高三数学试题（二）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在
答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟.
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 的坐标得答案．
【详解】 ，
，
在复平面内 对应的点的坐标为 ， ，位于第一象限．
故选： ．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础
题．
2.曲线 在点 处的切线过点 ，则 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】
求得函数 的导数，可得切线的斜率，运用直线的两点的斜率公式，可得所求
1
3
iz i
−= + z
z
1 (1 )(3 ) 2 4 1 2
3 (3 )(3 ) 10 5 5
i i i iz ii i i
− − − −= = = = −+ + −
∴ 1 2
5 5z i= +
∴ z 1(5
2)5
A
( )ln 1y ax= + ( )0,0 ( )4,8 a =
( 1)y ln ax= +值．
【详解】 的导数为 ，
可得曲线在 处的切线的斜率为 ，
由切线经过 可得 ，
故选： ．
【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的斜率公式的运用，考查方程思想和运算能力，属
于基础题．
3.某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
年 月 日
年 月 日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每 千米平均耗油量为（ ）
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
【答案】B
【解析】
因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量 升.
而这段时间内行驶的里程数 千米. 所以这段时间内，该车每 100 千
米平均耗油量为 升，故选 B.
考点：平均变化率.
( 1)y ln ax= +
1
ay ax
′ = +
0x = a
(4,8) 8 0 24 0a
−= =−
C
2015 5 1 12 35000
2015 5 15 48 35600
100
6 8 10 12
48V =
35600 35000 600S = − =
48 100 8600
× =4.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
容易得出 ，从而得出 ， ， 的大小关系．
【详解】由题得 ；
．
故选： ．
【点睛】本题主要考查幂函数、指数函数和对数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的
理解掌握水平，属于基础题．
5.已知向量 ， ，若 ，则 的最小值为（ ）
A. 12 B. C. 15 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 可得 ，然后根据 ，利用基本不等式可得结果．
【详解】 ， ， ， ， ，
，即 ，
，
2
31
3a =
2
31
2b = 3logc π= a b c
a b c> > a c b> > c a b> >
c b a> >
2 2
3 3
3
1 1( ) ( ) 1, 13 2 log π< < > a b c
2 2
03 3
3 3
1 1 1( ) ( ) ( ) 1, log 3 13 2 2 log π< < = > =
c b a∴ > >
D
( ), 1m a= − ( )2 1,3n b= − ( )0, 0a b> > / /m n 2 1
a b
+
8 4 3+
10 2 3+
//m n 3 2 1a b+ = 2 1 2 1( )(3 2 )a ba b a b
+ = + +
( , 1)m a= − (2 1n b= − 3)( 0a > 0)b > //m n
3 2 1 0a b∴ + − = 3 2 1a b+ =
∴ 2 1 2 1( )(3 2 )a ba b a b
+ = + +
4 38 b a
a b
= + +
4 38 2 b a
a b
+
8 4 3= +当且仅当 ，即 ， 时取等号，
的最小值为： ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查了向量平行和“乘 1 法”与基本不等式的性质，意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平，属于基础题．
6.若 ， ，则 （ ）
A. B. C. 3 D. -3
【答案】A
【解析】
【分析】
由 题 意 利 用 两 角 和 差 的 正 切 公 式 求 得 ， ， 可 得
的值．
【详解】由题得 ， ．
， ， ，
则 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，考查二倍角的余弦，意在考查学生对这
些知识的理解掌握水平，属于基础题.
7.已知二面角 为 ，点 ，点 ，异面直线 与 所成的角为 ，
.若 到 的距离为 ，则 到 的距离为（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
如图所示，过 点作 ，垂足 ，过点 作 ，垂足为点 ，连接 ．可得
4 3b a
a b
= 3 3
6a
−= 3 1
4b
−=
∴ 2 1
a b
+ 8 4 3+
B
sin cos 1
1 cos2 4
α α
α =−
( )tan 2α β− = ( )tan 2β α− =
4
3
4
3
−
tan 2α = tan( ) 2β α− = −
tan( 2 ) tan[( ) ]β α β α α− = − −
2
sin cos sin cos cos 1
1 cos2 2sin 2sin 4
α α α α α
α α α= = =− tan 2α∴ =
tan tantan( ) 21 tan an
α βα β α β
−− = =+ tan 0β∴ = tan( ) tan( ) 2β α α β− = − − = −
tan( ) tan 2 2 4tan( 2 ) tan[( ) ] 1 tan( )tan 1 2 2 3
β α αβ α β α α β α α
− − − −− = − − = = =+ − − ×
A
lα β− − 60° A α∈ B β∈ AB l 60°
4AB = A β 3 B α
2 3 3 6
A AC β⊥ C C CE l⊥ E CE， ．过 点在 内作 的平行线，过 点作 ，垂足为点 ，过
点 在 内 作 的 平 行 线 与 的 平 行 线 交 于 点 ， 可 得 四 边 形 为 矩 形 ，
． ， ．可得 ， ，在 中，设
，利用余弦定理可得 ．进而得出 ，可得 ．即得 到 的
距离.
