江苏省盐城市2020届高三数学第四次模拟试题（含附加题Word版附答案）

江苏省盐城市 2020 届高三年级第四次模拟考试 数学试题 2020．6 第 I 卷（必做题，共 160 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．） 1．若集合 A＝ ，B＝ ，且 A B＝{m}，则实数 m 的值为 ． 2．已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z(3＋i)＝10，则 的值为 ． 3．从数字 0，1，2 中任取两个不同的数字构成一个两位数，则所得的两位数大于 10 的概率 为 ． 4．如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直 方图，图中小矩形从左向右所对应的区间依次为[0，50)，[50，100)，[100，150)，[150， 200)，[200，250] ．若一个月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内这种面包的日销售 量少于 100 个的天数为 天． 5．执行如图所示的流程图，输出 k 的值为 ． 第 4 题 第 5 题 6．若双曲线 (a＞0，b＞0)的渐近线为 ，则其离心率的值为 ． 7．若三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 12，点 P 为棱 AA1 上一点，则四棱锥 P—BCC1B1 的体积 为 ． 8．“ ＝2”是“函数 的图象关于点( ，0)对称”的 条件．（选 填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）． 9．在△ABC 中，C＝B＋ ，AB＝ AC，则 tanB 的值为 ． 10 ． 若 数 列 的 前 n 项 和 为 ， ， 则 的 值 { }x x m≤ { }1x x ≥ −  z 2 2 2 2 1x y a b − = 2y x= ± ω ( ) sin( )6f x x πω= + 5 12 π 4 π 3 2 4 { }na nS 12 ( 1) (2 1)n n na n−= + − − 100 1002a S−为 ． 11．若集合 P＝ ，Q＝ ，则 P Q 表示的曲 线的长度为 ． 12．若函数 的图象上存在关于原点对称的相异两点，则实数 m 的最大 值是 ． 13．在△ABC 中，AB＝10，AC＝15，∠A 的平分线与边 BC 的交点为 D，点 E 为边 BC 的中 点，若 ＝90，则 的值是 ． 14．若实数 x，y 满足 4x2＋4xy＋7y2＝l，则 7x2﹣4xy＋4y2 的最小值是 ． 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分 14 分） 若函数 (M＞0， ＞0，0＜ ＜ )的最小值是﹣2，最小正周期是 2 ，且图象经过点 N( ，1)． （1）求 的解析式； （2）在△ABC 中，若 ， ，求 cosC 的值． 16．（本小题满分 14 分） 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PC⊥BC，点 E 是 PC 的中点，且平 面 PBC⊥平面 ABCD．求证： （1）求证：PA∥平面 BDE； （2）求证：平面 PAC⊥平面 BDE． { }2 2( , ) 4 0x y x y x+ − = 2( , ) 15xx y y  + ≥      2 e , 0( ) e 1, 0 xm xf x x x  + >=  − ≤ AB AD⋅  AB AE⋅  ( ) Msin( )f x xω ϕ= + ω ϕ π π 3 π ( )f x 8(A) 5f = 10(B) 13f =17．（本小题满分 14 分） 如图，在一旅游区内原有两条互相垂直且相交于点 O 的道路 l1，l2，一自然景观的边界近 似为圆形，其半径约为 1 千米，景观的中心 C 到 l1，l2 的距离相等，点 C 到点 O 的距离约为 10 千米．现拟新建四条游览道路方便游客参观，具体方案：在线段 OC 上取一点 P，新建一条道 路 OP，并过点 P 新建两条与圆 C 相切的道路 PM，PN（M，N 为切点），同时过点 P 新建一 条与 OP 垂直的道路 AB（A，B 分别在 l1，l2 上）．为促进沿途旅游经济，新建道路长度之和 越大越好，求新建道路长度之和的最大值．（所有道路宽度忽略不计） 18．（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆 C： (a＞b＞0)的短轴长为 2，F1，F2 分别是椭圆 C 的左、右焦点，过点 F2 的动直线与椭圆交于点 P，Q，过点 F2 与 PQ 垂直的直 线与椭圆 C 交于 A、B 两点．当直线 AB 过原点时，PF1＝3PF2． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点 H(3，0)，记直线 PH，QH，AH，BH 的斜率依次为 ， ， ， ．