机密★启用前
乐山市高中 2020 届第三次调查研究考试
理科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B．
C． D．
2．已知复数 （ 为虚数单位， ），则“ ”是“在复平面内 所对应的点在
第一象限”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知函数 是奇函数，且 时， ，则 （ ）．
A．2 B． C．3 D．
4．已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知向量 与向量 平行， ，且 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
6．支付宝和微信已经成为如今最流行的电子支付方式，某市通过随机询问 100 名居民（男女居民各 50 名）
喜欢支付宝支付还是微信支付，得到如下的 列联表：
支付方式
性别
支付宝支付 微信支付
男 40 10
女 25 25
附表及公式： ，
{ }2,0,1M = − { }2 3N x x= ∈ − < ( ) 2π 1sin 2f x xx
= + ( )2f − =
2− 3−
4 6a = 3
4
4log 21b =
2.91
3c = a b c
a b c> > a c b> > b c a> > c a b> >
a ( )4,6m = ( )5,1b = − 14a b⋅ = a =
2 13 3 13,13 13
2 13 3 13,13 13
− −
( )4, 6− − ( )4,6
2 2×
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad cbK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +则下列结论正确的是（ ）．
A．在犯错的概率不超过 1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”
B．在犯错的概率超过 1％的前提下，认为“支付方式与性别有关”
C．有 ％以上的把握认为“支付方式与性别有关”
D．有 ％以上的把握认为“支付方式与性别无关”
7．秦九韶算法的主要功能就是计算函数多项式的值，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若
输入 ， ，依次输入 为 1，2，4，则输出的 的值为（ ）．
A．4 B．10 C．11 D．12
8．数列 中，已知对任意 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
9．双曲线 的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边
界），若点 在“右”区域内，则双曲线的离心率 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
10．已知角 的始边与 的非负半轴重合，与圆 相交于点 ，终边与圆 相交于点 ，点
在 轴上的射影为点 ， 的面积为 ，则函数 的图象大致是（ ）．
( )2P K k> 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
99.9
99.9
2x = 2n = a S
{ }na n ∗∈N 1 2 3 1n
na a a+ + + = − 2 2 2
1 2 na a a+ + + =
9 1
2
n − 9 1
2
n + 9 2
2
n − 9 2
2
n +
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > >
( )2,1 e
51, 2
51, 4
5 ,2
+∞
5 ,4
+∞
θ x 2 2: 4C x y+ = A C B B
x C ABC△ ( )S θ ( )S θA． B． C． D．
11 ． 已 知 是 球 的 内 接 三 棱 锥 ， 球 的 半 径 为 2 ， 且 ， ，
，则点 到平面 的距离为（ ）．
A． B． C． D．
12．已知函数 ， ，若函数 的所有零点依次记为 ，
， ，…， ，且 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
二、填空题：
13．已知函数 ，则函数 在 处的切线方程为______．
14．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方
形和一块平行四边形组成．如图是一块用七巧板组成的正方形，若在此正方形中任意取一点，则该点来自
于阴影部分的概率为______．
15．已知椭圆 的左焦点为 ， 、 分别为 的右顶点和上顶点，直线 与
直线 的交点为 ，若 ，且 的面积为 ，则椭圆的标准方程为______．
16．我们把一系列向量 按次序排列成一列，称之为向量列，记作 ．已知向量列
满足： ， ，设 表示向量 与 的夹角，若
，对于任意正整数 ，不等式 恒成立，则实数 的