【详解】如图所示，
过 点作 ，垂足 ，过点 作 ，垂足为点 ，连接 ．
则 ， ．
又 ， ．
过 点在 内作 的平行线，过 点作 ，垂足为点 ．
过 点在 内作 的平行线与 的平行线交于点 ，
则四边形 为矩形， ．且 为异面直线 与 所成的角，
∴ ， ．
， ，
，
在 中，设 ，
由余弦定理可得： ，
可得： ，解得 ．
，
， ．
到 的距离为 ．
故选： ．
60AEC∠ = ° 2AE = A α l B BF l⊥ F
F α AE l D ADFE
2DF = 60BAD∠ = ° AD DB⊥ 2 3BD = 60BFD∠ = ° BFD∆
BF x= x 2 2 2BD DF BF+ = BD α⊥ B α
A AC β⊥ C C CE l⊥ E CE
AE l⊥ 60AEC∴∠ = °
3AC = 2AE∴ =
A α l B BF l⊥ F
F α AE l D
ADFE 2DF∴ = BFD∠ AB l
60BAD∠ = ° AD DB⊥
4AB = 2 3BD∴ =
60BFD∠ = °
BFD∆ BF x=
2 2 2(2 3) 2 2 2 cos60x x= + − × × °
2 2 8 0x x− − = 4x =
2 2 2BD DF BF∴ + =
BD DF∴ ⊥ BD α∴ ⊥
B∴ α 2 3
A【点睛】本题考查了空间位置关系、线面、面面垂直的判定和性质定理、矩形的性质、直角
三角形的性质、空间角，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.现有 种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同
一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
【答案】D
【解析】
【分析】
将原图从上而下的 个区域标为 、 、 、 ，分类讨论 、 同色与不同色这两种情况，利
用分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得出结果.
【详解】将原图从上而下的 个区域标为 、 、 、 ，
因为 、 、 之间不能同色， 与 可以同色，因此，要分类讨论 、 同色与不同色这两种
情况.
①若 、 同色，则区域 、 有 种选择，区域 有 种选择，区域 有 种选择，由分步乘
法计数原理可知，此时共有 种涂色方法；
②若 、 不同色，则区域 有 种选择，区域 有 种选择，区域 有 种选择，区域 只有
种选择，此时共有 种涂色方法.
故不同的着色方法种数为 .
故选：D
【点睛】本题考查涂色问题，涉及分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用，考查计算
能力，属于中等题.
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的
4
24 30 36 48
4 1 2 3 4 1 4
4 1 2 3 4
1 2 3 1 4 1 4
1 4 1 4 4 2 3 3 2
4 3 2 24× × =
1 4 1 4 4 3 2 2 3
1 4 3 2 1 24× × × =
24 24 48+ =得 3 分.
9.空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对
应关系如表：
AQI 指数值 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300
空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
如图是某市 12 月 1 日-20 日 AQI 指数变化趋势：
下列叙述正确的是（ ）
A. 这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100
B. 这 20 天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市 12 月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说，该市 12 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据折线图和 AQI 指数与空气质量对照表，结合选项，进行逐一分析即可.
【详解】对 A：将这 20 天的数据从小到大排序后，第 10 个数据略小于 100，第 11 个数据约
为 120，
因为中位数是这两个数据的平均数，故中位数略高于 100 是正确的，故 A 正确；
对 B：这 20 天中，AQI 指数大于 150 有 5 天，故中度污染及以上的天数占 是正确的，
故 B 正确；
对 C：由折线图可知，前 5 天空气质量越来越好，从 6 日开始至 15 日越来越差，
故 C 错误；
对 D：由折线图可知，上旬大部分 AQI 指数在 100 以下，中旬 AQI 指数大部分在 100 以上，
的
300>
1
4
1
4故上旬空气质量比中旬的要好.故 D 正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查统计图表的观察，属基础题；需要认真看图，并理解题意.
