数学Ⅰ卷 第 1 页（共 4 页）
I ← 1
While I < 6
I ← I +2
S ←2I +3
End While
Print S
（第 4 题）
南通市 2020 届高三适应性练习
数 学 Ⅰ
参考公式：
样本数据 的方差 ，其中 ．
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答题卡相应位
置上．
1． 已知集合 ， ，则集合 = ▲ ．
2． 已知复数 （i 为虚数单位），则复数 z 的模为 ▲ .
3． 现有 5 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录
如下：10，11，12，13，14，则康复时间的方差为 ▲ .
4． 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，则最后输出的 的值
是 ▲ ．
5． 一张方桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B，C，D 三人随机坐到其他三个
位置上，则 A 与 B 相对而坐的概率为 ▲ ．
1 2 nx x x， ， ， 2 2
1
1 ( )
n
i
i
s x xn =
= −∑
1
1 n
i
i
x xn =
= ∑
{ }1 3=A ， { }2| 2 0B x x x= − < A B
(1 i) 4 3iz − = −
S
（第 5 题）
c
b
a
（第 6 题）
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1． 本试卷共 4 页，包含填空题（共 14 题）、解答题（共 6 题），满分为 160 分，考试时间
为 120 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2． 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写
在答题卡上。
3． 作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位
置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。数学Ⅰ卷 第 2 页（共 4 页）
B C
D
E
F
A
（第 14 题）
6． 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若 ，则
的值为 ▲ ．
7． 将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得函数为偶函数，则 的
最小正值是 ▲ ．
8． 已知 是等比数列， 是其前 项和．若 ， ，则 的值为
▲ ．
9． 过双曲线 的右焦点 F 作渐近线的垂线，垂足为 P．若△POF 的面积
为 ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
10．已知直线 经过点 ，则 的最小值是 ▲ ．
11．过年了，小张准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心．为了美观起见，售货员用彩绳
对点心盒做了一个捆扎（如图（1）所示），并在角上配了一个花结．彩绳与长方体点
心盒均相交于棱的四等分点处．设这种捆扎方法所用绳长为 l1，一般的十字捆扎（如
图（2）所示）所用绳长为 l 2．若点心盒的长、宽、高之比为 2:2:1，则 的值为
▲ ．
12．已知函数 ，则不等 式的解集是 ．
13．已知 A(x1，y1)、B(x2，y2)为圆 M： 上的两点，且 ，设
为弦 AB 的中点，则 的最小值为 ▲ ．
14．已知等边 的边长为 1，点 D，E，F 分别在边 AB，BC，AC
上，且 ．若 AD=x，CE=y，则 的取值
， ，a b c λ µ λ µ= + ∈R（ ， ）a b c λ µ+
( )π( ) sin 2 3f x x= + ϕ ϕ
{ }na nS n 3 14 12a a− = 4 217S S= 2a
22
2 1( 0)5
yx bb
− = >
5
8 0ax by+ − = ( )a b∈， R (1 2)−， 12 4
a
b
+
1
2
l
l
( )f x x= 2( 2) ( )f x f x− >
2 2 4x y+ = 1 2 1 2
1
2x x y y+ = − 0 0( )P x y，
0 0|3 4 10 |x y+ −
ABC△
ADF DEFS S=△ △
1
3 ABCS= △
y
x
（第 11 题）数学Ⅰ卷 第 3 页（共 4 页）
范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
15．（本小题满分 14 分）
在 中，角 所对的边分别为 a，b，c， ．
（1）若 面积为 ，求 ab 的值；
（2）若 ，求 ．
16．（本小题满分 14 分）
如图，已知 EA 和 DC 都垂直于平面 ABC，AB=AC＝BC=AE=2CD，F 是 BE 的中
点．
（1）若 G 为 AF 中点，求证：CG∥平面 BDE；
（2）求证：AF⊥平面 BDE．
