2020 届高三模拟考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分 150 分．考试用时 120 分钟．考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置
上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出对数型复合函数的定义域得集合 ，结合指数函数的值域求得集合 ，再根据并集概念
求得交集．
【详解】由题意 ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题考查集合的并集运算，掌握对数函数和指数函数的性质是解题关键．
2.已知 是虚数单位， 是关于 的方程 的一个根，则
（ ）
A. 4 B. C. 2 D.
【答案】A
{ | lg( 1)}A x y x= = + { }| 2 ,xB y y x= = − ∈R A B =
( 1,0)− ( 1, )− +∞ R ( ,0)−∞
A B
{ | 1 0} { | 1} ( 1, )A x x x x= + > = > − = − +∞ { | 0} ( ,0)B y y= < = −∞
A B R=
i 1i − x 2 0( , )x px q p q+ + = ∈R p q+ =
4− 2−【解析】
【分析】
根据实系数方程的虚数根成对出现得出另一个根，然后由韦达定理求出 ，
【详解】∵ 是关于 的方程 的一个根，∴方程的另一根为 ，
∴ ， ， ，∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查实系数方程的复数根问题，需掌握下列性质：实系数方程的虚数根成对出
现，它们是共轭复数．
3.“ ”是“ 为第二或第三象限角”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
求出 时 的范围后，再根据充分必要条件的概念判断．
【详解】 时， 是第二或第三象限角或终边在 轴负半轴，因此题中就是必要不充
分条件．
故选：B．
【点睛】本题考查充分必要条件，掌握充要条件和必要条件的定义是解题基础．
4.2013 年 5 月，华人数学家张益唐的论文《素数间的有界距离》在《数学年刊》上发表，破
解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存在无穷
多差小于 7000 万的素数对．这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素数对．孪生
素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题中的第 8 个，可以这样描述：存在无穷多个
素数 ，使得 是素数，素数对 称为孪生素数．在不超过 16 的素数中任意取出
不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
,p q
1i − x 2 0( , )x px q p q+ + = ∈R 1 i− −
1 ( 1 )i i p− + + − − = − 2p = ( 1 )( 1 ) 2q i i= − + − − = 4p q+ =
cos 0θ < θ
cos 0θ < θ
cos 0θ < θ x
p 2p + ( , 2)p p +
1
10
4
21
4
15
1
5【分析】
用列举法写出所有基本事件即可得概率．
【详解】不超过 16 的素数有 2,3，5,7，11,13 共 6 个，任取 2 个的基本事件有：
，共 15 个，其中可组成孪生素数 有 共 3 个，∴所求概率为
．
故选：D．
【点睛】本题考查古典概型，解题关键是写出所有的基本事件．
5.已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 对称
C. 在 上单调递增 D. 是 的一个极值点
【答案】D
【解析】
【分析】
结合正弦函数性质判断．
【详解】∵ ，
∴最小正周期为 ，A 错；
，∴ 不是函数 图象的对称中心．B 错；
时， ， 递减，C 错；
是函数的最大值，∴ 是 的一个极值点，D 正确．
故选：D．
【点睛】本题考查正弦型复合函数的性质，掌握正弦函数的性质是解题关键．
的
(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13)
(3,5),(5,7),(11,13)
3 1
15 5P = =
( ) sin 2 3f x x
π = −
( )f x 2π ( )f x ,03
π
( )f x 11,2 12
π π
5
12
π
( )f x
( ) sin 2 3f x x
π = −
2
2T
π π= =
π π 3( ) sin(2 )3 3 3 2f
π = × − = ( ,0)3
π
( )f x