①若 ，求直线 PQ 的斜率；②求 的最小值． 2 2 2 2 1x y a b + = 1k 2k 3k 4k 1 2 2 15k k+ = 1 2 3 4( )( )k k k k+ +19．（本小题满分 16 分） 如果存在常数 k 使得无穷数列 满足 恒成立，则称为 P(k)数列． （1）若数列 是 P(1)数列， ， ，求 ； （2）若等差数列 是 P(2)数列，求数列 的通项公式； （3）是否存在 P(k)数列 ，使得 ， ， ，…是等比数列？若存在，请求 出所有满足条件的数列 ；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分 16 分） 设函数 ． （1）若 a＝0 时，求函数 的单调递增区间； （2）若函数 在 x＝1 时取极大值，求实数 a 的取值范围； （3）设函数 的零点个数为 m，试求 m 的最大值． { }na mn m na ka a= { }na 6 1a = 12 3a = 3a { }nb { }nb { }nc 2020c 2021c 2022c { }nc 3 2( ) 3ln 2f x x x ax ax= − + + − ( )f x ( )f x ( )f x第 II 卷（附加题，共 40 分） 21．【选做题】本题包括 A，B，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题 10 分共计 20 分， 解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A．选修 4—2：矩阵与变换 已知矩阵 A＝ ，若矩阵 A 属于特征值 3 的一个特征向量为 ，求该矩阵属 于另一个特征值的特征向量． B．选修 4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知直线 l： （m 为实数），曲线 C： ，当直线 l 被曲线 C 截得的弦长取得最大值时，求实数 m 的值． C．选修 4—5：不等式选讲 已知实数 x，y，z 满足 ，求 的最小值． 2 1 a b      1 1 α  =     cos 2 sin mρ θ ρ θ+ = 2cosρ θ= + 4sinθ 2 1x y z+ + = 2 2 2x y z+ +【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分，解答时应写出文字说明，证明过程 或演算步骤． 22．（本小题满分 10 分） 如图，抛物线 C： (p＞0)的焦点为 F，过点 P(2，0)作直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，当直线 l 与 x 轴垂直时 AB 的长为 ． （1）求抛物线的方程； （2）若△APF 与△BPO 的面积相等，求直线 l 的方程． 23．（本小题满分 10 分） 若有穷数列 共有 k 项(k≥2)，且 ， ，当 1≤r≤k﹣1 时恒成 立．设 ． （1）求 ， ； （2）求 ． 2 2y px= 4 2 { }na 1 1a = 1 2( ) 1 r r a r k a r + −= + 1 2k kT a a a= + + + 2T 3T kT盐城市 2020 届高三年级第四次模拟考试 数学参考答案 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分． 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8．充分不必要 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题：本大题共 6 小题，计 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内． 15 ． 解 析 ： （ 1 ） 因 为 的 最 小 值 是 － 2 ， 所 以 M ＝ 2． ………………………………2 分 因为 的最小正周期是 ，所以 ， ………………………………4 分 又由 的图象经过点 ，可得 ， ， 所以 或 ，k∈Z， 又 ， 所 以 ， 故 ， 即 ．………………………………6 分 （2）由（1）知 ，又 ， ， 故 ，即 ， 又因为△ 中， ， 所 以 ， ，…………………10 分 所以 1− 10 4 3 12 4 5 8 2 299 3 2π 21 e+ 2 175 8 3 ( )f x ( )f x 2π 1ω = ( )f x ( ,1)3N π ( ) 13f π = 1sin( )3 2 ϕπ + = 23 6kϕ π π+ = π + 23 6kϕ π 5π+ = π + 0 ϕ< < π 2 ϕ π= ( ) 2sin( )2f x x π= + ( ) 2cosf x x= ( ) 2cosf x x= 8( ) 5f A = 10( ) 13f B = 8 102cos ,2cos5 13A B= = 4 5cos ,cos5 13A B= = ABC , (0, )A B π∈ 2 24 3sin 1 cos 1 ( )5 5A A= − = − = 2 25 12sin 1 cos 1 ( )13 13B B= − = − = cos cos[ ( )] cos( )C A B A Bπ= − + = − + (cos cos sin sin )A B A B= − −． ………………………………14 分 16．