10.已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则
的值可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】
对 化简，根据值域为 ， ，求出定义域，作差判断即可．
【详解】
，值域为 ， ，
， ，
所以 ， ，
故 ， ， ，
，
所以 最大为 ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查三角函数化简、二倍角公式，考查三角函数的定义域和值域，意在考
查学生对这些知识的理解掌握水平．
( ) 1sin sin 3 4f x x x
π = ⋅ + −
[ ]( ),m n m n< 1 1,2 4
−
n m−
5
12
π 7
12
π 3
4
π 11
12
π
( )f x 1[ 2
− 1]4
1( ) sin sin( )3 4f x x x
π= + −
1 3 1sin ( sin cos )2 2 4x x x= + −
1 3 1(1 cos2 ) sin 24 4 4x x= − + −
1 3 1( sin 2 cos2 )2 2 2x x= −
1 sin(2 )2 6x
π= − 1[ 2
− 1]4
sin(2 ) [ 16x
π− ∈ − 1]2
72 [26 6x k
π ππ− ∈ − 2 ]6k
ππ +
[ 2x k
ππ∈ − ]6k
ππ + k Z∈
2( )6 2 3k k
π π ππ π+ − − =
n m− 2
3
π
AB11.下列有关说法正确的是（ ）
A. 的展开式中含 项的二项式系数为 20；
B. 事件 为必然事件，则事件 、 是互为对立事件；
C. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则 与 的值分别为
， ；
D. 甲、乙、丙、丁 4 个人到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4 个人去的景点
各不相同”，事件 “甲独自去一个景点”，则 .
【答案】CD
【解析】
【分析】
由二项式定理得： 的展开式中含 项的二项式系数为 ，即可判断 ；由对立
事件与互斥事件的概念，进行判断 ；由正态分布的特点，即可判断 ；由条件概率的公式
，计算即可判断 .
【详解】对于 ，由二项式定理得： 的展开式中含 项的二项式系数为
，故 错误；
对于 ，事件 为必然事件，若 ， 互斥，则事件 、 是互为对立事件；若 ，
不互斥，则事件 、 不是互为对立事件，故 错误
对于 ，设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则曲线关于 对称，
则 与 的值分别为 ， ．故 正确．
对于 ，设事件 “4 个人去的景点不相同”，事件 “甲独自去一个景点”，
则 （A） ， （B） ， ，则 ，故
正确；
故选： ．
【点睛】本题考查命题的真假判断和应用，考查事件的关系、条件概率的求法，考查二项式
定理的判定方法和正态分布的特点，考查判断和推理能力，是中档题．
51 22 x y −
2 3x y
A B A B
ξ ( ),7N µ ( ) ( )2 4P Pξ ξ< = > µ Dξ
3µ = 7Dξ =
A =
B = ( ) 2| 9P A B =
51( 2 )2 x y− 2 3x y 3
5C A
B C
( )( | ) ( )
P ABP A B P B
= D
A 51( 2 )2 x y− 2 3x y
3
5 10C = A
B A B A B A B A B
A B B
C ξ ( ,7)N µ ( 2) ( 4)P Pξ ξ< = > 3x =
µ Dξ 3µ = 7Dξ = C
D A = B =
P 4
4!
4
= P
3
4
4 3 27
4 64
= =
4
4 3! 3( ) 4 32P AB
×= = ( ) 2( | ) ( ) 9
P ABP A B P B
= = D
CD12.已知函数 ， 是函数 的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】
求导数,利用零点存在定理,可判断 A,B;
,可判断 C，D.
【详解】函数 , ,
∵ 是函数 的极值点，∴ ，即 ，
,当 时，
, ,即 A 选项正确,B 选项不正确;
,
即 D 正确,C 不正确.
故答案为:AD.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题.
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位
置.