11( , )2 12x
π π∈ 2 32 ( , )3 3 2x
π π π− ∈ ( )f x
5 5( ) sin(2 ) 112 12 3f
π π π= × − = 5
12
π
( )f x6.已知 ，若 ， ，则 （ ）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数换底公式求出 ，然后结合 可求得 ，从而得 ．
【详解】∵ ，∴ ，解得 或 ，
若 ，则 ，代入 得 ， ，又 ，∴ ，
则 ，不合题意；
若 ，则 ，即 ，代入 得 ，∴ ，又
，∴ ，则 ，
综上 ，∴ ．
故选：B．
【点睛】本题考查对数的换底公式，对数的运算和指数的运算．本题解题时注意分类讨论．
7.函数 图象大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
确定函数的奇偶性，然后研究函数值的正负，得出正确选项．
的
0a b> > 5log log 2a bb a+ = b aa b= a
b
=
2 2 2
loga b b aa b= ,a b a
b
5log log 2a bb a+ = 1 5log log 2a
a
b b
+ = log 2a b = 1log 2a b =
log 2a b = 2b a= b aa b= 2 2 2( )a a aa a a= = 2 2a a= 0a > 2a =
22 4b = =
1log 2a b = 1
2b a= 2a b= b aa b= 22 2( )b b bb b b= = 22b b=
0b > 2b = 2 4a b= =
4, 2a b= = 2a
b
=
6cos( ) 2 sin
xf x x x
= −【详解】由已知 ，函数的定义域关于原点对
称，∴ 是奇函数，可排除 C；
设 ，则 ， 单调递增， ，∴ 时，
，当 时， ， ，排除 D；
由上分析， 时， ，∴ 与 的符号相反，有正有负，排除 B；
故选：A．
【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法一般是用排除法，通过研究函数的
性质如奇偶性、单调性等，研究函数图象的特殊点，特殊的函数值，函数值的正负以及函数
值的变化趋势等，排除错误的选项，得出正确选项．
8.已知点 是函数 图象上的动点，则 的最小值是（ ）
A. 25 B. 21 C. 20 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
函数 图象是半圆， 可表示为 到直线
的距离的 5 倍，利用圆心到直线的距离求出 到直线距离的最小值后可得结论．
【详解】函数 图象是半圆，圆心为 ，半径为 ，如图，作直线
， 到直线 的距离为 ，∴ 到
直线 的距离为 ，其最小值为 ，∴
的最小值为 ．
故选：C．
6cos( ) 6cos( ) ( )2 sin( ) 2 sin
x xf x f xx x x x
−− = = − = −− − − −
( )f x
( ) 2 sing x x x= − ( ) 2 cos 0g x x′ = − > ( )g x (0) 0g = 0x >
( ) 0>g x (0, )2x
π∈ cos 0x > ( ) 0f x >
0x < ( ) (0) 0g x g< = ( )f x cos x
( , )P m n 2 2y x x= − − | 4 3 21|m n+ −
2 2y x x= − − | 4 3 21|m n+ − ( , )P m n 4 3 21 0x y+ − =
P
2 2y x x= − − ( 1,0)C − 1r =
4 3 21 0x y+ − = C 4 3 21 0x y+ − =
2 2
4 0 21 5
4 3
d
− + −= =
+ ( , )P m n
4 3 21 0x y+ − = 4 3 21
5
m nd
+ −′ = 5 1 4− = 4 3 21m n+ −
5 4 20× =【点睛】本题考查最值问题，解题方法是利用绝对值的几何意义求解，函数图象是半圆，
与点到直线的距离联系，是点 到直线 的距离的 5 倍，
这样把代数问题转化为几何问题求解．
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0
分．
9.2019 年 4 月 23 日，国家统计局统计了 2019 年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘制
了饼图（如图），则下列说法正确的是（ ）
A. 第一季度居民人均每月消费支出约为 1633 元
B. 第一季度居民人均收入为 4900 元
| 4 3 21|m n+ − ( , )P m n 4 3 21 0x y+ − =C. 第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费支出最多