17．（本小题满分 14 分）
如图，某度假村有一块边长为 4 百米的正方形生态休闲园 ABCD，其内有一以正方形
中心 O 为圆心， 百米为半径的圆形观景湖．现规划修建一条从边 AB 上点 P 出发，
穿过生态园且与观景湖相切的观赏道 PQ（其中 Q 在边 AD 上）．
（1）设 ，求观赏道 PQ 的长 l 关于 的函数关系式 ；
（2）试问如何规划设计，可使观赏道 PQ 的长 l 最短？
ABC△ A B C， ， sin sin sin sin
sin sin sin
B C B A
A B C
− −= +
ABC△ 3
2 23 c b a+ = cos A
2
APQ θ∠ = θ ( )f θ
G
（第 16 题）
B
D
F
E
C A
（第 17 题）
θ
P
Q
O
A B
CD数学Ⅰ卷 第 4 页（共 4 页）
18．（本小题满分 16 分）
如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 的离心率为
，点 在椭圆 C 上．若直线 与椭圆 C 有且只有一个公共点 ，且 与直线
相交于 ．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）当直线 的斜率为 时，求直线 的方程；
（3）点 T 是 x 轴上一点，若总有 ，
求 T 点坐标．
19．（本小题满分 16 分）
设 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 且 满 足 ， ，
．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）记 ， ．
① 求 Tn；
② 求证： ．
20．（本小题满分 16 分）
已知函数 ， ．
22
2 2 1( 0)yx a b
a b
+ = > >
2
2 ( )21 2
， l P l 2−=x
Q
l 2
1 l
0 PT QT⋅ =
1( 2) 0n nn S nS n−− − + = N 2n n∗∈ ，≥
2 2a =
2 2
1
1 11i
i i
b a a +
= + +
1
( 1)
n
n i
i
T b
=
= −∑
1 1ln lnn n nT T T+ +<
2( ) (1 )f x ax a x= − + − 21( ) ln 2g x x x ax x= − −
（第 18 题）
P
O x
y
Q数学Ⅰ卷 第 5 页（共 4 页）
（1）若函数 f(x)与 g(x)在 上均单调递减，求实数 a 的取值范围；
（2）当 （其中 e 为自然对数的底数）时，记函数 的最小值为 m．
求证： ；
（3）记 ，若函数 h(x)有两个不同零点，求实数 a 的取值范
围．
南通市 2020 届高三适应性练习
数学Ⅱ（附加题）
21．【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两题，并在答题卡相应的答题区域
内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步
骤．
A．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
已知 ，矩阵 的特征值 所对应的一个特征向量为 ．
（1）求矩阵 ；
（2）若曲线 ： 在矩阵 对应的变换作用下得到另一曲线 ，
求曲线 的方程．
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
(0 )+ ∞，
( e 0]a∈ − ， ( )g x
31 2em− < −≤
( ) ( ) ( ) 2lnh x g x f x x′= − −
a b∈， R 1
3
a
b
= M 3λ = 1
1
M
1C 29 2y x x= − M 2C
2C
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21~23 题）。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分
钟。考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写
在答题卡上，并用 2B 铅笔正确填涂考试号。
3．作答试题必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位
置作答一律无效。如有作图需要，可用 2B 铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。数学Ⅰ卷 第 6 页（共 4 页）
在平面直角坐标系 中，已知直线 的参数方程为 （t 为参数）．在
以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 ，
求直线 被曲线截得的弦长．
C．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知 x，y，z 是正实数，且 ，求证： ．
【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答