13.已知集合 A＝{a，b，2}，B＝{2， ，2a}，且 A∩B＝A∪B，则 a＝________．
【答案】0 或
【解析】
【分析】
根据 A∩B＝A∪B，可得 A＝B，然后作分类讨论，讨论时注意要满足集合的三要素即可. 主要
考虑集合中的元素是否满足互异性
2( ) lnf x x x x= + 0x ( )f x
0
10 x e
< < 0
1x e
> 0 0( ) 2 0f x x+ <
0 0( ) 2 0f x x+ >
( ) ( ) ( )2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 ln 2 l 1n 2 0f x x x x x x x x x x x+ = + + = −+ + = >
2( ) l ( ),n 0f x x x x x= + > ( ) ln 1 2f x x x′∴ = + +
0x ( )f x ( )'
0 0f x = 0 0ln 1 2 0x x∴ + + =
1 2 0f e e
′ ∴ = >
1x e
> ( ) 0f x′ >
0, ( )x f x′→ → −∞ 0
10 x e
∴ < <
( ) ( ) ( )2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 ln 2 l 1n 2 0f x x x x x x x x x x x+ = + + = −+ + = >
2b
1
4【详解】因为 A∩B＝A∪B，所以 A＝B，则应有 或
解 或 或
又 a＝0，b＝0 时，不满足元素的互异性，故舍去，所以 a 的值为 0 或 .
【点睛】本题考查集合的三要素，难点在于互异性的判断，属于简单题.
14.甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，决赛结
束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”.设甲队主场取胜的概率为
0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以 获胜的概率是______.
【答案】0.21
【解析】
【分析】
利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解．
【详解】甲、乙两队进行排球决赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，
决赛结束）．
根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主客主”．
设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0.5，且各场比赛结果相互独立，
则甲队以 获胜的概率是：
．
故答案为：0.21．
【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等
基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.已知双曲线 过点 且渐近线方程是 ，则双曲线 的方程为________，
又若点 ， 为双曲线 的右焦点， 是双曲线 的左支上一点，则 周长的
最小值为______.
【答案】 (1). (2).
2
2
a b
b a
=
=
2
2
b b
a a
=
=
0
0
a
b
=
=
1
4
1
2
a
b
=
=
0
1
a
b
=
=
1
4
3:1
3:1
0.6 0.5 0.4 0.5 0.6 0.5 0.6 0.5 0.4 0.5 0.6 0.5 0.21P = × × × + × × × + × × × =
C ( )3, 2 3
3y x= ± C
( )0,4N F C M C FMN∆
2
2 13
x y− = 4 5 2 3+【解析】
【分析】
由渐近线的方程设双曲线的方程，又过定点可得参数的值即求出双曲线的方程；三角形
的周长 ，到右焦点的距离由双曲线的性质可得转化为到左焦点的距离，当 ，
， 三点共线时周长最小，求出最小值．
【详解】由渐近线的方程设双曲线的方程为： ，
由双曲线 过点 可得： ，即 ，
所以双曲线的方程为： ；
设左焦点 ，右焦点
周长为 ，
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号，
而 ，所以 周长的最小值为： ，
故答案分别为： ， ．
【点睛】本题主要考查双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理
能力．
16.如图．在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB⊥底面 ABCD，O 为对角线 AC 与 BD
的交点，若 PB＝1，∠APB＝∠BAD＝ ，则棱锥 P－AOB 的外接球的体积是____
FMN
NF MF MN+ + F′
N M
2
2
3
x y λ− =
C (3, 2) 9 23
λ− = 1λ =
2
2 13
x y− =
( 2,0)F′ − (2,0)F
FMN∆ 2 2 2 2 3NF MF MN NF MN a MF NF NF a NF′ ′+ + = + + + + + = +
F′ N M
2 22 4 2 5NF = + = FMN∆ 4 5 2 3+
2
2 13
x y− = 4 5 2 3+
3
π【答案】
【解析】
【分析】
根据三角形 和三角形 为直角三角形，判断出棱锥 外接球的直径为 ，
进而计算出球的半径以及体积.
【详解】由于 底面 ，所以三角形 是直角三角形.由于底面 是菱形，
故 ，又 ，所以 面 ，所以三角形 是直角三角形.由此判
断出棱锥 外接球的直径为 .由于 ，所以 ,故外接球的半
径为 ，体积为 .
【点睛】本小题主要考查几何体外接球体积的计算，考查几何体外接球球心位置的判断，属
于基础题.
