sin2 4bc A
+≤ ABC△
2 3
4
+
( )1 1 0.01 0.015 0.03 0.015 0.005 10 0.02510a = × − + + + + × =
45 0.1 55 0.15 65 0.25 75 0.3 85 0.15 95 0.05 69x = × + × + × + × + × + × =
( )2
2 200 5 115 35 45 4.167 3.84140 160 50 150K
× × − ×= ≈ >× × ×
ABCD AB 2 2= AD 2= M DC AM BM 2= =
AM BM⊥
ADM ⊥ ABCM ADM ABCM AM= BM ⊂ ABCM BM ⊥
ADM AD ⊂ ADM AD BM⊥
M O DO DO ⊥ ABCM以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面 的一个法向量为 ，
设 ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，则 ，取 ，得
.由 ，解得 .∴ 为 上靠近 点的 处.
20.（1）设 ，因为 所以有 ，又由 得 ，且 ，得
， ，因此椭圆的方程为：
（2）设直线 的方程为 ，与直线 的方程 联立，可得点 ，故
.将 与 联立，消去 ，整理得 ，解得 ，或
.
由点 异于点 ，可得点 .由 ，可得直线 的方程为
，令 ，
解得 ，故 .所以 .
又因为 的面积为 ，故 ，整理得 ，解得 .
O ADM ( )0,1,0m =
DE DBλ= ( )1 ,2 ,1ME MD DBλ λ λ λ= + = − − ( )2,0,0AM = −
AME ( ), ,n x y z=
( )
2 0
2 1 0
n AM x
n ME y zλ λ
⋅ = = ⋅ = + − =
1y =
20,1, 1n
λ
λ
= −
2 5cos , 5
m nm n
m n
⋅= =
1
5
λ = E BD D 1
5
( )( ),0 0F c c > 1
2e = 2a c= 3
2EH =
22 3
2
b
a
= 2 2 2a b c= +
1a = 2 3
4b =
2
2 4 13
yx + =
AP ( )1 0x my m= + ≠ l 1x = − 21,P m
− −
21,Q m
− 1x my= +
2
2 4 13
yx + = x ( )2 23 4 6 0m y my+ + = 0y =
2
6
3 4
my m
−= +
B A
2
2 2
3 4 6,3 4 3 4
m mB m m
− + −
+ +
21,Q m
− BQ
( ) 2
2 2
6 2 3 4 21 1 03 4 3 4
m mx ym m m m
− − + − + − + − = + + 0y =
2
2
2 3
3 2
mx m
−= +
2
2
2 3 ,03 2
mD m
−
+
2 2
2 2
2 3 61 3 2 3 2
m mAD m m
−= − =+ +
APD△ 6
2
2
2
1 6 2 6
2 3 2 2
m
m m
× × =+
23 2 6 2 0m m− + = 6
3m =所以 .所以，直线 的方程为 ，或 .
21.解：（Ⅰ） ，则 .令 ，得 ，所以 在
上单调递增.令 ，得 ，所以 在 上单调递减.
（Ⅱ）因为 ，所以 ，所以 的方程为 .
依题意， ， .于是 与抛物线 切于点（1，1），由 得 .所以
， ， （Ⅲ）设 ，则 恒成立，易得
.
（1）当 时，因为 ，所以此时 在（∞，+∞）上单调递增，①若 ，则当
时满足条件，此时 ；②若 ，取 且 此时
，所以 不恒成立，不满足条件；
（2）当 时，令 ，得 .由 ，得 ；由 ，得
.所以 在 上单调递减，在 上单调递增.要使得
“ ， 恒成立”，必须有：“当 时，
， ”成立.
所以 ， ，则 ， .
令 ， ，则 .令 ，得 .由 ，得 ；
由 ，得 .所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以，当 时， .从而，当 ， 时， 的最大值为 .综上， 的最大
值为 .
22.解：（1） ，即曲线 的普通方程为
.