时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．(本小题满分 10 分)
如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点 A（0，1），点 B 在直线 上，点 T
满足 ∥ ， ，T 点的轨迹为曲线 C．
（1）求曲线 C 的方程；
（2）过点 P 的直线交曲线 C 于点 ，分别过 M，N 作直线 的垂线，
垂足分别为 ．
① 若 ，求实数 的值；
② 点 关于 轴的对称点为 （与 不重合），求证：直线 过一定点，并
求出这个定点的坐标．
23．(本小题满分 10 分)
已知数列 满足： ．
（1）证明： ；
（2）证明： ．
xOy l
3 12
1
2
x t
y t
= +
=
，
x C 4cosρ θ=
l
=5x y z+ + 2 2 22 10≥x y z+ +
: 1l y =-
TB OA ( )2AB AB TB^ -
( )( )0 0t t， > M N， l
1 1M N，
1 1 90M PNÐ = ° t
M y Q N NQ
}{ na 1
1| |n na a nn
∗
+ − ∈N≤ ，
| |n k n
ka a n kn
∗
+ − ∈≤ ， ， N
2 2
1
( 1)| | 2m i
m
i
m ma a m ∗
=
−− ∈∑ ≤ ， N
x
y
A
T
B
O
（第 22 题）数学Ⅰ卷 第 7 页（共 4 页）
南通市 2020 届高三适应性练习
数学模拟考试参考答案及评分细则
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．
1． ； 2． ； 3． 2； 4． 17；
5． ； 6． 0； 7． ； 8． ；
9． ； 10． 32； 11． ； 12． ；
13． ； 14． ．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分．
15．【解】（1）因为 ，
在 中，由正弦定理 ，
得 ，化简得 ， ……3 分
在 中，由余弦定理得， ， ……4 分
因为 ，所以 ，
又 面积为 ，可得 ，所以 . ……7 分
（2）因为 ,
{ }1 5 2
2
1
3
5
12
π 4±
3 5
5
2
2 -21（ ，）
5 710 2
− 1 30 22 2
， ，
(sin sin )(sin sin ) sin (sin sin )B C B C A B A+ − = −
ABC sin sin sin
a b c
A B C
= =
( )( ) ( )b c b c a b a+ − = − 2 2 2a b c ab+ − =
ABC
2 2 2 1cos 2 2
a b cC ab
+ −= =
(0, )C π∈
3
πC =
ABC 3 1 sin 32 ab C = 4ab =
2 23 c b a+ =数学Ⅰ卷 第 8 页（共 4 页）
在 中，由正弦定理 ,所以
因为 ，所以 ……9 分
由（1）得 ，所以 ，
化简得 ，所以 . ……11 分
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 . ……14 分
16．（本小题满分 14 分）
证明：（1）取 EF 中点 Q，连结 GQ，
因为 G 为 AF 中点，
所以 GQ∥AE，且 . ……2 分
因为 EA 和 DC 都垂直于平面 ABC，
所以 CD∥AE，又 AE=2CD，
所以 GQ∥CD，且 .
所以四边形 CDQG 为平行四边形，
所以 CG∥DQ， ……4 分
又 平面 BDE， 平面 BDE，
所以 CG∥平面 BDE． ……6 分
（2）取 AB 中点 P，连结 FP，CP，
因为 F 是 BE 的中点，
所以 FP∥AE，且 .
因为 EA 和 DC 都垂直于平面 ABC，
ABC sin sin sin
a b c
A B C
= = 2 sin sin 2sin3 C B A+ =
A B C π+ + = 2 sin sin( ) 2sin3 C A C A+ + =
3
πC = 2 sin sin( ) 2sin3 3 3
π πA A+ + =
3 3 3sin cos2 2 2A A− = 1sin( )6 3
πA − =
20 3A π< <
6 6 2
π π πA− < − <
2 2 2cos( ) 1 sin ( )6 6 3
π πA A− = − − =
2 2 3 1 1 2 6 1cos cos ( )6 6 3 2 3 2 6
π πA A
− = − + = ⋅ − ⋅ =
1
2GQ AE=
GQ CD=
CG ⊄ DQ ⊂
1
2FP AE=数学Ⅰ卷 第 9 页（共 4 页）
所以 CD∥AE.
又 AE=2CD，所以 CD∥PF，且 CD=PF，
所以四边形 CDFP 是平行四边形.
所以 CP∥DF. ……8 分
因为 AC＝BC，P 为 AB 中点，
所以 CP⊥AB，所以 DF⊥AB.
因为 EA 垂直于平面 ABC， 平面 ABC，
所以 CP⊥AE，所以 DF⊥AE. ……10 分
因为 ， 平面 ABE，
所以 DF⊥平面 ABE. 因为 平面 ABE，
所以 DF⊥AF. ……12 分
因为 AB=AE，F 是 BE 的中点，
所以 AF⊥BE.
