江苏省黄桥中学 2020 届高考模拟卷 1
一、填空题（请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知集合 A={1，4}，B={a-5，7}．若 ，则实数 的值是________．
2．已知 是虚数单位．若 ，则 a+b 的值为________．
3．已知一组数据 1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是________．
4．函数 的定义域是________．
5．已知一个算法的流程图如图，则输出的结果 S 的值是________．
6．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具）
先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和小于 10 的概率是________．
7．已知双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的渐近线为________．
8．如图，在三棱柱 中，D，E，F 分别是 AB，AC，AA1 的中点，设三棱锥 F-ADE
的体积为 V1，三棱柱 的体积为 V2，则 ________．
9．设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 ________．
10．将函数 的图象向左平移 个单位后，恰好得到函数的 y=-sin2x
的图象，则 的最小值为________．
11．已知函数 ，则关于 x 的不等式 的解集为
{ }4A B = a
i ( )3 ,i a bi a b R= + ∈
2 6y x x= − −
( )2 2
2 1 02
x y aa
− = > 3a
1 1 1A B C ABC−
1 1 1A B C ABC− 1 2V : V =
nS { }na n 2 8 4a a+ = 2 2
7 3 32a a− = 10S =
( ) sin 2 3
πf x x = +
( )0ϕ ϕ >
ϕ
( )
2 2 , 2
1 1, 22
x x x
f x
x x
− ≤= − >
( ) ( )1f x f x− < −
________．
12．如图，在△ABC 中， ， ，CD 与 交于点 ，AB=2，AC=4，
，则 的值为________．
13．圆 与曲线 相交于 A，B，C，D 点四点，O 为坐标原点，
则 ________．
14．在锐角三角形 ABC 中，若 sinA=2sinBsinC，则 sin2A+sin2B 的最大值为________．
二、解答题（请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知向量 ， ．
（1）当 时，求 的值；
（2）设函数 ，且 ，求 的最大值以及对应的 x 的值．
16．如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ，D，E 分别是 AC，A1B 的中点．
（1）求证： 平面 BCC1B1；
（2）若 ，求证：平面 平面 ．
17．从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长
达两千多年的货币．如图 1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心
圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同
治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图 2 所示，小
圆直径 1 厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），
每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的
字．设 ，五个正方形的面积和为 S．
1
2AD AB= 1
3AE AC= BE P
2AP BC⋅ = AB AC⋅
2 2 6 4 0x y x y+ + − = 2 4
3
xy x
+= +
OA OB OC OD+ + + =
3sin , 4a x =
( )cos , 1b x= −
a b
tan 2x
( ) ( )2f x a b b= + ⋅ 0, 2
πx ∈
( )f x
1AA BC=
DE
AB DE⊥ 1ABC ⊥ 1 1BCC B
OAB θ∠ =
（1）求面积 S 关于 的函数表达式，并求定义域；
（2）求面积 S 最小值及此时 的值．
18．已知圆 O： 与椭圆 C： 相交于点 M（0，1），N
（0，-1），且椭圆的离心率为 ．
（1）求 r 值和椭圆 C 的方程；
（2）过点 M 的直线 l 另交圆 O 和椭圆 C 分别于 A，B 两点．①若 ，求直线 l 的
方程；②设直线 NA 的斜率为 k1，直线 NB 的斜率为 k2，问： 是否为定值，如果是，求
出定值；如果不是，请说明理由．
19．在等比数列 中，已知 ， ．设数列 的前 n 项和 ，且 ，
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明：数列 是等差数列；
（3）是否存在等差数列 ，使得对任意 ，都有 ？若存在，求出所有符
合题意的等差数列 ；若不存在，请说明理由．
20．已知函数
（1）若 在点（1，f（1））处的切线方程为 x+y+b=0，求实数 ， 的值；
θ
tanθ
( )2 2 2 0x y r r+ = > ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > >
2
2
2 3MB MA=
2
1
k
k
{ }na 1 1a = 4
1
8a = { }nb nS 1 1b = −
( )*
1
1 2,2n n na b S n n−+ = − ∈N≥
{ }na
n
n
b
a
{ }nc *n∈N n n nS c a≤ ≤
{ }nc
( ) ( ) ( )1 lnf x x x ax a R= + + ∈
( )y f x= a b
（2）证明：当 a
1b r= =
2
2
ce a
= = 2 2 2a b c= + 2a =
2
2 12
x y+ =
( )1 0y kx k= + ≠
2
2
1
12
y kx
x y
= + + =
( )2 22 1 4 0k x kx+ + =
2
2 2
4 2 1,2 1 2 1
k kB k k
− − +
+ +
2 2
1
1
y kx
x y
= +
+ =
( )2 21 2 0k x kx+ + =
2
2 2
2 1,1 1
k kA k k
− − +
+ +
因为 ，则 ，又 ，
所以 ，即直线 l 的方程为 ．
②根据① ， ，
，
，所以 为定值．
19．【答案】解：（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为： ；
（2）由（1）得，当 ， 时， ， ①
所以， ， ②
②-①得， ，
所以， ，
即 ， ， .