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
17.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，在
① ；
② ；
③ ；这三个条件中任选一个完成下列内容：
（1）求 的大小；
（2）若 的面积 ， ，求 值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）无论选哪种， （2）
【解析】
4
3
π
ABP AOP P AOB− PA
PB ⊥ ABCD ABP ABCD
AO BO⊥ AO PB⊥ AO ⊥ PBO AOP
P AOB− PA π1, 3PB APB= ∠ = 2PA =
1 34π 4π13 3
× =
ABC∆ A B C a b c
( )( ) ( )sin sin sina b A B c b C+ − = −
sin sin2
B Cb a B
+ =
( )cos2 3cos 1A B C− + =
A
ABC∆ 5 3S = 5b = sin sinB C
3A
π= 5sin sin 7B C =【分析】
（1）选① ，结合正弦定理及余弦定理进行化简即可求解
；
（2）结合（1）及三角形的面积公式可求 ，进而可求 ，结合正弦定理即可求解．
【详解】选择①：（1）由正弦定理得
， ，
由余弦定理得 ，∵ ，∴ .
（2）由面积公式 ， .
由余弦定理得 得 ，
由正弦定理得
， ， ， ， .
【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，
意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
18.在各项均不相等的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，数列 的前 n
项和 ．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和 ．
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）设数列 的公差为 d，由 ， ， 成等比数列，列式解得 （舍去）或
，进而得 ；再由数列 的前 n 项和 ，得
，且 ，进而得 ；
( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C+ − = −
A
c a
( )( ) ( )a b a b c b c+ − = − 2 2 2a b c bc− = −
1cos 2A = 0 A π< <
3A
π=
1 sin 5 32S bc A= = 4c =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 21a =
2sin
a RA
= ( )22 28R = sin 2
bB R
= sin 2
cC R
= 2
5sin sin 4 7
bcB C R
= =
{ }na 1 1a = 1a 2a 5a { }nb
12 2n
nS += −
{ }na { }nb
22 logna
n nc b= + { }nc nT
2 1na n= − 2n
nb = 2 1 22 2
3 2
n
n
n nT
+ − += +
{ }na 1a 2a 5a 0d =
2d = 2 1na n= − { }nb 12 2n
nS += − 1n n nb S S −= − = 2n
( )2n ≥ 1 2b = 2n
nb =（2）由（1）得 ，利用分组求数列 的前 n 项和 即可.
【详解】（1）设数列 公差为 d，则 ， ，∵ ， ， 成等比数
列，
，即 ，
整理得 ，解得 （舍去）或 ， .
当 时， ，
当 时， ．
验：当 时， 满足上式，∴数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）得， ，
.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和
的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19.如图（1）五边形 中，
,将 沿 折到 的位置，得到四棱锥 ，如图（2），
点 为线段 的中点，且 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若直线 与所成角的正切值为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
的
2 12 n
nc n−= + { }nc nT
{ }na 2 1a a d= + 5 1 4a a d= + 1a 2a 5a
2
2 1 5a a a∴ = ( ) ( )2
1 1 1 4a d a a d+ = +
2
12d a d= 0d = 12 2d a= = ( )1 1 2 1na a n d n∴ = + − = −
1n = 1 2b =
2n ≥ ( )1
1 2 2 2 2n n
n n nb S S +
−= − = − − − 12 2 2 2 2 2n n n n n+= − = × − =
1n = 1 2b = { }nb 2n
nb =
2 1
22 log 2na n
n nc b n−== + +
( ) ( ) ( )3 5 2 1(2 1) 2 2 2 3 2 n
nT n−= + + + + + + + +
( )3 5 2 12 2 2 2 (1 2 3 )n n−= + + + + + + + + +
( )2 1 4 (1 )
1 4 2
n n n− += +−
2 1 22 2
3 2
n n n+ − += +
ABCDE , / / , 2 ,ED EA AB CD CD AB= =
150EDC ∠ = EAD∆ AD PAD∆ P ABCD−
M PC BM ⊥ PCD
PAD ⊥ ABCD
PC AB 1
2 BM PDB【答案】（1）见解析（2）
【解析】
试题分析: （1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立;
（2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面 的法向量,根据线面角公式代
入坐标求得结果.
