机密★启用前
乐山市高中 2020 届第三次调查研究考试
文科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
2．已知复数 ， 在复平面内对应的点分别为 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
3．已知函数 是奇函数，且 时， ，则 （ ）．
A．2 B． C．3 D．
4．已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知向量 与向量 平行， ，且 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
6．支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问 100 名居民（男女居民各 50 名）
喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的 列联表：
支付方式
性别
支付宝支付 微信支付
男 40 10
女 25 25
附表及公式： ，
则下列结论正确的是（ ）．
{ }1,0,1,2M = − { }1,2,3N = M N∪ =
{ }1,2 { }1,0,1,2,3− { }2,0,1,2,3− { }1,0,1,2−
1z 2z ( )2, 1− ( )0, 1− 1
2
z
z
=
1 2i+ 1 2i− 2 i− + 2 i− −
( )f x 0x > ( ) 2π 1sin 2f x xx
= + ( )2f − =
2− 3−
4 6a = 3
4
4log 21b =
2.91
3c = a b c
a b c> > a c b> > b c a> > c a b> >
a ( )4,6m = ( )5,1b = − 14a b⋅ = a =
( )4,6 ( )4, 6− − 2 13 3 13,13 13
2 13 3 13,13 13
− −
2 2×
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad cbK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
( )2P K k> 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828A．在犯错的概率不超过 1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”
B．在犯错的概率超过 1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”
C．有 ％以上的把握认为“支付方式与性别有关”
D．有 ％以上的把握认为“支付方式与性别无关”
7．秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若
输入 ， ，依次输入 为 1，2，4，则输出的 的值为（ ）．
A．4 B．10 C．11 D．12
8．函数 的图象大致为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，在三棱锥 中， ， ，则其外接球的
体积为（ ）．
A． B． C． D．
10．数列 中，已知对任意 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
99.9
99.9
2x = 2n = a S
( ) 3 2sin
x
x xf x
e
−=
A BCD− 90ABC ABD CBD∠ = ∠ = ∠ = ° 1AB BC BD= = =
3π 2 π2
3 π2
π
2
{ }na n ∗∈N 1 2 3 1n
na a a+ + + = − 2 2 2
1 2 na a a+ + + =
9 1
2
n − 9 1
2
n + 9 2
2
n − 9 2
2
n +11 ． 已 知 点 是 双 曲 线 上 的 动 点 ， 点 为 圆 上 的 动 点 ， 且
，若 的最小值为 ，则双曲线 的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
12．已知点 在函数 （ 且 ， ）的图象上，直线
是函数 的图象的一条对称轴．若 在区间 内单调，则 （ ）．
A． B． C． D．
二、填空题：
13．已知函数 ，则函数 在 处的切线方程为______．
14．小王老师 2018 年的家庭总收入为 8 万元，各种用途占比统计如图①所示，2019 年收入的各种用途占比
统计如图②所示．已知 2019 年的就医费用比 2018 年增加 万元，则小王 2019 年的家庭总收入为
______．
① ②
15．已知椭圆 的左焦点为 ， 、 分别为 的右顶点和上顶点，直线 与
直线 的交点为 ，若 ，且 的面积为 ，则椭圆的标准方程为______．
16．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．有以下结论：
①数列 是等差数列；② ；③ ．
其中所有正确命题的序号是______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作
P ( )2
2
2: 1 0xC y aa
− = > M 2 2: 1O x y+ =
0OM PM⋅ = PM 3 C
6 3
3 3 5
2 5
π ,024A
( ) ( )cos 2f x xω ϕ= + 0ω > ω ∗∈N 0 πω< < π
6x =
( )f x ( )f x π π,6 3
ϕ =
π
6
π
3
π
3
5π
6
( ) 3 2 1f x x x= + − ( )f x ( )( )1, 1f
0.7
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > F A B C FB
x a= M 2BM FB= AFM△ 9 3
2
{ }na n nS ( )2 1n n na S a− =
{ }2
nS 2na n< 1 1n na a + = 3 3
4 4