因为 ，由①得， ，
所以 ，
所以 ， ，
所以数列 是以-1 为首项，1 为公差的等差数列；
2 3MB MA=
2 2
4 22 32 1 1
k k
k k
− −× = ×+ + 0k ≠
2
2k = ± 2 12y x= ± +
2
2 2
4 2 1,2 1 2 1
k kB k k
− − +
+ +
2
2 2
2 1,1 1
k kA k k
− − +
+ +
2
2
1
2
1 1 11
2
1
A N
NA
A N
k
y y kk k kx x k
k
− + +− += = = = −−−
+
2
2
2
2
2 1 1 12 1
4 2
2 1
B N
NB
B N
k
y y kk k kx x k
k
− + +− += = = = −−−
+
2
1
1
2
k
k
=
{ }na q
1 1a = 4
1
8a = 3 1
8q = 1
2q =
{ }na
11
2
n
na
− =
2n≥ *n∈N
1
1
1 1
2 2
n
n nb S
−
−
+ = −
1
1 1
2 2
n
n nb S+
+ = −
1
1 1
2 2
n
n nb b+
− =
1
1 1
1 1
2 2
n n
n n
b b+
−− =
1
1
1n n
n n
b b
a a
+
+
− = 2n≥ *n∈N
1 1b = − 2 0b =
( )2 1
2 1
0 1 1b b
a a
− = − − =
1
1
1n n
n n
b b
a a
+
+
− = *n∈N
n
n
b
a
（3）由（2）得 ，所以 ，
，
假设存在等差数列 ，其通项 ，
使得对任意 ，都有 ，
即对任意 ，都有 ，③
首先证明满足③的 ，若不然， ，则 ，若 ，
（i）若 ，则当 ， 时， ，
这与 矛盾；
（ii）若 ，则当 ， 时， ，
而 ， ……，
所以 ，
故 ，这与 矛盾，
所以 ，再次证明 ，
在证明 之前，先证明下面一个结论：
当 时， ，
因为 ，
所以 在 上单调递增，
所以，当 时， ，
所以当 ， 时， ，
（i）若 时，则当 ， ， ， ，这与③矛盾，
（ii）若 时，同（i）可得矛盾，所以 ，
当 时，因为 ， ，
所以对任意 ，都有 ，所以 ， ，
综上，存在唯一的等差数列 ，
2n
n
b na
= − 1
2
2n n
nb −
−=
( )1 1 1
1 12 2 2 2 2n n n n n n
n nS a b+ + −
− = − + = − + = −
{ }nc nc dn c= +
*n∈N n n nS c a≤ ≤
*n∈N 1 1
1
2 2n n
n dn c− −− +≤ ≤
0d = 0d ≠ 0d > 0d < 0d > 1 cn d
−> *n∈N 1
11 2n nnc dn c a−= + > =≥
n nc a≤
0d < 1 cn d +> − *n∈N 1nc dn c= + < − 1 1 1 1 02 2 2n n n n n n n nS S+ − + −− = − + = ≥ 1 2 3S S S= < < 1 1nS S = −≥ 1n nc dn c S= + < − ≤ n nS c≤ 0d = 0c = 0c = 7x≥ ( ) ( )1 ln 2 2ln 0f x x x= − − >
( ) 1 1ln 2 ln 2 07f x x
′ = − > − >
( )f x [ )7,+∞
7x≥ ( ) ( )7f x f≥ 646ln 2 2ln7 ln 049
= − = >
7n≥ *n∈N 1 22n n− >
0c < 7n≥ 1n c > − *n∈N 1
1
2n n
nS cn−= − > − >
0c > 0c =
0nc =
1
1 02n n
nS −
−= ≤
11 02
n
na
− = >
*n∈N n n nS c a≤ ≤ 0nc = *n∈N
{ }nc
其通项公式为 ， 满足题设．
20．【解析】（1） ．
因为切线的斜率为-1，所以 ，解得 ．
因为 ，
