四川省广元市2020届高三数学（文）第三次适应性试题（Word版附答案）

广元市高 2020 届第三次高考适应性统考 数学试卷（文史类） 一、选择题 1．若 （其中 是虚数单位），则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 ， ，则 在 方向上的投影为（ ） A． B． C． D． 3．已知集合 ， ，下列命题为假命题的是（ ） A． B． C． D． 4．已知在 中，内角 所对的边长分别是 ，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图，在四棱锥 中，底面为梯形， ， ， ， 分别为棱 的中点，则（ ） A． ，且直线 是共面直线 B． ，且直线 是异面直线 C． ，且直线 是异面直线 D． ，且直线 是共面直线 6．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数书九章》中的“中国剩余定理”.执行该程序框图， 则输出的 为（ ） 2 1 iz i = + i z = 1 2 2 4 ( )2, 3a = ( )1, 3b = a b 5 7 7 1 2 7 7 5 2 { }2 2 8A x x x= − ≤ { }2,0B = − 0 0,x A x B∃ ∈ ∈ 0 0,x B x A∃ ∈ ∈ ,x A x B∀ ∈ ∈ ,x B x A∀ ∈ ∈ ABC△ , ,A B C , ,a b c sin sinA B= b a= P ABCD− AD BC 3AD = 6BC = ,E F ,PB PC AE DF≠ ,AE FD AE DF≠ ,AE FD AE DF= ,AE FD AE DF= ,AE FD nA． B． C． D． 7．中国农业银行广元分行发行“金穗广元·剑门关旅游卡”是以“游广元、知广元、爱广元共享和谐广元” 为主题活动的一项经济性和公益性相结合的重大举措，以最优惠的价格惠及广元户籍市民、浙江及黑龙江 授建省群众、省内援建市市民，凡上述对象均可办理此卡，本人凭此卡及本人身份证一年内（期满后可重 新充值办理）在广元市范围内可无限次游览所有售门票景区景点，如：剑门关、朝天明月峡、旺苍鼓城山— 七里峡、青川唐家河、广元皇泽寺、苍溪梨博园、昭化古城等，现有浙江及黑龙江援建省群众甲乙两人到 广元旅游（同游）,第一天他们游览了剑门关、朝天明月峡，第二天他们准备从上面剩下的 5 个景点中选两 个景点游览，则第二天游览青川唐家河的概率是（ ） A． B． C． D． 8．设函数 ，则函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 9．若 ， ， ，则实数 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 50 53 59 62 4 25 1 5 2 5 2 3 ( ) 24 x xf x e = ( )f x 2log 0.3a = 0.3 2b = 20.3c = , ,a b c a b c> > a c b> > b a c> > b c a> >10．已知 为坐标原点，双曲线 ，过双曲线 的左焦点 作双曲线两条渐近线的平 行线，与两渐近线的交点分别为 ，若四边形 的面积为 ，则双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．如果关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．函数 对任意的 都有 ，且 时 的最大值为 ，下列四个结论：① 是 的一个极值点；②若 为奇函数，则 的最小正周期 ；③若 为偶函数，则 在 上单调递增；④ 的取值范围是 .其中一定正确 的结论编号是（ ） A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 二、填空题 13．设实数 满足约束条件 ，则 的最大值为______. 14．若 ，且 ，则 的值为______. 15．抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于不同的 两点，且 ，则 ______. 16．如图，二面角 满足半平面 ，半平面 内有一点 （不在 上），半平面 内有一点 （不在 上）， 在直线 的射影分别为 （ 不重合）， ， ，则三棱锥 外接球的表面积为______. O ( )2 2 2: 1 0xC y aa − = > C F ,A B OAFB 1 C 2 2 2 2 5 2 x 3 2 1 0x ax− + ≥ [ ]1,2− a 3 2 2a ≤ 2a ≤ 1a ≤ 0a ≤ ( ) ( )( )sin 0f x A xω ϕ ω= + > x R∈ ( ) ( )2f x f a x= − 0a < a 5 π− 5x π= − ( )f x ( )f x ( )f x 4 5T π= ( )f x ( )f x ,05 π −   ω ( )0,5 ,x y 0 2 0 1 0 x y x y y − ≥  − ≤  − ≤ 3z x y= − 2cos2 cos 4 πθ θ = +   ,2 πθ π ∈   sin 2θ 2: 4C y x= F ( )( )2 0y k x k= − > C ,A B 2 5 AF BF = k = lα β− − α β⊥ α A l β C l ,A C l ,B D ,B D 1AB CD= = 3BD = A BCD−三、解答题 17．