证明：(1)设 ，连结 ， 因为底面 是菱形，故 为 中点， 又 因 为 点 是 的 中 点 ， 所 以 ． ………………………………2 分 又 因 为 平 面 BDE ， 平 面 BDE ， 所 以 平 面 BDE．………………………………6 分 (2) 因为平面 平面 ， ，平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． ………………………………9 分 又 平面 ，所以 ． ∵ 是菱形，∴ ， 又 ， ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ． ………………………………12 分 又 平面 ，所以平面 平面 ． ………………………………14 分 17．解析：连接 CM，设 ，则 ， ， ， ， 设 新 建 的 道 路 长 度 之 和 为 ， 则 ，……6 分 由 得 ，设 ， ， 4 5 3 12 16( )5 13 5 13 65 = − × − × = AC BD O= OE ABCD O BD E PC //AP OE OE ⊂ AP ⊄ //AP PBC ⊥ ABCD PC BC⊥ PBC  =ABCD BC PC ⊂ PBC PC ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD PC BD⊥ ABCD AC BD⊥ PC BD⊥ AC PC C= AC ⊂ PAC PC ⊂ PAC BD ⊥ PAC BD ⊂ BDE PAC ⊥ BDE PCM θ∠ = 1 cosPC θ= tanPM PN θ= = 110 cosOP OC PC θ= − = − 22 20 cosAB OP θ= = − ( )f θ 3( ) 2tan 30cosf PM PN AB OPθ θ θ= + + + = − + 1 10PC< ≤ 1 cos 110 θ≤ < 0 1cos =10 θ 0 0 2 πθ  ∈  ， AB P C D E O则 ， ， ， 令 得 ， …………10 分 设 ， ， 的情况如下表： + 0 - ↗ 极大 ↘ 由表可知 时 有最大值， 此 时 ， ， ， ． ………………………………13 分 答 ： 新 建 道 路 长 度 之 和 的 最 大 值 为 千 米． ………………………………14 分 注：定义域扩展为 ，求出最值后验证也可. 18．解析：(1)因为椭圆 的短轴长为 2，所以 ， 当直线 过原点时， 轴，所以 为直角三角形， 由定义知 ，而 ，故 ， 由 得 ，化简得 ， 故椭圆的方程为 ． ………………………………4 分 （2）①设直线 ，代入到椭圆方程得： ， 设 ，则 ， ………………………………6 分 0(0 ]θ θ∈ ， 0 3sin = 1110 θ 2 2 3sin( ) cosf θθ θ −′ = ( ) 0f θ′ = 2sin = 3 θ 1 2sin = 3 θ 1 0(0 ]θ θ∈ ， , ( ), ( )f fθ θ θ′ θ 1(0 )θ， 1 θ 1 0( ]θ θ， ( )f θ′ ( )f θ 1=θ θ ( )f θ 2sin = 3 θ 5cos = 3 θ 2tan = 5 θ ( )=30 5f θ − 30 5− (0, )2 π 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > =1b AB xPQ ⊥ 21FPF∆ aPFPF 221 =+ 21 3PFPF = aPFaPF 2 1 2 3 21 == ， 2 21 2 2 2 1 FFPFPF += )1(44 144 1 4 9 22222 −+=+= aacaa 22 =a 12 2 2 =+ yx )1(: −= xkyPQ 0)22(4)21( 2222 =−+−+ kxkxk ),(),,( 2211 yxQyxP 2 2 212 2 21 21 22,21 4 k k kxx + −=+=+所以 ， 化简可得 ， ………………………………10 分 解得： 或 ，即为直线 PQ 的斜率． ………………………………12 分 ②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时， ， 当两条直线与坐标轴都不垂直时， 由①知 ，同理可得 ， ………………………………14 分 故 ， 当且仅当 即 时取等号． 综 上 ， 的 最 小 值 为 ． ………………………………16 分 19 ． 解 析 ： (1) 由 数 列 是 数 列 得 ， 可 得 ．