因为 ， 平面 BDE，
所以 AF⊥平面 BDE. ……14 分
17．（本小题满分 14 分）
解：（1）以点 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，
所以直线 PQ 的方程为 ，
即 . ……3 分
因为直线 PQ 与圆 O 相切，
所以圆心到直线 PQ 的距离为 ，
化简得 ， ……5 分
CP ⊂
AB AE A= AB AE ⊂，
AF ⊂
BE DF F= BE DF ⊂，
(2 2)O ， ( cos 0)P l θ， (0 sin )Q l θ，
sin ( cos )cos
ly x ll
θ θθ= −−
sin cos sin cos 0x y lθ θ θ θ⋅ + ⋅ − =
2 2
2sin 2cos sin cos 2
sin cos
ld
θ θ θ θ
θ θ
+ −= =
+
2sin 2cos sin cos 2 0lθ θ θ θ+ − − =数学Ⅰ卷 第 10 页（共 4 页）
解得 ，
， . ……7 分
（2）因为 ，
则 ，……9 分
因为 ，所以 ，
所以
令 ，得 ， ……11 分
则 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
所以 时， 取得最小值为 百米.
答：设计成 时，可使观赏道 PQ 的长 l 最短. ……14 分
18．（本小题满分 16 分）
【解】（1）设椭圆的焦距为 2c，
由题意，得
解得 所以椭圆的方程为 ． ……3 分
（2）由题意，设直线 的方程为 ，
2sin 2cos 2
sin cosl
θ θ
θ θ
+ −=
2sin 2cos 2( ) sin cosf
θ θθ θ θ
+ −= π 5π
12 12
θ ∈ ，
2sin 2cos 2( ) sin cosf
θ θθ θ θ
+ −=
( )2
(cos sin )( 2 sin 2 cos 2 2sin cos )( )
sin cos
f
θ θ θ θ θ θθ
θ θ
− + − −′ =
π 5π
12 12
θ ∈ ， 2 sin 2 cos 2 0θ θ+ − ≤
2 sin 2 cos 2 2sin cos 0θ θ θ θ+ − − <
( ) 0f θ′ = π
4
θ =
π π
12 4
θ ∈ ， ( ) 0f θ′ < ( )f θ
π 5π
4 12
θ ∈ ， ( ) 0f θ′ > ( )f θ
π
4
θ = ( )f θ 2 2
π
4APQ∠ =
2 2
2 2 2
1 1+ =1
2
2
2
.
a b
c
a
a b c
=
= +
，
，
2
1.
a
b
= =
， 2 2 12
x y+ =
l mxy +=
2
1数学Ⅰ卷 第 11 页（共 4 页）
联立方程组 得 ，
因为直线 与椭圆有且只有一个公共点，
所以 解得 ，
所以直线 l 的方程为 ． ……6 分
（3）当直线 的斜率不存在时， 与直线 无交点，不符合题意，
故直线 的斜率一定存在，设其方程为 y=kx+m，
由 得 ，
因为直线 l 与椭圆有且只有一个公共点，
所以 ，
化简得： ， ……8 分
所以 ，即 ，
因为直线 与直线 相交于 ，所以 ，……10 分
设 ，
所以 ，
即 对任意的 k,m 恒成立， ……14 分
所以 ，即 ，
所以点 坐标为 . ……16 分
19．（本小题满分 16 分）
解：（1）因为 ，
所以 时， ，即 .
2 2
1
2
12
y x m
x y
= +
+ =
，
，
04443 22 =−++ mmxx
l
( )2 216 12 4 4 0m m∆ = − − = 6
2m = ±
2
6
2
1 ±= xy
l l 2−=x
l
2 2 12
y kx m
x y
= + + =
，
，
( ) 022412 222 =−+++ mkm
( )( )2 2 2 216 8 1 2 1 0k m m k∆ = − − + =
2 22 1m k= +
4 12 ,P P P
kx y kx mm m
= − = + =
−
mm
kP 1,2
l 2−=x Q )2,2( kmQ −−
( 0)T t，
021)2(2 =−+−−
−−=⋅
m
kttm
kTQTP
0)1(12 =+
++ ttm
k
01=+t 1−=t
T ( )0,1−
1( 2) 0n nn S nS n−− − + =
2n = 1 1S = 1 1a =数学Ⅰ卷 第 12 页（共 4 页）
因为 时， ，
即 .
n=1 时也适合该式.
所以 时， ，
，
两式相减得 ，
则 ，
两式相减得 .
所以 ，
所以 .
所以数列{an}为等差数列.