D. 第一季度居民在居住项目的人均消费支出为 1029 元
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据饼图提供的数据计算．
【详解】第一季度由饼图中知衣着消费 441 元，占总体的 9%，∴总支出为 ，那么
每月消费支出为 元，A 正确；
第一季度居民人均消费为 4900 元，不是收入，B 错；
烟酒项目占 31%，最多，C 正确；
第一季度居民在居住项目的人均消费支出为 元，D 正确．
故选：ACD．
【点睛】本题考查统计图表（饼图）的认识，正确认识饼图，读懂它表示的数据是解题关
键．
10.如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器一边 于
地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的命题有（ ）
A. 没有水的部分始终呈棱柱形
B. 水面 所在四边形的面积为定值
C. 随着容器倾斜度的不同， 始终与水面所在平面平行
D. 当容器倾斜如图（3）所示时， 为定值
【答案】AD
441 49009%
=
4900 16333
≈
4900 21% 1029× =
1 1 1 1ABCD A B C D− AB
EFGH
1 1AC
AE AH⋅【解析】
【分析】
想象容器倾斜过程中，水面形状（注意 始终在桌面上），可得结论．
【详解】由于 始终在桌面上，因此倾斜过程中，没有水的部分，是以左右两侧的面为底面
的棱柱，A 正确；
图（2）中水面面积比（1）中水面面积大，B 错；
图（3）中 与水面就不平行，C 错；
图（3）中，水体积不变，因此 面积不变，从而 为定值，D 正确．
故选：AD．
【点睛】本题考查空间线面的位置关系，考查棱柱的概念，考查学生的空间想象能力，属于
中档题．
11.已知 为双曲线 上的动点，过 作两渐近线的垂线，垂足分别为 ， ，
记线段 ， 的长分别为 ， ，则（ ）
A. 若 ， 的斜率分别为 ， ，则 B.
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
写出渐近线方程，设 ，直接计算 ，然后判断各选项．
【详解】由题意双曲线的渐近线为 ，即 ，
设 ，不妨设 在第一象限， 在渐近线 上，
则 ， ， ，A 正确；
在双曲线上，则 ， ，
AB
AB
1 1AC
AEH△ AE AH⋅
P
2
2: 13
xC y− = P A B
PA PB m n
PA PB 1k 2k 1 2 3k k = − 1
2mn >
4m n+ 3 | |AB 3
2
0 0( , )P x y 1 2, , ,k k m n
1
3
y x= ± 3 0x y± =
0 0( , )P x y P A 3 0x y− =
1 3k = − 2 3k = 1 2 3k k = −
P
2
20
0 13
x y− = 2 2
0 03 3x y− =， ，∴ ，B 正确；
，当且仅当 时等号成立，即 的最小值为 ，C 错
误；
渐近线 的斜率为 ，倾斜角为 ，两渐近线夹角为 ，
∴ ， ，当且仅当
时等号成立，∴ ，即 最小值为 ，D 正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查渐近线方程，考查基本不等式求最值，这类题把
许多知识点集中在一起同，对学生推理论证能力，分析求解能力要求较高，属于难题．
12.对 ， 表示不超过 的最大整数．十八世纪， 被“数学王子”高斯采用，因
此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）
A.
B.
C. 函数 的值域为
D. 若 ，使得 同时成立，则正整数 的最大
值是 5
【答案】BCD
【解析】
【分析】
由取整函数的定义判断，由定义得 ，利用不等式性质可得结论．
【详解】 是整数， 若 ， 是整数，∴ ，矛盾，∴A 错误；
， ，∴ ，∴ ，B 正确；
由定义 ，∴ ，∴函数 的值域是 ，C 正确；
0 03
2
x y
m
−
= 0 03
2
x y
n
+
=
2 2
0 03 3
4 4
x y
mn
−
= = 1
2
>
4 2 4 2 3m n mn+ ≥ = 4m n= 4m n+ 2 3
1
3
y x= 1 3
33
k = =
6
π
3
π
2
3APB∠ = π 2 2 2 2 22 92 cos 33 4AB m n mn m n mn mn
π= + − = + + ≥ =
m n= 3
2AB ≥ AB 3
2
x∀ ∈R [ ]x x [ ]y x=
, [ ] 1x x x∃ ∈ +R
, ,[ ] [ ] [ ]x y x y x y∀ ∈ + +R
[ ]( )y x x x= − ∈R [0,1)
t∃ ∈R 3 4 51, 2, 3, , 2nt t t t n = = = = − n
[ ] [ ] 1x x x≤ < +
[ ]x [ ] 1x x≥ + [ ] 1x + [ ] [ ] 1x x≥ +
,x y∀ ∈R [ ] ,[ ]x x y y≤ ≤ [ ] [ ]x y x y+ ≤ + [ ] [ ] [ ]x y x y+ ≤ +
[ ]1x x x− < ≤ 0 [ ] 1x x≤ − < ( ) [ ]f x x x= − [0,1)若 ，使得 同时成立，则 ，
， ， ， ， ，
因为 ，若 ，则不存在 同时满足 ， ．只有 时，存
在 满足题意，
故选：BCD．
【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系
是解题关键，本题属于难题．
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. 的展开式中二项式系数最大的项的系数为____________．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】
由二项式系数的性质可得．
【详解】二项展开式通项公式为 ，其中系数奇数项为正，
