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唐山市 2019-2020 学年度高三年级第二次模拟考试
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 则 A∩B=
A． B.
C．(2,3)
2．已知复数 为纯虚数(其中 i 为虚数单位)，则实数 a=
A．-3 B．3
D．
3．已知等差数列{an}的前 n 项和为 则
C．10 D．20
4．已知 ，则 cos2α=
A． B．
C． D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为
2| 0 , { | 2},3
xx B x xx
+ = > −
[ )2,2−
( ]. 2,3D
1
3
aiz i
+= +
1. 3C − 1
3
2 4, 4, 0,nS a a= = 5S =
. 2 .0A B−
sin 2 3
1πα + = −
7
9
− 7
9
8
9
− 8
92
A． B．3
C． D．
6．已知以抛物线 E：y2=4x 的焦点为圆心，与 E 的准线相切的
圆交 E 于 A，B 两点，则|AB|=
A．2 B．4
C．2 D．6
7．某科考试成绩公布后，发现判错一道题，经修改后重新公布，下表是抽取 10 名学生的成绩，依据这些
信息修改后的成绩与修改前的相比，这 10 名学生成绩的
A．平均分、方差都变小 B．平均分、方差都变大
C．平均分不变、方差变小 D．平均分不变、方差变大
8．若曲线 在 x=t 处的切线为 y=ax，则 t 所在的区间为
A．
2 2
10 2 3
2
2xy =
10, 2
. 11 ,2B
3
9．已知 有以下命题：
①π 为 f(x)的一个周期：②f(x)的图象关于直线 上单调;
则正确命题的个数是
A．3 B．2
C．1 D．0
10．已知向量 a，b 满足|a|=1 则 a 与 b 的夹角的最大值为
A．30° B．60°
C．120° D．150°
11．已知 若 f(x)存在最小值，则 a 的取值范围是
12．已知双曲线 的左、右焦点分别为 设过 的直线与 C 的右支相交于 A，
B 两点，且 则双曲线 C 的离心率是
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
3 3. 1, . ,22 2C D
( ) 2cos sin ,f x x x= +
( ) ,2 6 2x f x
π π π = 对称；③ 在
( ) ( ), 3 ,− ⊥ −a b a b
( ) ( )2 2 ,xf x x x a e= + +
( ). ,2A −∞ ( ]. ,1B −∞
[ ) ( ). 1,2 . 2,C D +∞
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 1 2,F F 2F
1| |AF 1 2 2 2| |,| | 2 | |,F F BF AF= =
2 3
4
3
5
34
13．已知 x，y 满足约束条件 r 若 的最大值为▲
14．在 的展开式中， 的系数是▲
15．在三棱锥 P-ABC 中 则三棱锥 P-ABC 外接球的表面积为▲
16．在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a=1，A=120°，若 λb+c 有最大值，则 λ 的取值范围
是▲
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分
17．(12 分)
已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若 求数列{cn}的前 n 项和 .
18．(12 分)
如图，在四边形 ABCD 中 , 平面 平面
ABCD，
CF=2AE．
2 0,
2 1 0,
2 0,
x y
x y
x y
− + ≥
− + ≤
+ − ≤
z x y= −
61(2 )x
x
− 3x
, 90 , 2 2,o PA PB PBAC C BC= = = =∠ =
ABC∆
1 1, 3 1, 1.n nS S a+ = + =
3 2
1
1log ,n n n
n n
b a c b b +
= = nT
,, AD AD BCAB ⊥ 2 2 2,AD AB BC AE= = = ⊥ ,ABCD CF ⊥5
(1)求证：
(2)若二面角 B-EF-D 是直二面角，求 AE．
19．(12 分)
某公司年会有幸运抽奖环节，一个箱子里有相同的十个兵乓球，球上分别标 0．1，2，…,9 这十个自然数，
每位员工有放回的依次取出三个球．规定：每次取出的球所标数字不小于后面取出的球所标数字即中奖．中
奖奖项：三个数字全部相同中一等奖，奖励 10000 元现金;三个数字中有两个数字相同中二等奖，奖励 5000
元现金;三个数字各不相同中
三等奖，奖励 2000 元现金;其它不中奖，没有奖金.
(1)求员工 A 中二等奖的概率
(2)设员工 A 中奖奖金为 X，求 X 的分布列;
(3)员工 B 是优秀员工，有两次抽奖机会，求员工 B 中奖奖金的期望.
20．(12 分)
;CD EF⊥6
已知函数
(1)求函数 f(x)的最小值
(2)若 a≥1，证明：
21．(12 分)
已知 是椭圆 上的两点，且 A 点位于第一象限.过 A 做 x 轴的垂线，垂
足为点 C，点 延长 BD 交 T 于点
(1)设直线 AB，BD 的斜率分别为 .
(i)求证： ；
(ii)证明： 是直角三角形;
(2)求 的面积的最大值.
(二)选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C： 直线 以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系.
(1)求曲线 C 与直线的极坐标方程;
(2)已知 P 为曲线 C 上一点 求 的最大值.
23．[选修 4-5：不等式选讲](10 分)
已知
( ) ln .f x x x= −
( ) 2 3 5 0af x x+ + −
( ) ( )1 1 1, , , )iA x y B x y− −
2
2. 14
xT y+ =
2 ,D AC CD= 满足 ( )2 2 .E x y
1 2,k k
1 24k k=
ABE∆
ABE∆
( )2 21 1,x y− + = : .l y x= −
, ,PH l H⊥ 于 POHS∆
, 0Rx y∈ > , 2 .x y xy+ =7
求证： ;
(2)若 求 的最小值.
(1) 0,x >若 1xy
0,x ≠ 2| | | |
yx x
+8910112
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