取值范围是______．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作
A BCD− O O 4AC = 2BD =
π
3ACD ACB∠ = ∠ = A BCD
2 6
3
4 6
3
2 3
3
4 3
3
( ) π4sin 2 6f x x = −
43π0, 3x ∈
( ) ( ) 3F x f x= − 1x
2x 3x nx 1 2 3 nx x x x< < < > F A B C FB
x a= M 2BM FB= AFM△ 9 3
2
( )1,2, ,ia i n= { }ia { }ia
( )1 1,1a = ( ) ( )( )1 1 1 1
1, , 22n n n n n n na x y x y x y n− − − −= = − + ≥ n
θ 1na − na
2
πn n
nb θ= n ( )
1 2 2
1 1 1 1 log 1 22 n
n n n
ab b b+ +
+ + + > − a答．第 22、23 题为选考题，考生根据需求作答．
（一）必考题
17 ． 在 中 ， 角 、 、 所 对 的 边 分 别 为 、 、 ， 且
．
（1）求角 的值；
（2）若 ， ，求 的面积．
18．为了治理空气污染，某市设 9 个监测站用于监测空气质量指数（AQI），其中在轻度污染区、中度污染
区、重度污染区分别设有 2、4、3 个监测站，并以 9 个监测站测得的 AQI 的平均值为依据播报该市的空气
质量．
（1）若某日播报的 AQI 为 119，已知轻度污染区 AQI 平均值为 70，中度污染区 AQI 平均值为 115，求重
试污染区 AQI 平均值；
（2）如图是 2018 年 11 月份 30 天的 AQI 的频率分布直方图，11 月份仅有 1 天 AQI 在 内．
①某校参照官方公布的 AQI，如果周日 AQI 小于 150 就组织学生参加户外活动，以统计数据中的频率为概
率，求该校学生周日能参加户外活动的概率；
②环卫部门从 11 月份 AQI 不小于 170 的数据中抽取三天的数据进行研究，求抽取的这三天中 AQI 值不小
于 200 的天数的分布列和数学期望．
19．如图，在直三棱柱 中， ， ， 、 分别为 、 的
中点， 为线段 上的动点．
（1）证明： 平面 ；
（2）当二面角 的余弦值为 时，证明： ．
ABC△ A B C a b c
2 2 2cos cos sin sin sinC B A A C− = −
B
7a c+ = 13b = ABC△
[ )140,150
1 1 1ABC A B C− 1AB AC AA= = 2π
3BAC∠ = E F AB 1 1B C
G 1CC
//EF 1 1AAC C
1 1F AG C− − 21
14 1BF AG⊥20．已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线 相交于 、 两点．
（1）若点 是点 关于坐标原点 的对称点，求 面积的最小值；
（2）是否存在垂直于 轴的直线 ，使得 被以 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出 的方
程和定值；若不存在，说明理由．
21．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时，判断并说明函数 的零点个数．若函数 所有零点均在区间
内，求 的最小值．
（二）选考题
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为极点， 轴的正半
轴为极轴，建立极坐标系 ．
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）已知 、 是曲线 上任意两点，且 ，求 面积的最大值．
23．[选修 4-5：不等式选讲]
已知 ， ， 为正数，且满足 ．
（1）证明： ；
（2）证明： ．
参考答案
1．D
【解析】 ，故 ，故选 D．
2．B
【解析】在复平面内 所对应的点在第一象限，有 ， ，得 ，
故“ ”是“在复平面内 所对应的点在第一象限”的必要不充分条件，故选 B．
2: 4C y x= ( )2,0P C M N
Q P O MQN△
x l l PM l
( ) 2ln 2f x x x ax= + −
( )f x
1a = ( ) ( ) 3cosg x f x x= − ( )g x
[ ]( ), ,m n m n∈ ∈Z Z n m−
xOy C 2 2cos
2sin
x
y
α
α
= +
=
α O x
Ox
C
A B C π
4AOB∠ = OAB△
a b c 3a b c+ + =
3ab bc ac+ + ≤
9 4 12ab bc ac abc+ + ≥
{ } { }2 3 1,0,1,2N x x= ∈ − < < = −N { }2, 1,0,1,2M N∪ = − −
z 0a > 1 0a− > 0 1a< <
( )0,2a∈ z3．D
【解析】因为 是奇函数，所以 ，故选 D．
4．B