∵ ， ， ，曲线 的方程可化为 ，即
6
3m = ± AP 3 6 3 0x y+ − = 3 6 3 0x y− − =
( ) 2xF x e xb= ( ) 2xF x e′ = ( ) 2 0xF x e′ = > ln 2x > ( )F x ( )ln 2,+∞
( ) 2 0xF x e= < ln 2x < ( )F x ( ),ln 2∞
( ) 2 1xf x e x= + ( )0 0f = l 1y =
12
a− = 1c = l ( ) 2 2g x x x b= ⋅ + 21 2 1b+ = 2b =
2a = 2b = 1c = ( ) ( ) ( ) ( )1xh x f x g x e a x b= ⋅ = ⋅ + ⋅ ( ) 0h x ≥
( ) ( )1xh x e a′ = ⋅ +
1 0a + ≤ ( ) 0h x′ > ( )h x 1 0a + = 0b <
1a b+ ≤ 1 0a + < 0 0x < 0
1
1
bx a
−< +
( ) ( ) ( )0
0 0
11 1 1 01
x bh x e a x b a ba
−= − + − < − + − =+ ( ) 0h x ≥
1 0a + > ( ) 0h x′ = ( )ln 1x a= + ( ) 0h x′ > ( )ln 1x a> + ( ) 0h x′ <
( )ln 1x a< + ( )h x ( )( ),ln 1a∞ + ( )( )ln 1 ,a + +∞
( ) ( )1xh x e a x= + 0b ≥ ( )ln 1x a= +
( ) ( )( ) ( )min 1 1 ln 1h x a a a= + + + 0b ≥
( )1b a≤ + ( ) ( )1 ln 1a a+ + ( )2 1a b a+ ≤ + ( ) ( )1 ln 1a a+ +
( ) 2 ln 1G x x x x= ⋅ ⋅ 0x > ( ) 1 lnG x x= ⋅ ( ) 0G x′ = x e= ( ) 0G x′ > 0 x e< <
( ) 0G x′ < x e> ( )G x ( )0,e ( ),e +∞
x e= ( )max 1G x e= ⋅ 1a c= ⋅ 0b = a b+ 1e⋅ a b+
1e⋅
2 2
2 22 5 cos cos sin 122 52sin
x yx
y
α α α
α
= ⇒ + = + = = 1C
2 2
120 4
x y+ =
2 2 2x yρ = + cosx ρ θ= siny ρ θ= 2C 2 2 4 2 4 0x y x y+ + − + =（2）曲线 左焦点为（-4，0）直线 的倾斜角为 ， ，
∴直线 的参数方程为 （ 为参数）将其代入曲线 整理可得 ，
∴ ，设 ， 对应的参数分别为 ， ，则∴ ， ，
∴ .
23.解：（1）当 时， ，
①当 时，不等式等价于 ，解得 ，即 ；
②当 时，不等式等价于 ，解得 ，即 ；
③当 时，不等式等价于 ，解得 ，即 ，
综上所述，原不等式的解集为
（2）由 ，即 ，得 ，
又 ，∴ ，即 ，解得
( ) ( )2 2
2 : 2 1 1C x y+ + − =
1C l 4
πα = 2sin cos 2
α α= =
l
24 2
2
2
x t
y t
= +
=
t 2C 2 3 2 4 0t t− + =
( )2
3 2 4 4 2 0= − − × = >△ A B 1t 2t 1 2 3 2t t+ = 1 2 4t t =
( ) ( )22
1 2 1 2 1 24 3 2 4 4 2AB t t t t t t= − = + − = − × =
1a = ( ) 2 3 1f x x x= − + +
2x ≥ 2 3 1 5x x− + + ≥ 3
2x ≥ 2x ≥
1 23 x− < < 2 3 1 5x x− + + ≥ 1x ≥ 1 2x≤ <
1
3x ≤ − 2 3 1 5x x− − − ≥ 1x ≤ − 1x ≤ −
{ }1 1x x x≤ − ≥或
( )0 02 2 3f x x+ − < 0 03 2 3 3x x a− + + < 0 03 6 3 3x x a− + + <
( ) ( )0 0 0 03 6 3 3 6 3 6x x a x x a a− + + ≥ − − + = + ( )( )0 0 min2 2 3f x x+ − < 6 3a + <
9 3a− < < −
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