吉林省长春市2020届高三数学（文）四模试题（Word版附答案）

长春市 2020 届高三质量监测文科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 A. B. C. D. 2. 若 ，则 A. 或 B. C. 或 D. 3. 下列与函数 定义域和单调性都相同的函数是 A. B. C. D. 4. 已知等差数列 中，若 ，则此数列中一定为 的是 A. B. C. D. 5. 若单位向量 夹角为 ， ，则 A. B. C. D. 6. 《普通高中数学课程标准（2017 版）》提出了数学学科的六大核心素养. 为了比较甲、乙两 名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘 制了雷达图（如图，每项指标值满分为 5 分，分值高者为优），则下面叙述正确的是 A. 甲的数据分析素养高于乙 B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C. 乙的六大素养中逻辑推理最差 D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲 7. 命题 存在实数 ，对任意实数 ，使得 恒成立； ， 为奇函数，则下列命题是真命题的是 A. B. C. D. { | ( 2) 0}A x x x = − { 1,0,1,2,3}B = − A B = {0,1,2} { 1,3}− {1,2} {0,1,2,3} 1+(1 )i ( R), | | 2z a a z= − ∈ = a = 0 2 0 1 2 1 1y x = 2log2 xy = 2 1log ( )2 xy = 2 1logy x = 1 4y x= { }na 5 73 2a a= 0 1a 3a 8a 10a 1 2,e e 60° 1 22 −=a e e | |=a 4 2 3 1 :p 0x x 0sin( ) sinx x x+ = − :q 0a∀ > ( ) ln a xf x a x += − p q∧ ( ) ( )p q¬ ∨ ¬ ( )p q∧ ¬ ( )p q¬ ∧8. 已知函数 ，则函数 的零点个数是 A. B. C. D. 9. 已知 为锐角，且 ，则角 A. B. C. D. 10. 若双曲线 的一条渐近线被圆 截得的弦长为 ， 则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 11. 已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 A. B. C. D. 12. 在正方体 中，点 分别为棱 的中点，给出下列命 题： ① ；② ；③ 平面 ；④ 和 成角为 . 正确命题的 个数是 A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 若 满足约束条件 ，则 的最大值为___________. 14.曲线 在 处的切线与直线 垂直，则 _________. 15. 在半径为 2 的圆上有 两点，且 ，在该圆上任取一点 ，则使得△ 为锐 角三角形的概率为______. 16. 三棱锥 的顶点都在同一个球面上，满足 过球心 ，且 ，则三棱锥 体积的最大值为__________；三棱锥 体积最大时，平面 截球所得的截 面圆的面积为 __________.（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题， 每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分） {| ln |, 0( ) 2 ( 2), 0 x xf x x x x >= − + ≤ ( ) 3y f x= − 1 2 3 4 α sin( )3 tan( )3sin( )3 πα παπα + = + − α = 12 π 6 π 4 π 3 π 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 2 2 4 0x y y+ − = 2 2 3 2 2 3 2 3 3 { }na n nS 1 2a = * 1 2 ( N )n n na S nn+ += ∈ nS = 12 1n− + 2nn⋅ 3 1n − 12 3nn −⋅ 1 1 1 1ABCD A B C D− E,F,G 1 1 1 1 1, ,A D DD A B 1AC EG⊥ //GC ED 1B F ⊥ 1BGC EF 1BB 4 π 0 1 2 3 ,x y 2 2 2 0 2 2 x y y x y    + − − z x y= + ( ) 2sinf x x= 3x π= 1 0ax y+ − = a = ,A B 2AB = P PAB -A BCD BD O 2 2BD = -A BCD -A BCD ABC已知在△ 的三个内角分别为 ， ， . （Ⅰ）求 的大小； （Ⅱ）若 ，求 长. 18.（本小题满分 12 分） 2019 年入冬时节，长春市民为了迎接 2022 年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰 上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出 100 名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果 进行评估打分（满分 100 分）并且认为评分不低于 80 分的参与者擅长冰上运动，得到如图所 示的频率分布直方图： （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）将选取的 100 名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列 2×2 列联表补 充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过 0.01 的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？ （ ） 19. （本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形， ， ， 分别为 的中点， 为棱 上一点，若 . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求点 到平面 的距离. 21.（本小题满分 12 分） ABC , ,A B C 2sin sin 2 cosB A A= 1cos 3B = A 2AC = AB 30 50 100 擅长 不擅长 合计 男性 女性 合计 m 2( ) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 P k k Κ ≥ 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bc n a b c da b c d a c b d Κ −= = + + ++ + + + 其中 1 1 1ABC A B C− ABC AB BC⊥ 1 2 4AA AB= = ,M N 1 1,CC BB G 1AA 1A B ⊥ NG 1A B GM⊥ 1A MNG已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，焦距为 2，点 为椭圆上 异于 的点，且直线 和 的斜率之积为 . （Ⅰ）求 的方程； （Ⅱ）设直线 与 轴的交点为 ，过坐标原点 作 交椭圆于点 ，试证 明 为定值，并求出该定值. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 . （Ⅰ）若 为 的极值点，且 ，求 的值； （Ⅱ）求证：当 时， 有唯一的零点. （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一 题计分. 22.（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程 已 知 曲 线 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ），曲 线 的 参 数 方 程 为 （ 为参数）. （Ⅰ）求 和 的普通方程； （Ⅱ）过坐标原点 作直线交曲线 于点 （ 异于 ），交曲线 于点 ，求 的最小值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 已知函数 . （Ⅰ）若 ，解关于 的不等式 ； （Ⅱ）若当 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > ,A B P ,A B PA PB 3 4 − C AP y Q O //OM AP M 2 | | | | | | AP AQ OM ⋅ 3 21( ) 3f x x x mx m= + + + 1x ( )f x 1 2 1 2( ) ( )( )f x f x x x= ≠ 1 22x x+ 0m > ( )f x 1C { 2 2cos 2sin x y α α = + = α 2C 38 cos 4 3sin 4 x t y t π π  = +  = t 1C 2C O 1C M M O 2C N | | | | ON OM ( ) | 1| | 1|f x ax x= + + − 2a = x ( ) 9f x < 0x > ( ) 1f x > a长春市 2020 届高三质量监测（二） 数学（文科）试题参考答案及评分参考 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.【答案】A【解析】 所以选 A 2.【答案】A【解析】 故选 A 3．【答案】C【解析】 的定义域为 ，单调递减； 大豆油不符； 定义域不符； 符合； 定义域为 ，定义域不符.故 选 C. 4.【答案】A【解析】由 得 故选 A 5.【答案】C【解析】由 得 ,故选 C 6.【答案】D【解析】甲的数据分析素养低于乙; 甲的数学建模素养与数学抽象素养相当；乙 的六大素养中逻辑推理是最优之一；乙的六大素养整体平均水平优于甲。 7.【答案】A【解析】命题 正确，存在 使等式成立，如 ；命题 正确。所以选 A 8.【答案】B【解析】 如图 ，向下平移 3 个单位，只在 y 轴右侧由 2 个交点， 故选 B { | 0 2}A x x= ≤ 2 2| | 1 +(1 ) = 2 0 2z a a= − =∴ 或 1y x = (0, )+∞ 2log2 xy x= = 2 1log ( )2 xy x= = − 2 1logy x = 1 4y x= [0, )+∞ 5 73 2a a= 1 1 13( 4 ) 2( 6 ) 0a d a d a+ = + ∴ = 1 2 λ −=a e e 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2(2 ) 2 =3− − 4= = ⋅a e e e e e + e p 0x 0x π= q ( )f x9.【答案】C【解析】由条件得 ，代入选项数值得 C 对. 10. 【答案】D【解析】圆心为（0,2），圆心到渐近线距离为 ，所以渐近线与 y 轴夹角为 60 °，渐近线倾斜角没问 30°，所以 所以离心率 ,故选 D. 11.【答案】B【解析】法一：排除法： ，验证知 B 对. 法二： 由 得 所以 所以 12. 【答案】C【解析】① 对；② ，取 的中点 P，则 错；③ 与 不垂直，错；④ 和 成角为 ，对。故选 C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，16 题第一空 2 分，第二空 3 分，共 20 分） 13.【答案】4【解析】作图知可行域为三角形内部及边界，代入顶点坐标（2,2）得最大值为 4. 14.【答案】 【解析】 在 处的切线斜率为 1，所以 15.【答案】 【解析】由 ,当点 位于劣弧 之间时，△ABP 为锐角三角形，所以其概率为 . 16.【答案】 ， 【解析】设 BDC 所在球大圆，则 CO⊥BD 时，此三角形面积最大， AP⊥面 BCD 时高最大，所以三棱锥体积最大为 ，正三角形 ABC 的边长为 2，它的外接 圆半径为 ，所以截面圆面积为 . 三、解答题 17.(本小题满分 12 分) 【命题意图】 本题考查三角恒等变换，应用正余弦定理解决问题. 【 解 析 】（ 1 ） 中 ， ， ， 解得 , .(6 分) (2) sin( ) cos( )3 3 π πα α− = + 3 3 3 b a = 2 2 31 ( ) 3 be a = + = 2 36, 16a a= = 1 1 2 n n n n na S S Sn+ + += = − 1 =21 n nS S n n + + 2nnS n = 2n nS n= ⋅ 1 1 1 //AC B D EG⊥ //GC ED 1 1B C //ED PC GC C= 1B F 1GC EF 1BB 4 π 1 ( ) 2sinf x x= 3x π= 1 1a a− = − ∴ = 1 6 1 290 , 90ABP BAP∠ = ° ∠ = ° P 1 2PP 1 6 2 2 3 4 3 π 2 2 3 2 3 3 4 3 π 2sin sin 2 cosB A A= 2 2 3sinB = 22sin 3cosA A= 22(1 cos ) 3cosA A− = 1cos 2A = 3A π= 3 1 1 2 2 3+2 2( ) =3 2 32 6sinC sin A B sinAcosB cosAsinB= + = + = ⋅ + ⋅由正弦定理得 , . (12 分) 18.(本小题满分 12 分) 【命题意图】本题考查用样本估计总体的相关知识，独立性检验问题. 【解析】（1）由题意m=0.025; （4分） (2) 对照表格可知，4.762 0m− < 3 21 ( 1)3 x x m x+ = − + 3 21( ) 3f x x x mx m= + + + 1C 2 2( 2) 4x y− + = 2C 8 0x y+ − = 3tan ( )4y x πθ θ= ≠ 1C | | 4 | cos |OM θ= O 2C N 8| | sin cosON θ θ= + 8 | | 2 4sin cos | | 4 | cos | | sin cos cos | | 2 sin 2 14 ON OM θ θ πθ θ θ θ θ += = =+ + +（ ） | | | | ON OM 4 4 2 1 2 1 = − + （ ） =2a 3 1 1( ) | 2 1| | 1| 2, 12 13 , 2 x x f x x x x x x x   > = + + − = + −  − < − ， ≤ ≤ ( ) 9f x < { | 3 3}x x− < ( )f x (1) 1f > =0a ( )f x (1)=1f 0a < ( )f x (0, )a∈ +∞