………2 分 (2)由 是 数列知 恒成立，取 得 恒成立， 当 时满足题意，此时 ， 当 时，由 可得 ，取 得 ， 设公差为 ，则 解得 或者 ， 综上， 或 或 ，经检验均合题意．………………………………8 分 (3)方法一:假设存在满足条件的 数列 ，不妨设该等比数列 的公 比为 ， )3)(3( )]3)(1()3)(1[( 33 21 1221 2 2 1 1 21 −− −−+−−=−+−=+ xx xx x y x ykk 15 2 78 2 221 =+=+ k kkk 1=k 8 7=k 1 2 3 4( )( ) 0k k k k+ + = 78 2 221 +=+ k kkk 243 78 2 k kkk + −=+ 225 4 1131256 4 113)1(56 4 1135656 4))(( 2 2 2 2 24 2 4321 −= +×× −≥ ++ −=++ −=++ kkkkkk kkkkk 2 2 1 kk = 1±=k 1 2 3 4( )( )k k k k+ + 225 4− { }na (1)P 3,1 6212326 ==== aaaaaa 3 1 3 =a { }nb (2)P 2mn m nb b b= 1m = nn bbb 12= 0,01 == nbb 0=nb 01 ≠b 2 11 2bb = 2 1 1 =b 2m n= = 2 24 2bb = d 2)2 1(232 1 dd +=+ 0=d 2 1=d 0=nb 2 1=nb 2 nbn = ( )P k { }nc 2020 2021 2022c c c， ， ，… q则有 ，可得 ， ① ，可得 ，② 综上①②可得 ， ………………………………10 分 故 ， 代 入 得 ， 则 当 时 ，…………12 分 又 ， 当 时，不妨设 ， 且 为奇数， 由 ， 而 ，所以 ， ， ， 综 上 ， 满 足 条 件 的 数 列 有 无 穷 多 个 ， 其 通 项 公 式 为 ．………………………………16 分 方法二:同方法一得，当 时 ， 当 时， ，而 ， ，故 ，以下同方法 一． 方法三:假设存在满足条件的 数列 ，显然 的所有项及 k 均不为零， ， 不妨设该等比数列 的公比为 ， 当 时 ， ， ， 两 式 相 除 可 得 ， 故 当 时 也 为 等 比 数 列， ………………………………10 分 故 ， 则 ， ， 由 得 ， 且 当 时 20202020 202020202020 20202020202020202020 ckcqcckcc ⋅=⋅⇒⋅= −⋅ ⋅ 2020 202020202020 kcq =−⋅ qckcqcckcc ⋅⋅=⋅⇒⋅= −⋅ ⋅ 20202020 202020212020 20202021202020212020 2020 202120212020 kcq =−⋅ 1=q 202020202020 cc =⋅ 2020202020202020 ckcc ⋅=⋅ kc 1 2020 = 2020≥n kcn 1= kcckcc 1 1202012020 =⇒⋅= 20201 ， 3( 1)( ) ( )xf x g xx −′ = 2 1 03 a + ≥ 3 2a ≥ − ( ) 0g x > ( )f x (0,1) (1,+ )∞ 1x = ( )f x 22( 1) 4 03 a∆ = + − < 9 3 2 2a− < < ( ) 0g x > ( )f x (0,1) (1,+ )∞ 1x = ( )f x 22( 1) 4 03 a∆ = + − = 9= 2a − 3 2a = ( )f x (0,1) (1,+ )∞ 1x = ( )f x 22( 1) 4 03 a∆ = + − > 9 2a < − 3 2a > 9 2a < − ( )g x 1 2,x x 1 2 1x x = 1 20 x x< < 2(1) 3 03 ag = + < 1 20 1x x< < < 1 2 3( ) ( )( 1)( )f x x x x x xx ′ = − − − 1(0, )x x∈ ( ) 0f x′ < 1( ,1)x x∈ ( ) 0f x′ > 2(1, )x x∈ ( ) 0f x′ ( )f x 1(0, )x 1( ,1)x 2(1, )x 2( , )x +∞ 1x = ( )f x 9 2a < − 9 2a ≥ − ( )f x (0,1) (1, )+∞ ( )f x ( )f x (1) 1 0f a= − < 1a > 3 2( ) 3ln 2 3ln 2f x x x ax ax x ax= − + + − > − − 1( ) 3ln 2f aa > − a e> 1( ) 0f a > ( )f x (0,1) 2x > 3 3( ) 3ln ( 2) 3lnf x x x ax x x x= − + + − > − + 3( ) 3lnx x xϕ = − + (1, )+∞ 3( ) 3 0f e e> − + > ( )f x (1, )+∞ a e> ( )f x 9 2a < − ( )f x 1(0, )x 1( ,1)x 2(1, )x 2( , )x +∞ 10 1x< < 3 1 1 1 1 1( ) 3ln ( 2) 0f x x x ax x= − + + − > ( )f x ( )f x m 2 1 131 1 1 aA b α      = =            2 3 1 3 a b + =  + = 1 2 a b =  = A 21 2( ) ( 1) 42 1f λλ λλ − −= = − −− − ( ) 0f λ = 3λ = 1λ = −当 时， ，令 ，则 ， 所以矩阵 的另一个特征值为 ，对应的一个特征向量为 ． …………10 分 21B．