【解析】由题得 ， ，
，故有 ，故选 B．
5．C
【解析】因为向量 与向量 平行，可设 ，
由 可得 ，得 ，
所以 ，故选 C．
6．C
【解析】由 列联表得到 ， ， ， ，
代入 ，
解得 ，
因为 ，
所以有 99％以上的把握认为“支付方式与性别有关”，故选 C．
7．D
【解析】输入 时， ， ，此时 不成立；
输入 时， ， ，此时 不成立；
输入 时， ， ，此时 成立；
输出的 的值为 12，故选 D．
8．A
【解析】由 ，当 时， ，
两式相减得 ，
又 ，满足 ，则 ．
( )f x ( ) ( ) π 12 2 sin 4 32 2f f − = − = − + × = −
1
4 04 6 6 6 1a = = > = 3 3
4 4
4log log 1 021b = < =
2.9 01 10 13 3c < = < = a c b> >
a ( )4,6m = 3, 2a k k =
14a b⋅ = 35 142k k− + = 4k = −
( )4, 6a = − −
2 2× 40a = 10b = 25c = 25d =
( )
( )( )( )( )
2
2 n ad cbK a b c d a c b d
−= + + + +
( )2
2 100 1000 250 9.8950 50 65 35K
× −= ≈× × ×
6.635 9.89 10.828< <
1a = 0 2 1 1s = × + = 0 1 1k = + = 1 2k = >
2a = 1 2 2 4s = × + = 1 1 2k = + = 2 2k = >
4a = 4 2 4 12s = × + = 2 1 3k = + = 3 2k = >
S
1 2 3 1n
na a a+ + + = − 2n ≥ 1
1 2 1 3 1n
na a a −
−+ + + = −
( )12 3 2n
na n−= × ≥
1 2a = 12 3n
na −= × 12 3n
na −= ×所以数列 是首项为 ，公比 的等比数列，
则 是首项为 ， 的等比数列，
故 ，故选 A．
9．C
【解析】双曲线的渐近线为 ，且“右”区域是由不等式组 所确定，
又点 在“右”区域内，于是有 ，即 ，
因此双曲线的离心率 ，故选 C．
10．A
【解析】由题知点 ，点 ，
则 ，故排除 A、B，
又因为当 时， ，故选 A．
11．B
【解析】由题意知 ， ， ， 四点都落在球面上，且 为直径，
所以 的中点即为球心 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
又知 ，所以 为正三角形，取 中心 ，
则 面 ，
所以 ， ，
因为 ，所以 ．
{ }na 1 2a = 3q =
{ }2
na 2
1 4a = 2 9q =
( )2 2 2
1 2
4 1 9 9 1
1 9 2
n n
na a a
− −+ + + = =−
by xa
= ±
by xa
by xa
−
( )2,1 21 b
a
< 1
2
b
a
>
2 51 ,2
be a
= + ∈ +∞
( )2,0A ( )2cos ,2sinB θ θ
( ) ( )1 1 2 2cos 2 sin 02 2S AC BCθ θ θ= × ⋅ = − ⋅ ≥
3π
4
θ = ( ) 2S θ >
A B C D AC
AC O π
2ADC ABC∠ = ∠ =
4AC = π
3ACD ACB∠ = ∠ = 2BC CD= =
2BD = BCD△ BCD△ H
OH ⊥ BCD
OH HC⊥ 2 3
3CH =
2OC = 2 6
3OH =又因为 中点为 ，
所以点 到平面 的距离为点 到平面 的 2 倍，即距离为 ，故选 B．
12．A
【解析】函数 ，
令 ，得 ， ，
即 的对称轴方程为 ， ，
因为 的最小正周期为 ， ，
当 时，可得 轴右侧第一条对称轴为 ，
当 时， ，所以 在 上有 28 条对称轴，
根据正弦函数性质可知，函数 与 的交点有 29 个，
且 ， 关于 对称， ， 关于 对称，…，
即 ， ，…， ，
以上各式相加得： ，
故选 A．
13．
【解析】因为 ，则 ，得 ，
则 ，
故切线方程为 ，即 ．
AC O
A BCD O BCD 4 6
3
( ) π4sin 2 6f x x = −
π π2 π6 2x k− = + 1 ππ2 3x k= + k ∈Z
( )f x 1 ππ2 3x k= + k ∈Z
( )f x πT = 43π0 3x≤ ≤
0k = y π
3x =
28k = 43π
3x = ( )f x 43π0, 3
( ) π4sin 2 6f x x = = 3y =
1x 2x π
3 2x 3x 5π
6
1 2
2π 26x x+ = × 2 3
5π 26x x+ = × 28 29
83π 26x x+ = ×
1 2 3 28 29
2π 5π 83π 1190π2 2 2 2 6 6 6 3x x x x x + + + + + = + + + =
3 3 0x y+ + =
( ) ( )23 2 1f x x f′ ′= + ( ) ( )1 3 2 1f f′ ′= + ( )1 3f ′ = −
