吉林省吉林市2020届高三数学（理）第四次调研试题（PDF版附答案）

吉林市普通中学2019-2020学年度高中毕业班第四次调研测试理科数学参考答案与评分标准 第 1页 理科数学参考答案与评分标准 一、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D B C C A A B A B C A 二、填空题 13. 0.76 ； 14. 2492； 15. 16. 17．解： （Ⅰ）作 SO AD ，垂足为 O ，依题意得 SO  平面 ABCD ---------------------------------------------------------1 分 ,SO AB SO CD   ， 又 AB AD ， AB  平面 SAD ----------------------------------------------------------------------------------2 分 ,AB SA AB SD  利用勾股定理得 2 2 4 2 2SA SB AB     ，同理可得 2SD  . 在 SAD 中， 2, 2,AD SA SD SA SD     SD  平面 SAB --------------------------------------------------------------------------------------------------------4 分 又 SD  平面 SCD ， 所以平面 SAB  平面 SCD --------------------------------------------------------------------------------------------5 分 （2）连结 ,BO CO， SB SC ， Rt SOB Rt SOC    ， BO CO ，又四边形 ABCD 为长方形， ,Rt AOB Rt DOC OA OD      . 取 BC 中点为 E ，得OE ∥ AB ，连结 , 3SE SE  ， 其中 1OE  ， 1OA OD  ， 23 1 2OS    由以上证明可知 , ,OS OE AD 互相垂直，不妨以 , ,OA OE OS 为 , ,x y z 轴建立空间直角坐标系 --------7 分 1, 2OE OS   ，      0,1,0 , 1,1, 2 , 2,0,0DC SC BC         ， 设  1 1 1, ,m x y z 是平面 SCD 的法向量，理科数学参考答案与评分标准 第 2页 则有 0 0 m DC m SC         即 1 1 1 1 0 2 0 y x y z     ，令 1 1z  得  2,0,1m   -----------------------------------------8 分 设  2 2 2, ,n x y z 是平面 SBC 的法向量， 则有 0 0 n BC n SC         即 2 2 2 2 2 0 2 0 x x y z      令 1 1z  得  0, 2,1n  -------------------------------------10 分 则 1 1, 33 3 m ncosm n m n          所以平面 SCD 与平面 SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为 1 3 --------------------------------------------------12 分 18．解： （1）数列 为等差数列， 是数列 的前 项和，且 ， 设数列的首项为 ，公差为 ，则： ，解得： ，-------------------------2 分 所以 .因为 ① 所以当 4n  时， .② 1 ②得： ，由于 ，整理得 ( ) ---------------------3 分 经检验 =2, =2 ----------------------------------------------------------------------------------------5 分 所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.所以 ------------------------6 分 （2）证明：由（1）得 ----------------------------------------------------7 分 所以 ①， 故 ② -------------------------------8 分 1 ②得： 222 12 1......1 2 1 2 1  nnn nT = 22 1 11  nn n ---------------------------------10 分 .即 -----------------------------------------------12 分理科数学参考答案与评分标准 第 3页 19．解： （1）由表可知，该患者共 6 天的体温不低于 ，记平均体温为 ， ---------------------------------------------------------3 分 所以，患者体温不低于 的各天体温平均值为 . ----------------------------------------------------4 分 （2） 的所有可能取值为 ， ， . 10 1)0( xp ， 10 3)2(,5 3)1(  xPxP . ---------------------------------------------------------------------6 分 则 的分布列为： P -----------------------------------------------------------------------------------------7 分 所以 . ---------------------------------------------------------------------------8 分 D(X)= ---------------------------------------------------------------------------------------------------------9 分 （3）“抗生素 C”治疗效果最佳可使用理由： ①“抗生素 B”使用期间先连续两天降温 1.0 又回升 0.1 ，“抗生素 C”使用期间持续降温共计 1.2 ，说明“抗 生素 C”降温效果最好，故“抗生素 C”治疗效果最佳. ②抗生素 B”治疗期间平均体温 39.03 ，方差约为 ；“抗生素 C”平均体温 38 ，方差约为 ， “抗生素 C”治疗期间体温离散程度大，说明存在某个时间节点降温效果明显，故“抗生素 C”治疗效果最佳. “抗生素 B”治疗效果最佳可使用理由： 自使用“抗生素 B”开始治疗后，体温才开始稳定下降，且使用“抗生素 B”治疗当天共降温 0.7 ，是单日降温 效果最好的一天，故“抗生素 B”治疗效果最佳 ----------------------------------------12 分 20．解： （1）椭圆 E： ，两个焦点 ， 设 ， ， ， ------------------2 分理科数学参考答案与评分标准 第 4页 ， 的范围是 -----------------------------------------3 分 （3）设 A，B 的坐标分别为 ， ，则 两式相减， 得 ， ， 即 ，故 ------------------------------------------------6 分 （3）设 ，设直线 ，即 ， 由 的结论可知 ，代入椭圆方程得， ， --------------------8 分 由 与 ，联立得 -----------------------------10 分 若四边形 OAPB 为平行四边形，那么 M 也是 OP 的中点，所以 ， 即 ，整理得 解得， ．经检验满足题意 所以当 时，四边形 OAPB 为平行四边形 ----------------------------------------------12 分 21.解： （1）由题意得 ，令 ， 则 在 上递增，且 ， 当 时， 递减；当 时， 递增 ∴ --------------------------------------------------------------2 分 ∵ ，∴ . 当 时， 递增； 当 时， 递减， ∴ 是 的极大值点 --------------------------------------------------------------4 分理科数学参考答案与评分标准 第 5页 ∵ ，∴ . 当 时， 递减； 当 时， 递增， ∴ 是 的极小值点. ∴ 在 上有两个极值点 -----------------------------6 分 （2）证明：由（1）得 ，且 ， ∴ ， . ∴ = --------8 分 设 ---------------------------------------------------------9 分 则 ，∴ 在 时单调递减，则 ------------------10 分 ∴ ，则 . ∴ -----------------------------------------------------------------------------------------12 分 22．解： （1）由 （ 为参数），消去参数 ，得 ， 即 的普通方程为 -----------------------------------------------------2 分 由 ，得 ， 将 ， 代入，得 2 0x my   ， 即 的直角坐标方程 ------------------------------------------------4 分 （2）由 （ 为参数），可得 （ ）， 故 的几何意义是抛物线 上的点（原点除外）与原点连线的斜率. 由题意知，当 时， ，---------------------理科数学参考答案与评分标准 第 6页 则 与 只有一个交点 不符合题意，故 -----------------------------------------------6 分 把 （ 为参数）代入 ，得 设此方程的两根分别为 ， ，由韦达定理可得 ， -------------8 分 所以 -------------------------------------10 分 23．解： （1） 3 1, 1 ( ) 1,0 1 3 1, 0 x x f x x x x x          -----------------------------------------------------------------------------------3 分 在直角坐标系中作出函数 的图象如下： -------------------------------------------------------5 分 ∵当 3 1x 时， ，当 时， ， ∴根据图象可得解不等式 的解集为        13 1 xxx 或 -------------------------------6 分 （2） 当且仅当 时取等号，∴ 的最小值为 2 ------------------------------8 分 ∵不等式 对任意的 恒成立，∴只需 ， 3k ∵ ，∴ --------------------------10 分