偶数项为负，又 中， 最大，因此二项式系数最大的项为第 4 项，系数为
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，解题关键是写出二项展开式通项公
式 ，掌握二项式系数性质是解题关键．
14.在平行四边形 中， ， ，点 满足 ，点 满足
，则 _________．
【答案】0
【解析】
【分析】
t∃ ∈R 3 4 51, 2, 3, , 2nt t t t n = = = = − 31 2t≤ <
4 42 3t≤ < 55 3 4t≤ < 6 64 5t≤ < 2 1n nn t n− ≤ < −
6 34 2= 6n ≥ t 31 2t≤ < 6 64 5t≤ < 5n ≤
35[ 3, 2)t ∈
61x
x
−
20−
366 2
1 6 6
1( ) ( 1)
r
r r r r r
rT C x C x
x
−−
+ = − = −
6 ( 0,1, ,6)rC r =
3
6C
3
6 20C− = −
20−
1rT +
ABCD 3AB = 2AD = M 2DM MC= N
1
2CN DA= AM MN⋅ = 把向量 都用 表示，再进行数量积运算即得．
【详解】∵ ， ，
∴
．
故答案为：0．
【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是选取 为基底，其它向量都用基底表
示，然后再进行运算．
15.已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，直线
过点 且与 在第二象限的交点为 ，若 （ 为原点），则 的坐标为
________， 的离心率为__________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
求出直线与 轴的交点 坐标，由对称性可得 ，利用直线的倾斜角和 得
是等边三角形，从而得 点坐标，代入椭圆方程结合 可求得 ，得离心率．
【详解】直线 与 轴交点为 ，即 ， ，∴ ，
又直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，而 ，∴得 是
等边三角形，∴ ，
∴ ，解得 ，∴离心率为 ．
故答案为： ； ．
【点睛】本题考查求椭圆的焦点坐标和离心率，由焦点关于原点对称即可得结论，求离心率
,AM MN ,AB AD
2DM MC= 1
2CN DA=
2 1 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 3 3AM MN AD DM MC CN AD AB AB AD AD AB AB AD⋅ = + ⋅ + = + ⋅ − = + ⋅ −
2 2 2 21 4 1 4( ) ( 3 2 ) 02 9 2 9AB AD= − = × × − =
,AB AD
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1F 2F 3 4 3 0x y− + =
1F C P 1 60POF∠ = ° O 2F
C
(4,0) 3 1−
x 1F 2F 1 60POF∠ = °
1POF P c ,a b
3 4 3 0x y− + = x ( 4,0)− 1( 4,0)F − 4c = 2 (4,0)F
3 4 3 0x y− + = 3 60° 1POF 60= ° 1POF
( 2,2 3)P −
2 2
2 2 2
4 12 1
16
a b
a b c
+ =
− = =
2
2 2 3
8 3
a
b
= +
=
4 3 1
2( 3 1)
ce a
= = = −
+
(4,0) 3 1−就是要求得 ，利用 是等边三角形得出 点坐标代入椭圆方程后可解得 ，从而求
得离心率．本题属于中档题．
16.三棱柱 中， 平面 ， ， 是边长为 的正三角
形， 是线段 的中点，点 是线段 上的动点，则三棱锥 外接球的表面
积的取值集合为_____________（用区间表示）．
【答案】
【解析】
【分析】
由于棱柱底面是正三角形，设 分别是正三棱柱下底面和上底面中心，则三棱锥
的外接球球心 在 上，由此设球半径为 ，引入 ，可把 用 表示出
来，从而由 的范围得出球表面积的范围．
【详解】如图，设 分别是正三棱柱下底面和上底面中心，则三棱锥 的外接球
球心 在 上，
由 得 ， ，设球半径为 ， ，则 ，
由 得 ，解得
，
∵ ，
∴ 时， ， 时， ，
∴ ， ，
故答案为为 ．
,a c 1POF P a
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC 1 4AA = ABC 2 3
1D 1 1B C D 1 1A D D ABC−
[25 ,32 ]π π
,M N
D ABC− O MN R DN x= R x
x
,M N D ABC−
O MN
2 3AB = 2CM = 1 4MN AA= = R DN x= 0 2x≤ ≤
2 2 2 2OD DN OC CM MN− + − = 2 2 2 4 4R x R− + − =
2 2
2 ( 12) 464
xR
+= +
0 2x≤ ≤
0x = 2
min
25
4R = 2x = 2
max 8R =
min
254 254S π π= × = max 4 8 32S π π= × =
[25 ,32 ]π π【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积问题，解题关键是找到外接球球心，三棱锥的外接球
球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
17.在① 是 与 的等差中项；② 是 与 的等比中项；③数列 的前 5 项和为 65
这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题．
已知 是公差为 2 的等差数列，其前 项和为 ，________________________．