因为 ， ，所以公差 ，
所以 . ……4 分
（2）①因为 an =n，
所以
， ……6 分
所 以 ， … … 8
分
②要证 ，只要证 ，
只要证 ，即证 .……10 分
2n≥ 1( 2) 0n nn S nS n−− − + =
2 n nS na n= +
2n≥ 2 n nS na n= +
1 12 ( 1) 1n nS n a n− −= − + −
1( 2) ( 1) 1 0n nn a n a −− − − + =
1( 1) 1 0n nn a na+− − + =
1 12( 1) ( 1) ( 1) 0 2n n nn a n a n a n− +− − − − − = ，≥
1 12 0 2n n na a a n− +− − = ，≥
1 1n n n na a a a+ −− = −
1 1a = 2 2a = 1d =
1 ( 1) 1na n n= + − × =
2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 ( 1) ( 1)1 ( 1) ( 1)i
i i i ib i i i i
+ + + += + + =+ +
( 1) 1 1 1 11 1( 1) ( 1) 1
i i
i i i i i i
+ += = + = + −+ + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 11 2 2 3 3 4 1 1 1n
nT n n n n
= − + − + − + ⋅⋅⋅+ − = − =+ + +
1 1ln lnn n nT T T+ +< 1 1ln ln2 1 2
n n n
n n n
+ + + +
+1 +1 2 2ln ln1 1
+1 +21 11
n n n n
n n n n
n n
n n
+ +
+ +>
− −+数学Ⅰ卷 第 13 页（共 4 页）
设 ，x>1，令 ，
则 ， ……12 分
易证 ，故 在 上恒成立.
所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 .
所以所证不等式成立. ……16 分
20．（本小题满分 16 分）
【解】（1）因为函数 在 上单调递减，
所以 解得 .
因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立. ……2 分
令 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，所以 .
故实数 a 的取值范围为 . ……4 分
（2）因为 ，所以 .
当 时， ，
+1nx n
= ln( ) 11
x xf x xx
= >− ，
2
1 ln( ) ( 1)
x xf x x
− −′ = −
1 ln 0x x− − > ( ) 0f x′ > ( )1 + ∞，
( )f x ( )1 + ∞，
1 2
1
n n
n n
+ +> +
1 2( ) ( )+1
n nf fn n
+ +>
2( ) (1 )f x ax a x= − + − (0 )+ ∞，
0
1 02
a
a
a
− ( )t x
( )e +x∈ ∞， ( ) 0t x′ < ( )t x
max
1( ) et x = 1
ea≥
[ )1 + ∞，
( ) lng x x ax′ = − 1 1( ) axg x ax x
−′′ = − =
( e 0]a∈ − ， [0 e)a− ∈ ，数学Ⅰ卷 第 14 页（共 4 页）
所以 恒成立，
所以 在（0，+∞）上单调递增.
因为 ，
所以 ，使得 .，即 .
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
从而 . ……8 分
令 ，则 .
所以 在 单调递减，
因此 ， .
所以 . ……10 分
（3） 因为 ， ，
所以 ，
即 .
所以 ，
当 时， 在 上恒成立，则 h(x)在 上单调递减，
故 h(x)不可能有两个不同的零点. ……12 分
当 时， ，令 ，
则函数 与函数 零点相同.
因为 ，令 ，
1 1( ) 0axg x ax x
−′′ = − = >
( ) lng x x ax′ = −
1 e(1) ( ) 1 0e e e
a ag a g +′ ′= − = − − = − ( )g x
2
0 0 0
min 0 0 0 0 0
ln( ) ( ) ln 2 2
ax x xm g x g x x x x x= = = − − = −
(ln 1( ) 12 e
x xx x xϕ = − ∈ ， ， ln 1( ) 02
xxϕ −′ = <
ln( ) 2
x xx xϕ = − (1 1e
，
( ) (1) 1xϕ ϕ = −≥ 1 3( ) ( )e 2exϕ ϕ< = −
31 2em− < −≤
2( ) (1 )f x ax a x= − + − 21( ) ln 2g x x x ax x= − −
2( ) ( ) ( ) 2ln ( 1) ln 1 1 2lnh x g x f x x ax a x x ax x′= − − = + − + + − − −
2( ) lnh x ax x x= − −
21 2 1( ) 2 1 ax xh x ax x x
− −′ = − − =
0a ≤ ( ) 0h x′ < (0 )+ ∞， (0 )+ ∞，
0a > 2
2
ln( ) x xh x x a x
+= − 2
ln( ) x xF x a x
+= −
( )h x ( )F x
3
1 2ln( ) x xF x x
− +′ = ( ) 1 2lnG x x x= − +数学Ⅰ卷 第 15 页（共 4 页）
则 在 上恒成立，因为 ，则
x 1
- 0 +
递减 极小值 递增
所以 的极小值为 ，
所以要使 由两个不同零点，则必须 ，
所以 a 的取值范围为 . ……14 分
因为 ， ，又 在 内连续且单调，
所以 在 内有唯一零点.