所以切点为 ，代入 解得 ．
（2）令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，所以 ．
又 ，
所以 在 上有一个零点 ，
又 ，
令 ，
则 ，
所以 在 单调递减， ，
所以 ，
在 上有一个零点 ．列表如下：
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
即 在 上有两个极值点．
0nc = *n∈N
( ) 1ln xf x x ax
+′ = + +
( )1 2 1f a′ = + = − 3a = −
( )1f = ( )1 1 ln1 1 3a a+ + × = = −
( )1, 3− 0x y b+ + = 2b =
( ) ( )1ln xf x x a F xx
+′ = + + =
( ) 2 2
1 1 1xF x x x x
−′ = − =
( )F x ( )0,1 ( )1,+∞
2a < − ( ) ( )min 1 2 0F x F a= = + < ( ) e 1e lne 1 e 0e x x xx xF a − − − − += + + = + >
( )F x ( )1,+∞ 1x
( ) e 1e lne 1 e 2e
x
x x x
xF a a−+= + + = + +
( ) ( )1 e 2 2xG a a a−= − + < − ( ) 2 e 0xG a −′ = − < ( )G a ( ), 2−∞ − ( ) ( ) 22 e 3 0G a G> − = − >
( )e 1 e 2 0x xF a−= + + >
( )F x ( )0,1 2x
x ( )20, x 2x
( )2 1,x x
1x ( )1,x +∞
( )f x′
( )f x
( )y f x= ( )0,+∞
（3） ．
令 ，则 ．
令 ，则 ，
在 上单调递增， ，
所以 ， 在 上单调递增， ．
①若 ， ， ，
，
令 ，
则 ，
即 在 上单调递减，
所以 ．
②若 ， ， ，
由①知 ，
当 ， 时，
，
所以
即 ，满足题设．
③若 ， 存在唯一确定的 ，
( ) ( ) 1 1 1| 1 ln | 1 lne ex xg x x x ax x ax x
= + + = + +
( ) 1 1 lnh x x ax
= + +
( ) 2 2
ln 1x xh x x x
+′ = − + = 2
ln 1x x
x
− +
( ) ln 1x x xϕ = − + ( ) 11 0x x
ϕ′ = − ≥
( )xϕ [ ]1,e ( ) ( )1 0xϕ ϕ >≥
( ) 0h x′ > ( )h x [ ]1,e ( ) e 1, eh x a a
+ ∈ +
0a≥ ( ) 0h x ≥ ( )
11 ln
ex
x axg x
+ + =
( ) 2 2
1 1 1ln 1 ln
ex
xx x ax x xg x
+ − + − + − ′ = =
( )2 2
2
1 ln 1
0ex
x x x ax x
x
− + + − + +
≤
( ) ( )2 21 ln 1u x x x x ax x= − + + − + +
( ) ( ) ( )11 2 ln 2 1u x x x a xx
′ = − + − − + 0< ( )u x [ ]1,e ( ) ( )min 1 2 0 2u x u a a= = − + ⇒≤ ≥ e 1 ea +−≤ ( ) 0h x ≤ ( ) 11 ln ex x axg x + + = − ( ) ( )2 2 2 1 ln 1 0ex x x x ax x g x x + + + − − ′ = ≤ e 1 ea +−≤ [ ]1,ex∈ 2 2 211 1 1 1eax x x x x x − + + + + + > + + ≥ ( )21 lnx x x+ +≥
( )2 21 ln 1 0x x x ax x+ + + − − < ( ) 0g x′ < e 1 0e a +− < < ( )y h x= ( )0 1,ex ∈