（1）求 ；
（2）设 ，是否存在 ，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，
说明理由．
【答案】（1）不论选哪个条件， （2）不存在，见解析
【解析】
【分析】
（1）如果是①或者②，用 和 表示出已知数列的项和前 项和，求出 ，可得通项公式，
如果是③，先说明数列 是公差为 4 的等差数列，首期为 ，由等差数列前 项和公
式可求得 ，同样得通项公式；
（2）用作差法求出 中的最大项 ，而 ，得结论不存在项 ．
4S 2a 21a 7a 3
3
S
22a { }2na
{ }na n nS
na
3
4
n
n nb a = ⋅
*k ∈N 27
8kb > k
2 1na n= +
1a d n 1a
{ }2na 1 2a + n
1a
{ }nb 3b 3
27
8b < 27
8
>【详解】（1）解：若选① 是 与 的等差中项，则 ，
即 ．
解得 ．所以 ．
若选② 是 与 的等比中项，则 ，
即 ．
解得 ．所以 ．
若选③数列 的前 5 项和为 65，
则 ．
又 ，所以 是首项为 ，公差为 4 的等差数列．
由 的前 5 项和为 65，得 ．
解得 ．所以 ．
（2） ．
．
所以 ；
所以 ．
所以 中的最大项为 ．
4S 2a 21a 4 2 212S a a= +
( ) ( )1 1 1
4 32 4 2 2 20 22a a a
× + × = + + + ×
1 3a = 3 2( 1) 2 1na n n= + − = +
7a 3
3
S
22a 2 3
7 223
Sa a= ⋅
( ) ( )2
1 1 1
3 16 2 2 21 22a a a
− + × = + × + ×
1 3a = 3 2( 1) 2 1na n n= + − = +
{ }2na
2( 1) 2 [2( 1) 2 ] 2 4n na a n n+ − = + − ⋅ =
2 1 2a a= + { }2na 1 2a +
{ }2na ( )1
5 45 2 4 652a
×+ + × =
1 3a = 3 2( 1) 2 1na n n= + − = +
3 3(2 1)4 4
n n
n nb a n = ⋅ = + ⋅
1
1
3 3(2 3) (2 1)4 4
n n
n nb b n n
+
+
− = + ⋅ − + ⋅
1 1
3 3[3(2 3) 4(2 1)] (5 2 )4 4
n n
n nn n n+ += + − + = −
1 1 0 5 2 0 2.5 1,2n n n nb b b b n n n+ +> ⇔ − > ⇔ − > ⇔ < ⇔ =
1 1 0 5 2 0 2.5 3,4,5,n n n nb b b b n n n+ +< ⇔ − < ⇔ − < ⇔ > ⇔ =
1 2 3 4 5 6b b b b b b< < > > > >
{ }nb
3
3
3 7 27(2 3 1) 4 64b
× = × + ⋅ = 显然 ．所以 ．
所以不存在 ，使得 ．
【点睛】本题考查等差数列的通项公式与前 项和公式，解题关键是根据已知条件求出数列的
首项 ．对于本题存在性命题，转化为求数列的最大项问题，而求数列的最大项方法可以解
不等式组 ，满足此不等式组的 ，使得 最大，如果是正项数列，还可能用作商
法，即由 且 得最大项的项数．
18.在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 ，且 为锐角三角形，求 的面积 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）用正弦定理化边为角，然后由诱导公式和两角和的正弦公式变形后可求得 角；
（2）由正弦定理把 边用角 表示，这样三角形的面积可表示为 的函数， 的范围是
，结合三角函数性质可得面积范围．
【详解】（1）由题设条件及正弦定理，得 ．
由 ，得 ．
由 ，得 ．所以 ．
又 （若 ，则 ， ．这与 矛
盾），
所以 ．又 ，得 ．
3
7 27 8 27 27
64 64 8b
× ×= < = * 27, 8nn b∀ ∈
n
1a
1
1
n n
n n
a a
a a
−
+
≥
≥
n na
1
1n
n
a
a −
≥
1
1n
n
a
a +
≥
ABC , ,A B C , ,a b c cos 3 sina b C c B− =
B
2a = ABC ABC S
6B
π= 3 2 3,2 3
B
c C C C
3 2C
π π< <
sin sin cos 3sin sinA B C C B− =
sin sin( ) sin cos cos sinA B C B C B C= + = + cos sin 3sin sinB C C B=
0 C π< < sin 0C ≠ cos 3sinB B=
cos 0B ≠ cos 0B = sin 0B = 2 2sin cos 0B B+ = 2 2sin cos 1B B+ =
3tan 3B = 0 B π< <
6B
π=（2）在 中，由正弦定理，得 ，即 ．
所以 ．
的面积
．
由 为锐角三角形，得 ， ，所以 ，
从而 ，即 ．所以 ．继而 ．
所以 的取值范是 ．
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理，还考查三角形面积公式，两角差 正弦公式，
同角间的三角函数关系，正切函数性质等等．注意正弦定理在进行边角转换时等式必须是齐
次，关于边 的齐次式或关于角的正弦 的齐次式，齐次分式也可以用正
弦定理进行边角转换．求范围问题，通常是把量表示为三角形某个角的三角函数形式，利用
此角的范围求得结论．
19.如图，侧棱与底面垂直的四棱柱 的底面 是平行四边形，
， ．
的
ABC sin sin
c a
C A
=
2
5sin sin 6
c
C C
π= −
2sin
5sin 6
Cc
C
π= −
ABC
1 1 2sin 1sin 2 52 2 2sin 6
CS ac B
C
π= = × × × −