又 ，且 ，
又 在 内连续且单调，所以 在 内有唯一零点.
所以满足条件的 a 的取值范围为 . ……16 分
21．【选做题】
A．[选修 4-2：矩阵与变换]（本小题满分 10 分）
【解】（1）因为 是矩阵 的特征值 所对应的一个特征向量，
所以 ，即 ，
所以 解得
所以矩阵 ……4 分
2( ) 1 0G x x
′ = + > (0 )+ ∞， (1) 0G =
(0 1)， (1 )+ ∞，
( )F x′
( )F x
( )F x (1) 1F a= −
( )F x (1) 1 0F a= − <
( )0 1，
(1) 0F < 1( ) 0eF > ( )F x ( )0 1，
( )F x ( )0 1，
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
2 2 22 2ln2 0
2 2
a a a aa aF aa
a a
⋅ − −+
= − > = 2 1a
>
( )F x ( )1 +∞， ( )F x ( )1 +∞，
( )0 1，
1
1
1
3
a
b
= M 3λ =
1 1
1 1
λ = M 1 1 133 1 1
a
b
=
1 3
3 3
a
b
+ =
+ =
，
，
2
0
a
b
=
=
，
．
2 1
3 0
= M数学Ⅰ卷 第 16 页（共 4 页）
（2）设曲线 上任一点 在矩阵 的作用下得到曲线 上一点 ，
则 ，
所以 解得
因为 ，
所以 ，即曲线 的方程为 ． ……10 分
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
【解】曲线的直角坐标方程为 ， ……3 分
即 ，圆心 ，半径 ，
直线 的普通方程为 ， ……6 分
所以圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 被曲线 截得的线段长度 ．……10 分
C．[选修 4-5：不等式选讲]（本小题满分 10 分）
已知 x，y，z 是正实数，且 ，求证： ．
证明：由柯西不等式得 ……… 6 分
因为 ， 所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号．………………… 10 分
【必做题】第 22、23 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答
时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤．
1C 0 0( )Q x y， M 2C ( )P x y，
0
0
2 1
3 0
xx
y y
=
0 0
0
2
3
x y x
x y
+ =
=
，
，
0
0
3
2
3
yx
y x y
=
= −
，
．
2
0 0 09 2y x x= −
( )22 9 23 3 3
y yx y− = − ⋅ 2C 2y x=
2 2 4 0x y x+ − =
2 2( 2) 4x y− + = (2 0)， 2r =
l 3 1 0x y− − =
(2 0)， l 1
2d =
l C ( )2
2 2 2 12 2 2 152L r d= − = − =
=5x y z+ + 2 2 22 10≥x y z+ +
( ) ( )
2
2 22 2 2 222 1 12x y z x y z
+ + + + + +
≥
=5x y z+ + 2 2 2 5( 2 ) 252
≥x y z+ + ⋅
2 2 22 10≥x y z+ + 2a b c= =数学Ⅰ卷 第 17 页（共 4 页）
22．(本小题满分 10 分)
解:（1）设 T 的坐标为 ，则 B 为 ，
因为 A（0，1），所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以曲线 C 的方程为 ……4 分
（2）法一：由题意，直线 的斜率必存在，设为
则直线 的方程为： ，
由 可得：
设 ，
则
①因为 ，所以
因为
所以 ，所以
解得： ……6 分
②因为点 关于 y 轴的对称点为 ，所以
所以
所以直线 的方程为：
令 得：
所以直线 过定点，定点坐标为 ……10 分
（2）法二：设 ，
( ),x y ( ), 1x -
( )0, 1TB y= - - ( ), 2AB x= -
( )2AB AB TB^ - ( )2 0AB AB TB× - =
2
2 0AB AB TB- × = ( )2 4 4 4 0x y+ - + =
2 4x y= 2 4x y=
MN k
MN y kx t= +
2 4