使 ，当 时， ，
即存在 ， ， ．当 ，
这与 在 上单调递减矛盾，不合题意．
综上所述， ．
21.【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前
两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修 4-2：矩阵与变换]
【答案】解：由 ，得 ．
因为 ，所以 ．
所以 ．
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
【答案】解：由题意知，圆 C 的普通方程为 ，
当直线 l 的斜率不存在，即 时，易知直线 l 的方程为 ，
显然不符合题意，故直线 l 的斜率存在．
依题意知直线 l 的斜率 ，其方程为 ，
即 ，
则圆心 到直线 l 的距离 ，
解得 或 ，故 或 ．
【必做题】第 22 题、第 23 题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（1）由题意可得：目标没有被击中的概率为： ，
所以目标被击中的概率为： ．
（2）X 可能取的值为：1，2，3．
( )0 0g x = ( )1 0 ,ex x∈ ( )1 0g x >
0x [ ]1 1,ex ∈ 0 1x x< ( ) ( )0 1g x g x< ( )g x [ ]1,e [ )e 1, 2,ea + ∈ −∞ − +∞ ( ) 1 1 04 0 2 MN − = 4 0 10 2 MN = 1 0 10 2 N = 1 1 0 0 2N − = 4 0 1 0 4 0 1 0 2 0 10 2 M = = ( )2 22 2x y+ + = 2 πα = 2x = tank α= ( )2 2y k x= − + ( )2 1 0kx y k− + − = ( )2,0C − ( ) 2 2 2 1 2 1 k k d k − + − = = + 0k = 4 3k = tan 0α = 4tan 3 α = 31 1 4 64 = 1 631 64 64 − =
所以 ，
，
，
所以 X 的分布列为：
X 1 2 3
P
（3）由（2）可得：均值
．
23．【答案】解：（1）将（1，2）代入 y2=2px 得，p=2．
（2）由（1）得，y2=4x，设 ， ，
所以 ， ，
因为 CA⊥CB，所以 ，
即 ，
由题意得 a≠l，b≠l，所以 ，
直线 l 的方程为 ，将 代入，
得 ，
所以 ，
即 ，
所以动直线 l 恒过点 M（5，-2），
易知当 l⊥MC 时，点 C 到直线 l 的距离最大，最大值为
．
( ) 31 4P X = =
( ) 1 3 32 4 4 16P X = = × =
( ) 87
256V x =
( ) 1 1 13 4 4 16P X = = × =
3
4
3
16
1
16
( ) 3 3 1 211 2 34 16 16 16E X = × + × + × =
( )2 ,2A a a ( )2 ,2B b b
( )2 1,2 2CA a a= − − ( )2 1,2 2CB b b= − −
0CA CB⋅ =
( )( ) ( )( )2 21 1 4 1 1 0a b a b− − + − − =
5
1
ab a
+= − +
( )222y a x ab a
− = −+
5
1
ab a
+= − +
( ) ( )2 22 1 5 2 10a x a y a a+ − − = +
( ) ( )2 22 1 10 10 5 2 10a x a a y a+ − − = − + −
( )( ) ( )( )22 1 5 5 2a x a y+ − = − +
( ) ( )2 25 1 2 2 4 2MC = − + − − =
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