sin
1 3cos sin2 2
C
C C
= − −
2
cos 3sin
C
C
=
+
ABC 0 2C< < π 50 6 2B C
π π< = − <
3 2C
π π< <
tan 3C > sin 3cos
C
C
> cos 30 sin 3
C
C
< < 3 2
2 3
S< <
S 3 2 3,2 3
, ,a b c sin ,sin ,sinA B C
1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD
12AM MA=
12CN NC= （1）求证： ∥平面 ；
（2）若 ， ， ，求 与平面 所成角的大小．
【答案】（1）见解析（2）90°．
【解析】
【分析】
（ 1 ） 取 的 中 点 ， 连 接 、 ． 设 ， 连 接 ． 可 证 明
，从而可证得线面平行；
（2）由余弦定理求得 ，从而由勾股定理逆定理得 ．然后以 为坐标原点，以
， ， 所在方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，
用空间向量法求得线面角．
【详解】（1）取 的中点 ，连接 、 ．设 ，连接 ．
由题意， 是线段 的中点， 是线段 的中点，
所以 是 的中位线，
所以 ．
由题意， ， ， ，
所以 ，又 ，所以四边形 平行四边形．
所以 ．
又 ，所以 ．
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
是
AN 1 1MB D
2 2AB AD= = 60BAD∠ = ° 1 3AA = 1NB 1 1MB D
AM E 1EC 1 1AC 1 1 1 1AC B D O= MO
1// //AN C E MO
BD DA DB⊥ D
DA DB
1DD x y z D xyz−
AM E 1EC 1 1AC 1 1 1 1AC B D O= MO
O 1 1AC E MA
MO 1 1AC E△
1MO EC∥
1
1
3AE AA= 1 1
1
3NC CC= 1 1AA CC=
1AE NC= 1AE NC∥ 1AEC N
1AN EC∥
1MO EC∥ AN MO∥
AN ⊄ 1 1MB D MO ⊂ 1 1MB D
AN 1 1MB D（2）在 中， ， ，
由余弦定理，得 ．
可见 ，所以 ．
以 为坐标原点，以 ， ， 所在方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间
直角坐标系 ，
则 ， ， ， ．
所以 ， ， ．
设 为平面 的法向量，则 即
令 ，则 ．
可见， 就是平面 的一个法向量，所以 与平面 所成的角为 90°．
【点睛】本题考查证明线面平行，考查用空间向量法求直线与平面所成的角．解题关键是掌
握线面平行的判定定理，寻找过同一点且两两垂直的三条直线，以它们为坐标轴建立空间直
角坐标系．
20.已知抛物线 的焦点为 ，直线 与 的交点为 ，
ABD△ 2 2AB AD= = 60BAD∠ = °
2 2 21 2 2 1 2 cos60 3BD = + − × × × ° =
2 2 2DA DB AB+ = DA DB⊥
D DA DB
1DD x y z
D xyz−
(1,0,2)M 1(0, 3,3)B 1(0,0,3)D ( 1, 3,2)N −
1 (1,0, 1)D M = −
1 1 (0, 3,0)D B =
1 (1,0,1)NB =
( , , )n x y z=
1 1MB D 1
1 1
0,
0,
n D M
n D B
⋅ = ⋅ =
0,
3 0.
x z
y
− = =
1x = (1,0,1)n =
1NB
1 1MB D 1NB 1 1MB D
2: 2 ( 0)C x py p= > F 1 : 1( 0)l y kx k= + > C A，且当 时， ．
（1）求 的方程；
（2）直线 与 相切于点 ，且 ∥ ，若 的面积为 4，求 ．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）设 ， ．直线方程为 ，代入抛物线方程应用韦达定理得 ，
由焦点弦长公式 可求得 ，
（2）设 ，由导数的几何意义求得切线斜率，由 ，得 ，
由韦达定理求得弦长 ，计算出 到直线 距离后可表示 的面积，从而求得
值．
【详解】（1）设 ， ．
由 消去 ，得 ．
判别式 ， ．
因此 ，解得 ．
所以 的方程为 ．
（2） 即为 ，求导得 ．
设 ，当 时， ，因此直线 的斜率为 ．
又因为 ，所以 ，因此 ．
由 ，得 ．
，则 ， ．
B 1k = | | | | 5AF BF+ =
C
2l C P 2l 1l PAB△ k
2 2x y= 2k =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1y x= + 1 2x x+
1 2AF BF x x p+ = + + p
2
0 0
1, 2P x x 1 2l l
21, 2P k k
AB P AB PAB△ k
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
2 2
1
x py
y x
=
= +
y 2 2 2 0x px p− − =
24 8 0p p∆ = + > 1 2 2x x p+ =
1 2 1 2| | | | 2 3 2 5AF BF y y p x x p p+ = + + = + + + = + = 1p =
C 2 2x y=
2 2x y= 21
2y x= y x′ =
2
0 0
1, 2P x x 0x x= 0y x′ = 2l 0x
1 2l l 0k x= 21, 2P k k
2 2
1
x y
y kx
=
= +
2 2 2 0x kx− − =
24 8 0k∆ = + > 1 2 2x x k+ = 1 2 2x x = −因此 ．
直线 即为 ．
因此点 到直线 距离为 ．
所以 的面积为
．
由题意， ，即 ， ．
又因为 ，所以 ．