( ) ( )1 1 2 3 6f = + × − = −
( ) ( )6 3 1y x− − = − − 3 3 0x y+ + =14．
【解析】设拼成的正方形得面积为 1，
由图知，最大的三角形面积为 ，最小的三角形面积为 ，
平行四边形的面积是最小三角形面积的 2 倍，
由此可得阴影部分的面积为 ，则所求的概率为 ．
15．
【解析】由 ，且 （ 为坐标原点），
得 ，所以 ， ， ，
又因为 ，解得 ，
所以 ， ，故椭圆的标准方程为 ．
16．
【解析】
，
所以 ，故 ， ，
令 ，
则
3
8
1
4
1
16
3
8
3
8
2 2
14 3
x y+ =
2BM FB= //OB AM O
1
3
OF OB
AF AM
= = 2a c= 3AM b= 3b c=
( )1 9 332 2AFMS a c b= + × =△ 1c =
2a = 3b =
2 2
14 3
x y+ =
( )0, 2 1−
1
1
cos n n
n
n n
a a
a a
θ −
−
⋅=
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 1 1
2 2
2 2
1 1 1 1 2 1
1 1, ,2 2
1 1
2 2
n n n n n n
n n n n n n
x y x y x y
x y x y x y
− − − − − −
− − − − − −
⋅ − + =
+ − + +
2 2
1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
1 1
22 2
21 1
2 2
n n
n n n n
x y
x y x y
− −
− − − −
+
= =
+ +
π
4n
θ =
2
4n
nb =
1 2 2
1 1 1 2 2 2
1 2 2n n nb b b n n n+ +
+ + + = + + ++ +
( ) 2 2 2
1 2 2f n n n n
= + + ++ +
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 21 2 3 2 1 1 2 2f n f n n n n n n n
+ − = + + + − + + + + + + + + ，
所以 单调递增，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
解得 ，
综上所述， ．
17．【解析】（1）由 得
，
由正弦定理得 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）由（1）得 ，
即 ，所以 ，即 ，
所以 ．
18．解：（1）设重度污染区 AQI 平均值为 ，
则 ，解得 ．
（2）①AQI 在 上的有 天，
AQI 在 上的有 天，
AQI 在 上的有 天，
所以 11 月份 AQI 不小于 150 天的共 天．
即能参加户外活动的概率为 ．
②AQI 不小于 170 天的共 7 天，不小于 200 天的共 2 天， 的所有可能取值为 0，1，2．
， ， ，
2 2 02 1 2 2n n
= − >+ +
( )f n ( ) ( )min 1 1f n f= = ( )11 log 1 22 n a> −
1 2 0a− > 10 2a< < 21 2a a− >
1 2 1 2a− − < < − +
( )0, 2 1a∈ −
2 2 2cos cos sin sin sinC B A A C− = −
2 2 2sin sin sin sin sinB C A A C− = −
2 2 2b c a ac− = − 2 2 2a c b ac+ − =
2 2 2 1cos 2 2
a c bB ac
+ −= =
0 πB< < π
3B =
2 2 2 2 22 cosb a c ac B a c ac= + − = + −
2 2 13a c ac+ − = ( )2 3 13a c ac+ − = 12ac =
1 1 3sin 12 3 32 2 2ABCS ac B= = × × =
x
119 9 70 2 115 4 3x× = × + × + 157x =
[ )140,170 8 30 30 8900
× × =
[ )170,200 5 30 30 5900
× × =
[ )200,230 2 30 30 2900
× × =
8 5 2 1 14+ + − =
14 81 30 15P = − =
x
( ) 8
3
8
7
20 7
CP x C
= = = ( ) 2 1
3 2
3
7
41 7
C CP x C
= = = ( ) 1 2
3 2
3
7
12 7
C CP x C
= = =0 1 2所以 的分布列为
则 ．
19．【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 、 ，
因为 、 分别为 、 的中点，
所以 ， ， ， ，