4log log 1 021b = < =
2.9 01 10 13 3c < = < = a c b> >
a ( )4,6m = 3, 2a k k =
14a b⋅ = 35 142k k− + = 4k = −
( )4, 6a = − −
2 2× 40a = 10b = 25c = 25d =
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad cbK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2
2 100 1000 250 9.8950 50 65 35K
× −= ≈× × ×
6.635 9.89 10.828< <
1a = 0 2 1 1s = × + = 0 1 1k = + = 1 2k = >
2a = 1 2 2 4s = × + = 1 1 2k = + = 2 2k = >
4a = 4 2 4 12s = × + = 2 1 3k = + = 3 2k = >
S
( )f x
( ) 1 2sin11 0f e
−=
1 3 ,2x
+∈ +∞
( ) 0f x′ <
( )f x 1 30, 2
+
1 3 ,2
+ +∞ 因此，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2） ，
当 时， ，
因为 单调递减，
所以 ，
∴ 在 上单调递增，
又 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ．
当 时， ，
，∴ 单调递减，
又 ，∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∵ ，∴ ，故不存在零点．
当 时， ， ，
所以 单调递减，
又 ， ，
所以存在 ，使得 ．
当 时， ， 单调递增，
( )f x 1 30, 2
+
1 3 ,2
+ +∞
( ) 2ln 2 cosg x x x x x= + − −
( )0,1x∈ ( ) 1 2 2 sing x x xx
′ = + − +
( ) 1 2 2f x xx
′ = + −
( ) ( )1 1 2 2 sin1 1g x g′ ′> = + − + >
( )g x ( )0,+∞
( )1 1 cos1 0g = − > 1 1 1 1 1ln cos 04 4 2 16 4g = + − −
( ) 0g x′ >
( )g x π1, 2
( )1 1 cos1 0g = − > ( ) 0g x >
π ,32x ∈
( ) 1 2 2 sing x x xx
′ = + − + ( ) 2
1 2 cos 0g x xx
′′ = − − + <
( )g x′
π 02g ′ >
( ) 12 2 4 sin 2 02g′ = + − + <
0
π ,22x ∈
( )0 0g x′ =
0
π ,2x x ∈
( ) 0g x′ > ( )g x当 时， ， 单调递递减，
又 ，
， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ，故不存在零点．
综上， 存在两个零点 ， ，且 ， ，
因此， 的最小值为 3．
22．【解析】（1）消去参数 ，得到曲线 的标准方程为 ，
故曲线 的极坐标方程为 ．
（2）在极坐标系 中，设 ， ，
其中 ， ， ，
由（1）知： ， ，
则 的面积 ，
即
，
当 时， ，
所以 面积的最大值为 ．
23．【解析】（1）证明：因为 ， 为正数，所以 ，
同理可得 ， ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立．
( )0 ,3x x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x
2π π πln π 02 2 4g = + − >
( )2 ln 2 cos2 0g = − > ( )3 ln3 6 9 cos3 0g = + − − <
( )2 2,3x ∈ ( )3 0g x =
[ )3,x∈ +∞ ( ) 2 21 2 1 3 0g x x x x x x< − + − + = − + ≤
( )g x 1x 2x ( )2 0,1x ∈ ( )2 2,3x ∈
n m−
α C ( )2 22 4x y− + =
C 4cosρ θ=
Ox ( )1 0,A ρ θ 2 0
π, 4B ρ θ +
1 0ρ > 2 0ρ > 0
π π
2 2
θ− < <
1 04cosρ θ= 2 0
π4cos 4
ρ θ = +
OAB△ 1 2 0 0
1 π πsin 4 2 cos cos2 4 4S ρ ρ θ θ = = +
2
0 0 0 0 04cos 4sin cos 2cos2 2sin 2S θ θ θ θ θ= − = − +
0
π2 2 cos 2 6 24
θ = + +
0
π
8
θ = − max 2 2 2S = +
OAB△ 2 2 2+
a b 2a b ab+ ≥
2b c bc+ ≥ 2a c ac+ ≥
( )2 2 2 2a b c ab bc ac+ + ≥ + +
1a b c= = =即 ．
（2）证明：要证 ，
只要证 即可，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ， ， 时等号成立，得证．
3ab bc ac+ + ≤
9 4 12ab bc ac abc+ + ≥
1 4 9 12a b c
+ + ≥
( ) 1 4 9 36a b c a b c
+ + + + ≥
4 9 9 41 4 9 36b a a c b c
a b c a c b
+ + + + + + + + ≥
4 9 9 4 22b a a c b c
a b c a c b
+ + + + + ≥
4 2 4 4a b
b a
+ ≥ = 9 2 9 6a c
c a
+ ≥ = 9 4 2 36 12b c
c b
+ ≥ =
4 9 9 4 22b a a c b c
a b c a c b
+ + + + + ≥
1
2a = 1b = 3
2c =
微信/支付宝扫码支付