试题解析:（1）证明：取 的中点 ，连接 ，则 ，
又 ，所以 ，则四边形 为平行四边形，所
以 ，
又 平面 ，
∴ 平面 ，
∴ .
由 即 及 为 的中点，可得 为等边三角形，
∴ ，
又 ，∴ ，∴ ，
∴ 平面 平面 ，
∴平面 平面 .
（2）解：
，∴ 为直线 与 所成的角，
由（1）可得 ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ，
2 7
7
PDB
PD N ,AN MN 1/ / , 2MN CD MN CD=
1/ / , 2AB CD AB CD= / / ,MN AB MN AB= ABMN
/ /AN BM
BM ⊥ PCD
AN ⊥ PCD
,AN PD AN CD⊥ ⊥
ED EA= PD PA= N PD PAD∆
060PDA∠ =
0150EDC∠ = 090CDA∠ = CD AD⊥
CD ⊥ ,PAD CD ⊂ ABCD
PAD ⊥ ABCD
/ /AB CD PCD∠ PC AB
090PDC∠ = 1tan 2
PDPCD CD
∠ = = 2CD PD=
1PD = 2, 1CD PA AD AB= = = =取 的中点 ，连接 ，过 作 的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ，
∴ ，
所以 ，
设 为平面 的法向量，则 ，即 ，
取 ，则 为平面 的一个法向量，
∵ ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为 .
点睛: 判定直线和平面垂直的方法:①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两
条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直
于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．平面与平面垂直的判定方法:①定义法．②
利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．
20.已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 的距离减去它到 y 轴距离的差都是
1．
(1)求曲线 C 的方程；
(2)过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点， ，求直线 l 的方程．
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
AD O PO O AB
O xyz−
1 1 1 3,0,0 , ,1,0 , ,2,0 , 0,0,2 2 2 2D B C P
− −
1 3,1,4 4M
−
( ) 1 3 3 31,1,0 , ,1, , ,0,2 2 4 4DB PB BM = = − = −
( ), ,n x y z= PBD
· 0{
· 0
n DB
n PB
=
=
0
{1 3 02 2
x y
x y z
+ =
+ − =
3x = ( )3, 3, 3n = − − PBD
· 3 2 7cos , 7321 2
n BMn BM
n BM
−〈 〉 = = = −
×
BM PDB 2 7
7
(1 0)F ，
| | 8AB =
2 4 ( 0)y x x= > 1y x= − + 1y x= −(1)根据条件有 化简得答案.
(2)有抛物线过交点的弦长公式有 ，然后设出直线方程与抛物线方程联立
求出 代入 ，可计算出 ，得到直线方程.
【详解】(1)设点 是曲线 C 上任意一点，
那么点 满足： ．
化简得曲线 C 的方程为 ．
(2)由题意得，直线 的方程为 ，
设 ， ．
由 得 ．
因为 ，故 ，
所以 ．
由题设知 ，解得 或 ．
因此直线 的方程为 或 ．
【点睛】本题主要考查曲线与方程、直线与抛物线的位置关系，属于中档题.
21.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两
年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，
超过 2 次每次收取维修费 2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维
修 4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000 元.某医院准备一次性购买 2 台这种机器．现需决策
在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了 50 台这种机器超过质保期后延保两年
内维修的次数，得下表：
维修次数 0 1 2 3
台数 5 10 20 15
2 2( 1) 1( 0)x y x x− + − = >
1 2| | +2=8x xAB = +
1 2x x+ 1 2| | +2=8x xAB = + k
( , )P x y
( , )P x y 2 2( 1) 1( 0)x y x x− + − = >
2 4 ( 0)y x x= >
l ( 1)y k x= −
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2
( 1),
4
y k x
y x
= −
=
2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
216 16 0k∆ = + >
2
1 2 2
2 4kx x k
++ =
1 2
2
2
4 4| | | | | | ( 1) ( 1)x kAB AF BF kx
+= + = + + + =
2
2
4 4 8k
k
+ = 1k = − 1k =
l 1y x= − + 1y x= −以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率，记 X 表示这 2 台机器超过
质保期后延保的两年内共需维修的次数．
（1）求 X 的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）选择延保方案二较合算
【解析】
分析】
（Ⅰ） 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；
（Ⅱ）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即
可选出最合算的方案．
【详解】解：（Ⅰ） 所有可能的取值为 0，1，2，3，4，5，6，
， ，
，
， ，
， ，
∴ 的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
（Ⅱ）选择延保一，所需费用 元的分布列为：
7000 9000 11000 13000 15000
【
X
X
( ) 1 1 10 10 10 100P X = = × = ( ) 1 1 11 210 5 25P X = = × × =
( ) 1 1 2 1 32 25 5 5 10 25P X = = × + × × =
( ) 1 3 1 2 113 2 210 10 5 5 50P X = = × × + × × = ( ) 2 2 3 1 74 25 5 10 5 25P X = = × + × × =
( ) 2 3 65 25 10 25P X = = × × = ( ) 3 3 96 10 10 100P X = = × =
X
X
P 1
100
1
25
3
25
11
50
7
25
6
25
9
100
1Y
1Y
P 17
100
11
50
7
25
6
25
9
100 （元）.