所以平面 平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）不妨设 ，
由余弦定理得 ，
如图建立空间直角坐标系 ，
设 ， ， ， ，
所以 ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ， ，
则 ，得 ，
xx
P 2
7
4
7
1
7
2 4 1 60 1 27 7 7 7EX = × + × + × =
BC M EM FM
E F AB 1 1B C
//EM AC 1//MF CC EM MF M∩ = 1AC CC C∩ =
//EMF 1 1AAC C
EF ⊂ EMF EF ⊄ 1 1AAC C
//EF 1 1AAC C
1 1AB AC AA= = =
1 1 3B C =
1A xyz−
( )0,1,G h 1
3 1, ,02 2B
−
3 1, ,12 2B
−
( )1/C 0,1,0EF
3 1, ,04 4F
1A FG ( ), ,m x y z=
( )1 0,1,AG h=
1
3 1, ,04 4A F
=
1
1
0
0
AG m
A F m
⋅ = ⋅ =
0
3 1 04 4
y hz
x y
+ = + =可取 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
所以 ，解得 ，
此时 ， ，
所以 ，即 ．
20．【解析】依题意，点 的坐标为 ，可设 ， ，
直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
则 ， ，
所以 ，
即当 时， 面积的最小值为 ．
（2）假设满足条件的直线 存在，其方程为 ，
则以 为直径的圆的方程为 ，
将直线 代入，得 ，
则 ，
设直线 与以 为直径的圆的交点为 ， ，
则 ， ，
于是有
，
当 ，即 时， 为定值．
故满足条件的直线 存在，其方程为 ．
21．【解析】（1） 的定义域为 ，
( ), 3 , 3m h h= −
1 1AGC ( )1,0,0n =
2
21cos , 144 3
m n hm n m n h
⋅= = =⋅ +
3
4h =
3 3, , 14 4BF
= − −
1
30,1, 4AG =
1 0BF AG⋅ =
1BF AG⊥
Q ( )2,0Q − ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
MN 2x my= +
2
2
4
x my
y x
= +
=
2 4 8 0y my− − =
1 2 4y y m+ = 1 2 8y y⋅ = −
( )2 2
1 2 1 2 1 2
1 4 2 4 2 16 32 8 22MQNS y y y y y y m= × × − = + − = + ≥△
0m = MQN△ 8 2
l x a=
PM ( )( ) ( )1 12 0x x x y y y− − + − =
x a= ( )( )2
1 12 0y y y a a x− + − − =
( )( ) ( ) ( )2
1 1 14 2 4 1 2 0y a a x a x a a∆ = − − − = − + − >
l PM ( )3,A a y ( )4,B a y
3 4 1y y y+ = ( )( )3 4 12y y a a x⋅ = − −
( ) ( )3 4 14 1 2AB y y a x a a= − = − + −
( ) ( )12 1 2a x a a= − + −
1 0a − = 1a = 2AB =
l 1x =
( ) 2ln 2f x x x ax= + − ( )0,+∞，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，所以 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 或 （舍）．
当 时， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增．
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）当 时， ，
当 时， 单调递增，
， ，
则 ，故不存在零点．
当 时， ，
在 上单调递减，
所以 ， ，
所以 ，所以 单调递增．
又 ， ，
( ) 21 2 2 12 2 ax xf x axx x
− + +′ = + − =
0a = ( ) 2 1 0xf x x
+′ = > ( )f x ( )0,+∞
0a < ( )f x ( )0,+∞
0a > 22 2 1 0ax a− + + = 1 1 2
2
ax a
+ += 1 1 2
2
ax a
− +=
1 1 20, 2
ax a
+ +∈
( ) 0f x′ >
1 1 2 ,2
ax a
+ +∈ +∞
( ) 0f x′ <
( )f x 1 1 20, 2
a
a
+ +
1 1 2 ,2
a
a
+ + +∞
0a ≤ ( )f x ( )0,+∞
0a > ( )f x 1 1 20, 2
a
a
+ +
1 1 2 ,2
a
a