记 为各项均为正数的等比数列 的前 项和，已知 ， ，记 ， 其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ， . （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 的前 项和 . 18．广元市某校高三数学备课组为了更好地制定二轮复习的计划，开展了试卷讲评后效果的调研，从上学 期市一诊考试数学试题中选出一些学生易错题，重新进行测试，并认为做这些题不出任何错误的同学为“过 关”，出了错误的同学为“不过关”，现随机抽查了年级 人，他们的测试成绩的频数分布如下表： 市一诊分数段 人数 5 10 15 13 7 “过关”人数 1 3 8 8 6 （Ⅰ）由以上统计数据完成如下 列联表，并判断是否有 的把握认为市一诊数学成绩不低于 分 与测试“过关”有关？说明你的理由； 分数低于 分人数 分数不低于 分人数 合计 “过关”人数 “不过关”人数 合计 （Ⅱ）根据以上数据估计该校市一诊考试数学成绩的中位数.下面的临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.025 2.072 2.706 3.841 5.024 19．如图，在矩形 中， ， 为边 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且使平面 平面 . nS { }na n 1 11 8a = 3 2 12 13S S a+ = [ ]2logn nb a= [ ]x x [ ]0.9 0= 4 13   =   [ ]2 2= { }na { }nb n nT 50 [ )0,30 [ )30,60 [ )60,90 [ )90,120 [ ]120,150 2 2× 95% 90 90 90 ( )2P K k≥ k ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ABCD 2 2AB AD= = E CD EB CEB△ C P PEB ⊥ ABED（Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）求三棱锥 的体积. 20．已知函数 . （Ⅰ）函数 ，讨论 的单调性； （Ⅱ）函数 的图象在点 处的切线为 ，证明：有且只有两个点 使得直线 与函数 的图象也相切. 21．已知椭圆 ，点 ，直线 分别交椭圆 于点 （ 与 不重合）. （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若以点 为圆心的圆与直线 相切，且切点为线段 的中点，求该圆的方程. 22．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 过原点且倾 斜角为 ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线 和直线 的极坐标方程； （Ⅱ）若直线 与曲线 相交于不同的两点 ，求 的取值范围. 23．已知 都是实数， ，函数 . （Ⅰ）若 ，求实数 的取值范围； （Ⅱ）若 对满足条件的所有 都成立，求实数 的取值范围. 广元市高 2020 届第三次高考适应性统考 数学（文史类）参考答案 一、选择题 PB AE⊥ A PED− ( ) lnf x x= ( ) ( )21 22t x x af x= + ( )t x ( ) ( )3 0g x x x= > P l P l ( )f x 2 2: 12 xC y+ = ( )0,1P 1 3y kx= − C ,A B ,A B P PA PB⊥ 10, 9E      AB AB xOy 1C 2 cos 2 2 sin x y β β  = = + β l α x 1C l l 1C ,A B OB OA OA OB + ,a b 0a ≠ ( ) 1 2 3f x x x= + + − ( ) 1f x > x ( )5 22 a b a b a f t+ + − ≥ ,a b t1．C 2．D 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．B 10．A 11．D 12．A 二、填空题 13． 14． 15． 16． 三、解答题 17．解：（Ⅰ）因为： ，所以： . 所以： .解得： 或 （舍）. 所以： . （Ⅱ）根据题意有： . 因为： ，所以： . 所以：数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列. 所以 . 18．解：（Ⅰ）根据题意得 列联表如下： 分数低于 分人数 分数不低于 分人数 合计 “过关”人数 12 14 26 “不过关”人数 18 6 24 合计 30 20 50 所以： . 因此有 的把握认为期末数学成绩不低于 分与测试“过关”有关. （Ⅱ）设该市一诊考试数学成绩的中位数为 . 