解：由题意知直线 的直角坐标方程为 ， …………2 分 又曲线 的极坐标方程 ，即 ， 所以曲线 的直角坐标方程为 ， 所以曲线 是圆心为 的圆， …………8 分 当直线 被曲线 截得的弦长最大时，得 ，解得 ． …………10 分 21C．解：由柯西不等式有 ， …………6 分 所以 (当且仅当 即 ， 时取等号)， …………8 分 所以 的最小值是 ． …………10 分 22．解：（1）当直线 与 轴垂直时 的长为 ，又 ，取 ，…………1 分 所以 ，解得 ，所以抛物线的方程为 ． …………2 分 （2）由题意知 ， ， 因 ，所以 ， …………4 分 当 时，直线 与抛物线不存在两个交点，所以 ， 故设直线 的方程为 ，代入抛物线方程得 ， 所以 ， ， …………6 分 当 时， ， ，所以 ， ， 1λ = − 2 2 0 2 2 0 x y x y − − = − − = 1x = 1y = − A 1− 1 1    −  l 2 0x y m+ − = C 2cos 4sinρ θ θ= + 2 2 cos 4 sinρ ρ θ ρ θ= + C 2 2 2 4 0x y x y+ − − = C (1,2) l C 1 2 2 0m+ ⋅ − = 5m = 2 2 2 2 2 2 2(1 1 2 )( ) ( 2 ) 1x y z x y z+ + + + ≥ + + = 2 2 2 1 6x y z+ + ≥ 1 1 2 x y z= = 1 6x y= = 1 3z = 2 2 2x y z+ + 1 6 l x AB 4 2 (2,0)P (2,2 2)A 2(2 2) 2 2p= ⋅ 2p = 2 4y x= 1 1 2 2APF A AS FP y y∆ = ⋅ ⋅ = 1 2BPO B BS OP y y∆ = ⋅ ⋅ = APF BPOS S∆ ∆= 2A By y= 0ABk = AB 0ABk ≠ AB 2x my= + 2 4 8 0y my− − = 4A By y m+ = 8A By y = − 0, 0A By y> < 2A By y= − 22 8By− = − 2By = − 2 14 B B yx = =所以 ，直线 的方程为 ， …………8 分 当 时，同理可得直线 的方程为 ， 综上所述，直线 的方程为 ． …………10 分 23．解：（1）当 时， ，由 ，得 ， ， ……1 分 当 时， 或 ，由 ，得 ， 由 ，得 ， ． …………3 分 （2）因 ，由累乘法得 ， 所以 ， ………5 分 所以 ， ………6 分 当 时， 也适合 ， 所以 ， ………8 分 即 ， 所以 ． ………10 分 2PBk = AB 2 4 0x y− − = 0, 0A By y< > AB 2 4 0x y+ − = AB 2 4 0x y± − = 2k = 1r = 2 1 2(1 2) 11 1 a a −= = −+ 2 1a = − 2 0S = 3k = 1r = 2 2 1 2(1 3) 21 1 a a −= = −+ 2 2a = − 3 2 2(2 3) 2 2 1 3 a a −= = −+ 3 4 3a = 3 1 3S = 1 2( ) 1 r r a r k a r + −= + 32 1 1 2 2(1 ) 2(2 ) 2( ) 2 3 1 r r aa a k k r k a a a r + − − −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ +  1 ( 1) ( 2) ( ) !( 2) ( 2)2 3 1 ( 1)!( 1)! r r r k k k r ka r k r k r+ − − −= − ⋅ ⋅ ⋅ = −+ + − − 1 1 1 1 ( 2)2 r r r ka Ck + + + = −− 0r = 1 1a = 1 1 1 1 ( 2)2 r r r ka Ck + + + = −− 1 1 2 21 [ ( 2) ( 2) ( 2) ]2 k k k k k kS C C Ck = − + − + + −−  0 0 1 1 2 21 [ ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 1]2 k k k k k k kS C C C Ck = − + − + − + + − −−  1 1[(1 2) 1] [1 ( 1) ]2 2 k k kS k k = − − = − −−