+ + +∞
1a = ( ) 2ln 2 3cosg x x x x x= + − −
( ]0,1x∈ ( ) 2ln 2f x x x x= + −
( ) ( )1 1f x f≤ = π 33cos 3cos1 3cos 3 2x ≥ > =
( ) 0g x <
π1, 2x ∈
( ) 1 2 2 3sing x x xx
′ = + − +
( ) 1 2 2f x xx
′ = + − π1, 2
( ) π 2 2 π2 πf x f ′ ′≥ = + −
π 33sin 3sin1 3sin 6 2x > > =
( ) 2 32 π 0π 2g x′ > + − + > ( )g x
( )1 1 3cos1 0g = − <
2π π πln π 02 2 4g = + − > 所以存在唯一的 ，使得 ．
当 时， ， ，
所以 单调递减，
又 ， ，
所以存在 ，使得 ，
当 ， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减；
又 ， ．
因此， 在 上恒成立，故不存在零点．
当 时， ，
所以 单调递减，
因为 ，所以 ， 单调递减．
又 ， ，
所以存在唯一的 ，使得 ，
当 时， ，故不存在零点．
综上， 存在两个零点 ， ，且 ， ，
因此 的最小值为 3．
22．【解析】（1）消去参数 ，得到曲线 的标准方程为 ，
故曲线 的极坐标方程为 ．
1
π1, 2x ∈
( )1 0g x =
π ,π2x ∈
( ) 1 2 2 3sing x x xx
′ = + − + ( ) 2
1 2 3cos 0g x xx
′′ = − − + <
( )g x′
π 2 2 π 3 02 πg ′ = + − + >
( ) 1π 2 2π 0πg′ = + − <
0
π ,π2x ∈
( )0 0g x′ =
0
π ,2x x ∈
( )0 0g x′ > ( )g x
( ]0 ,πx x∈ ( )0 0g x′ < ( )g x
π 02g >
( ) 2π ln π 2π π 3 0g = + − + >
( ) 0g x > π ,π2x ∈
( ]π,4x∈ ( ) 2
1 2 3cos 0g x xx
′′ = − − + <
( )g x′
( )π 0g′ < ( ) 0g x′ < ( )g x
( )π 0g > ( )4 ln 4 8 16 3cos4 0g = + − − <
( ]2 π,4x ∈ ( )2 0g x =
( )4,x∈ +∞ ( ) 2 21 2 3 3 2 0g x x x x x x< − + − + = − + + <
( )g x 1x 2x 1
π1, 2x ∈
( ]2 π,4x ∈
n m−
α C ( )2 22 4x y− + =
C 4cosρ θ=（2）在极坐标系 中，设 ， ，
其中 ， ， ，
由（1）知： ， ，
则 的面积 ，
即
，
当 时， ，
所以 面积的最大值为 ．
23．【解析】（1）证明：因为 ， 为正数，所以 ，
同理可得 ， ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立．
即 ．
（2）证明：要证 ，
只要证 即可，
即证 ，
即证 ，
即证 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ， ， 时等号成立，得证．
Ox ( )1 0,A ρ θ 2 0
π, 4B ρ θ +
1 0ρ > 2 0ρ > 0
π π
2 2
θ− < <
1 04cosρ θ= 2 0
π4cos 4
ρ θ = +
OAB△ 1 2 0 0
1 π πsin 4 2 cos cos2 4 4S ρ ρ θ θ = = +
2
0 0 0 0 04cos 4sin cos 2cos2 2sin 2S θ θ θ θ θ= − = − +
0
π2 2 cos 2 6 24
θ = + +
0
π
8
θ = − max 2 2 2S = +
OAB△ 2 2 2+
a b 2a b ab+ ≥
2b c bc+ ≥ 2a c ac+ ≥
( )2 2 2 2a b c ab bc ac+ + ≥ + +
1a b c= = =
3ab bc ac+ + ≤
9 4 12ab bc ac abc+ + ≥
1 4 9 12a b c
+ + ≥
( ) 1 4 9 36a b c a b c
+ + + + ≥
4 9 9 41 4 9 36b a a c b c
a b c a c b
+ + + + + + + + ≥
4 9 9 4 22b a a c b c
a b c a c b
+ + + + + ≥
4 2 4 4a b
b a
+ ≥ = 9 2 9 6a c
c a
+ ≥ = 9 4 2 36 12b c
c b
+ ≥ =
4 9 9 4 22b a a c b c
a b c a c b
+ + + + + ≥
1
2a = 1b = 3
2c =
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