y kx t
x y
ì = +ïí =ïî
2 4 4 0x kx t- - =
( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y
2
1 2
1 2
Δ 16 16 0
4
4
k t
x x k
x x t
ì = + >ïï + =íï × = -ïî
1 1 90M PNÐ = ° 1 1 0PM PN× =
( ) ( )1 1 1 2, 1 , , 1PM x t PN x t= - - = - -
( ) 2
1 2 1 0x x t+ + = ( ) 24 1 0t t- + + =
1t =
M Q ( )( )1 1 1 2, 0Q x y x x- + ¹
2 2
2 1
2 1 2 1
2 1 2 1
4 4
4QN
x x
y y x xk x x x x
-- -= = =+ +
NQ ( )2 1
1 14
x xy y x x-- = +
0x = ( ) 2 2
2 1 1 1 2 1 1 1 2
14 4 4 4 4
x x x x x x x x xy y t-= + = - + = =-
NQ ( )0, t-
( ) ( )2 22 , , 2 ,M m m N n n ( )m n¹
x
y
P
N1
M
N
M1
O数学Ⅰ卷 第 18 页（共 4 页）
因为 三点共线，所以 ，
所以 ，化简得：
因为 ，所以
①由题意： ，所以
因为 ，所以 ，所以
，
所以 ，所以 ，解得： ……6 分
②因为点 关于 y 轴的对称点为 ，所以
所以 ，
所以直线 的方程为：
令 得：
所以直线 过定点，定点坐标为 ……10 分
23．(本小题满分 10 分)
【解析】（1）证明：
． ……3 分
（2）用数学归纳法证明．
① 当 时，左边 =右边；
当 时，由（1）得左边 =右边；
② 设当 时，结论成立，即有 ， ……5 分
, ,M N P MP NPk k=
2 2
2 2
m t n t
m n
- -= ( )( ) 0mn t m n+ - =
m n¹ mn t=-
( ) ( )1 12 , 1 , 2 , 1M m N n- -
( ) ( )1 12 , 1 , 2 , 1PM m t PN n t= - - = - -
1 1 90M PNÐ = ° 1 1 0PM PN× =
( ) ( )2 , 1 2 , 1 0m t n t- - × - - =
( ) 24 1 0mn t+ + = ( ) 24 1 0t t- + + = 1t =
M Q ( )22 ,Q m m- ( )0m n+ ¹
2 2
2 2 2QN
n m n mk n m
- -= =+
NQ ( )2 22
n my m x m-- = +
0x = ( ) 22
2
n m my m mn t-= + = =-
NQ ( )0, t-
| | =n k na a+ − 1 1 2 1| ( ) ( ) ( ) |n k n k n k n k n na a a a a a+ + − + − + − +− + − + + −
1 1 2 1| | | | | |n k n k n k n k n na a a a a a+ + − + − + − +− + − + + −≤
1 1 1
1 2n k n k n
+ + ++ − + − ≤ k
n
≤
1=m 0|| 22 =−= aa
2=m |||| 4424 aaaa −+−= 2 2 2
2| | 12a a+= − =≤
km =
2 2
1
( 1)| | 2k i
k
i
k ka a
=
−−∑ ≤数学Ⅰ卷 第 19 页（共 4 页）
则当 时，
由（1）得 ，
所以 ， ……8 分
所以
所以 时结论成立．
由①②可知原不等式成立． ……10 分
1+= km ∑+
=
−+
1
1
22 || 1
k
i
ik aa
|| 22
1
22 1 ikkk aaaa
k
i
−+−= ∑
=
+ 12 2
1
| |k k
k
i
a a+
=
−∑≤ ∑
=
−+
k
i
ik aa
1
22 ||
|| 22 1 kk aa −+ || 222 kkk aa −= +
2 12
k
k
=≤
12 2
1
| |k k
k
i
a a k+
=
−∑ ≤
∑+
=
−+
1
1
22 || 1
k
i
ik aa 2 2
1
| |k i
k
i
k a a
=
+ −∑≤
( 1)
2
k kk
−+≤ ( 1)[( 1) 1]= 2
k k+ + −
1+= km
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