市一诊分数段 人数 5 10 15 13 7 频率 0.1 0.2 0.3 0.26 0.14 5 7 8 − 2 5π 3 2 12 13S S a+ = 3 2 13 10 0a a a+ − = 2 3 10 0q q+ − = 2q = 5q = − ( )1 4 *11 2 11 28 n n na n N− −= × = ⋅ ∈ [ ] ( ) [ ]4 2 2 2log log 11 2 4 log 11n n nb a n− = = ⋅ = − +  23 log 11 4< < [ ]24 log 11 4 3 1nb n n n= − + = − + = − { }nb 0 1 ( ) ( )2 *0 1 2 2n n n n nT n N + − −= = ∈ 2 2× 90 90 ( )2 2 50 12 6 18 14 225 4.327 3.84126 24 30 20 52K × × − ×= = ≈ >× × × 95% 90 x [ )0,30 [ )30,60 [ )60,90 [ )90,120 [ ]120,150根据题意有： ， 解得： . 所以：该校市一诊考试数学成绩的中位数为 分. 19．解：（Ⅰ）因为 ，所以： ， 又因为： ，所以： . 因为：面 面 且面 面 ， 所以： 面 . 所以： . （Ⅱ）取线段 的中点 ，连接 ，如图所示： 因为 ，且 为线段 的中点. 所以： 且 . 又因为：面 面 且面 面 ， 所以： 面 . 所以：三棱锥 的体积 . 20．解：（Ⅰ）因为： ，所以： . 所以：①当 即 时： 在 增； ②当 即 时：令 有： ， 所以： 在 减，在 增. （Ⅱ）设 . 因为： ，所以： . 所以直线 的方程为： ，即： ①. ( ) 0.30.1 0.3 60 0.530x+ + − × = 80x = 80 1BC CE ED AD= = = = 2AE BE= = 2AB = AE BE⊥ PEB ⊥ ABED PEB  ABED BE= AE ⊥ PEB PB AE⊥ BE F PF 1PE PB= = F BE PF BE⊥ 2 2PF = PEB ⊥ ABED PEB  ABED BE= PF ⊥ AED A PED− 1 1 1 2 21 13 3 2 2 12AEDV S PF= ⋅ = × × × × =△ ( ) 21 2 ln2t x x a x= + ( ) 22 2a x at x x x x +′ = + = 2 0a ≥ 0a ≥ ( )t x ( )0,+∞ 2 0a < 0a < ( ) 0t x′ ≥ 2x a≥ − ( )t x (0, 2a−  )2 ,a − +∞ ( )( )3 0 0 0, 0P x x x > ( ) 23g x x′ = ( ) 2 0 03g x x′ = l ( )3 2 0 0 03y x x x x− = − 2 3 0 03 2y x x x= −假设直线 与 的图象也相切，切点为： . 因为 ，所以： . 所以直线 的方程也可以写作为： . 又因为： ，即： . 所以直线 的方程为： ，即： ②. 由①②有： ，即： . 令： ， 所以： . 令 ，得： ， 所以： 在 减，在 增. 所以： ， 又因为：当 时， ；当 时， . 所以： 在 有且只有两个实数根. 所以：有且只有两个点 使得直线 与函数 的图象也相切. 21．解：（Ⅰ）根据题意有：直线 、 斜率均存在.设 、 联立： ，有： ， 所以： ， . l ( )f x ( )1 1,lnx x ( ) 1f x x ′ = ( )1 1 1f x x ′ = l ( )1 1 1 1lny x x xx − = − 2 0 1 13x x = 1 2 0 1 3x x = l 2 02 2 0 0 1 1ln 33 3y x xx x  − = −    2 0 03 2ln ln3 1y x x x= − − − 3 0 02ln ln3 1 2x x− − − = − 3 0 0 32 2ln 1 ln 0x x− − − = ( ) ( )3 0 0 0 02 2ln 1 ln3 0 0m x x x x= − − − = > ( ) 2 0 0 0 26m x x x ′ = − ( ) 2 0 0 0 26 0m x x x ′ = − ≥ 30 1 3x ≥ ( )0m x 3 10, 3      3 1,3  +∞   ( ) 3 30 min 1 1 1 1 12 2ln 1 ln3 ln3 03 3 3 3 3m x m  = = × − − − = − − △ 21 sin 12 α< ≤ ( )1,A ρ α ( )2 ,B ρ α 2 1 2 4sinρ ρ α+ = 1 2 2ρ ρ = 2 2 2 22 1 2 1 1 2 1 2 16sin 4 8sin 22 OB OA OA OB ρ ρ ρ ρ α αρ ρ ρ ρ + −+ = + = = = − 21 sin 12 α< ≤ 22 8sin 2 6α< − ≤ OB OA OA OB + ( ]2,623．解：（Ⅰ）因为： （ 时取等）. 因为： .所以： . （Ⅱ）由： ，有： ， 即： . 因为： （ 时取等）， 所以： .即： . 即： 或 或 . 解得： 或 或无解，所以： . ( ) 3 3 51 2 3 1 2 12 2 2f x x x x x x x= + + − = + + − ≥ + + − ≥ 3 2x = 5 12 > x R∈ ( )5 22 a b a b a f t+ + − ≥ ( ) 5 22 a b a b f t a + + − ≤ ( ) min 5 22 a b a b f t a  + + −   ≤     5 5 52 2 32 2 2 2 2 3 a aa b a b a b b a b b a a a a a + + − + + − + + − = ≥ ≥ = 2a b= ( ) 3f t ≤ 1 2 3 3t t+ + − ≤ 3 2 3 2 3 t t  ≥  − ≤ 31 2 4 3 t t − <