选择延保二，所需费用 元的分布列为：
10000 11000 12000
（元）.
∵ ，∴该医院选择延保方案二较合算.
【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属
于中档题．
22.设 ，函数 .
（1）若 无零点，求实数 的取值范围；
（2）当 时，关于 的方程 在 上恰有两个不相等的实数根，求
实数 的取值范围；
（3）求证：当 ， 时 .
【答案】（1） （2） （3）见解析
【解析】
分析】
（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间，确定满足条件的 的范围
即可；（2）令 ， ， ，结合二次函数的性质以及函数的单调性
求出 的范围即可；（3）根据 时， ，令 ，累加即可证
【
1
17 11 7 6 97000 9000 11000 13000 15000100 50 25 25 100EY = × + × + × + × + × 10720=
2Y
2Y
P 67
100
6
25
9
100
2
67 6 910000 11000 12000 10420100 25 100EY = × + × + × =
1 2EY EY>
a R∈ ( ) lnf x a x x= −
( )f x a
1a = x ( ) 22x f x x b− = + 1 ,22
b
2n ≥ *n N∈ 2 2 2
1 1 11 1 12 3 en
+ + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + 1lnx x< − *
2
11 ( 2, )x n n Nn
= + ∈明．
【详解】（1）①若 时，则 ， 是区间 上的减函数，
∵ ， ，
而 ，则 ，即 ，
∴ ，函数 在区间 有唯一零点；
②若 ， ，在区间 无零点；
③若 ，令 ，得 ，
在区间 上， ，函数 是增函数；
在区间 上， ，函数 是减函数；
故在区间 上， 的最大值为 ，由于 无零点，
则 ，解得 ，
故所求实数 的取值范围是 .
（2）由题意， 时 为 ，
∴ ，
设 ，
则 ，
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
1 2
0 - 0 +
0a < ( )' 1 0af x x
= − < ( )f x ( )0, ∞+
( )1 1 0f = − <
1 1
1a af e e
= −
1 0a
< 1
0 1ae< <
1 1
1 0a af e e
= − >
( ) 1
1 0af f e
⋅ ( )' 0f x = x a=
( )0,a ( )' 0f x > ( )f x
( ),a +∞ ( )' 0f x < ( )f x
( )0, ∞+ ( )f x ( ) lnf a a a a= − ( )f x
( ) ln 0f a a a a= − < 0 a e< <
a [ )0,e
1a = ( ) 22x f x x b− = + 2ln 2x x x x b− + = +
2 3 ln 0x x x b− + + =
( ) ( )2 3 ln 0g x x x x b x= − + + >
( ) ( )( )2 2 1 11 2 3 1' 2 3 x xx xg x x x x x
− −− += − + = =
1 ,22x ∈
( )'g x ( )g x
x 1
2
1 ,12
( )1,2
( )'g x∵方程 在 上恰有两个不相等的实数根，
∴ ，∴ ，
∴ ，即 .
（3）由（1）可知当 时， 即 ，
∴当 时， ，
令 时，
，
即 ，
∴ .
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、“累加求和”、对数的运算性质、
放缩、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，考查了等价问题转化方法，考查了推理能
力和计算能力，属于难题．
( )g x 5 ln 24b − − 2b − 2 ln 2b − +
( ) 22f x x x b+ = + 1 ,22
( )
( )
1 02
1 0
2 0
g
g
g
≥
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