【点睛】本题考查抛物线的焦点弦性质，考查直线与抛物线相交中的面积问题．直线与抛物
线相交弦长需结合韦达定理计算，即
．
21.某省 2020 年高考将实施新的高考改革方案．考生的高考总成绩由 3 门统一高考科目成绩和
自主选择的 3 门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为 750 分．其中，统一高考
科目为语文、数学、外语，自主选择的 3 门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、
生物、政治、历史、地理 6 科中选择 3 门作为选考科目，语文、数学、外语三科各占 150 分，
选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来
划分等级并以此打分得到最后得分．根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的
原始成绩从高到低分为 ， ， ， ， ， ， ， 共 8 个等级．参照正态分布
原则，确定各等级人数所占比例分别为 3%，7%，16%，24%，24%，16%，7%，3%．等级考
试科目成绩计入考生总成绩时，将 至 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分
别转换到 91～100，81～90，71～80，61～70，51～60，41～50，31～40，21～30 八个分数
区间，得到考生的等级成绩．举例说明：某同学化学学科原始分为 65 分，该学科 等级的
原始分分布区间为 58～69，则该同学化学学科的原始成绩属 等级．而 等级的转换分
区间为 61～70，那么该同学化学学科的转换分计算方法为：设该同学化学学科的转换等级分
的
( ) ( ) ( )( )22 2 2
1 2 1 2| | 1 4 2 1 2AB k x x x x k k = + + − = + +
1 : 1l y kx= + 1 0kx y− + =
21, 2P k k 1l
2 2
2 2
1 11 12 2
1 1
k k k k
k k
⋅ − + +
=
+ +
PAB△ ( )( )
2
2 2
2
1 11 1 2| | 2 1 22 2 1
k
S AB h k k
k
+
= ⋅ = × + + ×
+
2 31 ( 2)2 k= +
2 31 ( 2) 42 k + = 2 3 3( 2) 2k + = 2 2 2k + =
0k > 2k =
2
1 21AB k x x= + −
2 2
1 2 1 2(1 )[( ) 4 ]k x x x x= + + −
A B + B C + C D + D E
A E
C +
C + C +为 ， ，求得 ．四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为 67．为给
高一学生合理选科提供依据，全省对六个选考科目进行测试，某校高一年级 2000 人，根据该
校高一学生的物理原始成绩制成频率分布直方图（见右图）．由频率分布直方图，可以认为该
校高一学生的物理原始成绩 服从正态分布 ，用这 2000 名学生的平均物
理成绩 作为 的估计值，用这 2000 名学生的物理成绩的方差 作为 的估计值．
（1）若张明同学在这次考试中的物理原始分为 86 分，等级为 ，其所在原始分分布区间
为 82～93，求张明转换后的物理成绩（精确到 1）；按高考改革方案，若从全省考生中随机抽
取 100 人，记 表示这 100 人中等级成绩在区间 内的人数，求 最有可能的取值（概
率最大）；
（2）①求 ， （同一组中的数据用该组区间的中点作代表）；
②由①中的数据，记该校高一学生的物理原始分高于 84 分的人数为 ，求 ．
附：若 ，则 ，
， ．
【答案】（1） 最有可能的取值是 10．（2）①60，144②45.5
【解析】
【分析】
（1）根据转换公式得等级分， ．由 求出 值即可；
（2）由频率分布直方图求出 ，得 ，由正态分布曲线得概率 ，
则有 ，再由二项分布的期望公式得期望．
x 69 65 70
65 58 61
x
x
− −=− − 66.73x =
X ( )2, ( 0)N µ σ σ >
x µ 2s 2σ
B +
Y [81,100] Y
x 2s
Z ( )E Z
( )2~ , ( 0)X N µ σ σ > ( ) 0.6827P Xµ σ µ σ− < + =
( 2 2 ) 0.9545P Xµ σ µ σ− < + = ( 3 3 ) 0.9973P Xµ σ µ σ− < + =
Y
~ (100,0.1)Y B ( ) ( 1),
( ) ( 1)
P Y k P Y k
P Y k P Y k
= = −
= = +
k
2,x s ,µ σ ( 84) 0.02275P X > =
~ (2000,0.02275)Z B【详解】（1）设张明转换后的物理等级分为 ，由 ，求得 ．
所以，张明转换后的物理成绩为 84 分．
由题意， ．
由 得
解得 ．又 ，所以 ．
所以， 最有可能的取值是 10．
（2）①解：
．
．
②由①中的数据， ， ，所以 ．
所以 ．
所以
由题意， ．
所以 ．
【点睛】本题考查频率分布直方图，考查由频率分布直方图计算均值的方差，考查二项分布
及其期望，考查正态分布，对学生数据处理能力有一定的要求，本题属于中档题．
22.（1）若 ， 恒成立，求实数 的最大值 ；
（2）在（1）的条件下，求证：函数 在区间 内存在唯一的极
大值点 ，且 ．
【答案】（1） ．（2）家粘结性
【解析】
x 93 86 90
86 82 81
x
x
− −=− − 84.27x ≈
~ (100,0.1)Y B
( ) ( 1),
( ) ( 1)
P Y k P Y k
P Y k P Y k
= = −
= = +
100 1 1 100 ( 1)
100 100
100 1 1 100 ( 1)
100 100
0.1 0.9 0.1 0.9 ,
0.1 0.9 0.1 0.9 .
k k k k k k
k k k k k k
C C
C C
− − − − −
− + + − −
9.1 10.1k
*k ∈N 10k =
Y
30 0.02 40 0.08 50 0.22 60 0.36 70 0.22 80 0.08 90 0.02 60x = × + × + × + × + × + × + × =
2 2 2 2 2(30 60) 0.02 (40 60) 0.08 (50 60) 0.22 (60 60) 0.36s = − × + − × + − × + − ×
2 2 2(70 60) 0.22 (80 60) 0.08 (90 60) 0.02 144+ − × + − × + − × =
60µ = 12σ = ( )2~ 60,12X N
2 60 2 12 84µ σ+ = + × =
1 ( 2 2 ) 1 0.9545( 84) 0.022752 2
P XP X
µ σ µ σ− − < + −> = = =
~ (2000,0.02275)Z B
( ) 2000 0.02275 45.5E Z = × =
x∀ ∈R xa e x− a 0a
0( ) cos
xef x x a xx
= + + ( ,0)π−
0x ( )0 02f x x>
0 1a =【分析】
（1）令 ，求出导函数 ，由 确定增区间， 确定减区间，从而得 的
最小值，得 的取值范围，即得 ；
（2）求出导函数 ，通分后，令 ，再求导数 ，令
．分类讨论，当 时， ，得 递减，
从而可得 在 上有唯一零点 ， 时，令 ．利
用导数得 的单调性，从而得 ，于是得出在 上 的单调性，得唯一极
大值点 ．由 可对 变形，得
，只要证明在 上 ，从而可证得结
论．
【详解】（1）解：令 ，则 ．
可见， ； ．
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以，当且仅当 时，函数 取最小值 1．
由题意，实数 ．所以 ．
（2）由（1）， ．
令 ，
则 ．
令 ．
①当 时， ， ， ，所以 ．
xy e x= − y′ 0y′ > 0y′ < y
a 0a
( )f x′ 2 2( ) ( 1) sinxg x e x x x x= − − + ( )g x′
( ) 2sin cos 2xh x e x x x= − − + ( ,0)2x
π∈ − ( ) 0h x > ( )g x
( )f x′ ( ,0)2
π− 0x , 2x
ππ ∈ − −
2( ) ( 1)xp x e x x= − +
( )p x ( ) 0>g x ( ,0)π− ( )f x
0x ( ) ( )0 2
0 0 0 0
2
01 sin 0xg x e x x x x= − − + = 0( )f x
( )0 0
0
0 0 0
1 sin cos1( )f x x x xx x
− += +− ( ,0)2
π− 0
0
1 sin 11
x
x
− >−
xy e x= − 01x xy e e e′ = − = −
0 0y x′ < ⇔ < 0 0y x′ > ⇔ >
xy e x= − ( ,0)−∞ ( ,0)−∞
0x = xy e x= −
1a 0 1a =
2 2
2 2
( 1) ( 1) sin( ) sin 1
x xe x e x x x xf x xx x
− − − +′ = − + =
2 2( ) ( 1) sinxg x e x x x x= − − +
( )2( ) 2 sin cos 2 2sin cos 2x xg x xe x x x x x x e x x x′ = − − + = − − +
( ) 2sin cos 2xh x e x x x= − − +
,02x
π ∈ − 0xe > 2sin 0x− > cos 0x x− ( ) 0h x >可见， ，所以 在 上单调递减．
又 （由（1），可得 ，所以 ），
，所以存在唯一的 ，使得 ．
从而，当 时， ， ， 单调递增；当 时，
， ， 单调递减．
②当 时，令 ．
则 ．所以 在 上单调递减．
所以 （由（1），可得 ，所以
）．
又当 时， ， ， ，
所以当 时， ，从而 ．所以 在
单调递增．
综上所述， 在 上单调递增，在 上单词递减．
所以，函数 在区间 内存在唯一极大值点 ．
关于 的证明如下：
( ) ( ) 0g x xh x′ = < ( )g x ,02
π −
2 2
2
1 32 1 02 2 2g
e
π
π
π π + − = − > − >
212 e
ππ + <
12 1
2
π
π
+
<
(0) 1 0g = − < 0 ,02x
π ∈ −
( )0 0g x =
0[ ,2 )x x
π∈ − ( ) 0>g x ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0 ,0x x∈
( ) 0 − = − > − >
212 e
ππ + <
2
12 1
e
π
π +
<
, 2x
ππ ∈ − −
2 0x > sin 0x < 2 sin 0x x− >
, 2x
ππ ∈ − −
2( ) ( ) sin 0g x p x x x= − > ( ) 0f x′ > ( )f x
, 2
ππ − −
( )f x ( )0, xπ− ( )0 ,0x
( )f x ( ,0)π− 0x
( )0 02f x x>由上面的讨论， ，且 ，所以
，所以 ．
于是 ．
令 ．当 时， ．所以 在 上单调递
增．所以，当 时， ，即 ．
又因为 ，所以 ， ，所以 ．
所以 ．
【点睛】本题考查导数研究不等式恒成立问题，用导数研究函数的极值点，证明极值点的性
质．本题涉及到多次求导，等价转化思想，分类讨论思想，难度较大，属于困难题．
0 ,02x
π ∈ −
( ) ( )0 2
0 0 0 0
2
01 sin 0xg x e x x x x= − − + =
( )0
0 0 0 0
0
1 sin 0
xe x x xx
− − + = ( )0
0 0
0 0
1 sin
1
x x xe
x x
−= −
( ) ( )0
0 0
0 0 0 0 0
0 0
1 sincos cos1
x x xef x x x x xx x
−= + + = + +−
( ) sinq x x x= − ,02x
π ∈ − ( ) 1 cos 0q x x′ = − > ( )q x ,02
π −
,02x
π ∈ − ( ) (0) 0q x q< = sinx x<
0 ,02x
π ∈ − 0 0sinx x< 0 01 1 sin 0x x− > − > 0
0
1 sin0 11
x
x
−< + + = + >−
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