2020高考最后冲刺15天押题猜题全真卷数学（文科）试题（新课标解析版）

1 / 18 押题 2 2020 高考最后冲刺 15 天高考押题猜题全真卷 （新课标）文科数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．设 ，则在复平面内复数 对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】 【押题点】复数的概念及几何意义 【详解】由于 ，所以 ，对应点为 ，在第二象限.选：B 2．已知集合 ， ，则 ( ) A． B． 3 2z i= − − z 3 2z i= − − 3 2z i= − + ( )3,2− { }| 0 2A x x= < < 1 3 |log 2B x x  = 1|0 9x x <    A B = 1| 29x x < { }na nS 5 4S = 10 10S = 15S = { }na nS 5S 10 5S S− 15 10S S− 5 4S = 10 10S = 10 5 6S S− = 15 10 9S S− = 15 10 9 19S = + = 1 , , ,A B C D b a b⋅  4 / 18 的最大值为（ ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【解析】 【押题点】平面向量向量数量积的定义及几何意义 【详解】由题意知 ， ， 取最大值时，向量 在向量 方 向上的投影 最大.由图形可知，当 时，向量 在向量 方向上的投影最大. .即 的最大值为 3. 8．已知函数 图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍后，得到的函数在 上 恰有 5 个不同的 值，使其取到最值，则正实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【押题点】正弦函数的图象和性质的应用 【详解】∵函数 图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的 倍后，得到的函数为 5 10 1a = cos , cos ,a b a b a b b a b∴ ⋅ = 〈 〉 = 〈 〉         a b∴ ⋅  b a cos ,b a b〈 〉   b AC=  b a 3cos , cos , 10 3 10 a b a b a b b a b∴ ⋅ = 〈 〉 = 〈 〉 = × =         a b⋅  ( ) sin 6f x x π = +   1 ω [ ]0,2π x ω 13 8 6 3    ， 13 8 6 3     ， 31 8 12 3    ， 31 8 12 3     ， ( ) sin 6f x x π = +   1 ω 5 / 18 在 上恰有 5 个不同的 值，使其取到最值； ， ∴ ，则正实数 ， 9．半径为 2 的球 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【押题点】正三棱柱与球的切接问题与基本不等式相结合 【详解】如图所示.设正三棱柱上下底面的中心分别为 ，底面边长与高分别为 ，则 ， 在 中， ，化为 ， ， ，当且仅当 时取等号，此时 . 10．设抛物线 的焦点为 F,抛物线 C 与圆 交于 M,N 两点,若 ,则 的面积为( ) A． B． C． D． sin 6y x πω = +   [ ]0,2π x ,26 6 6x π π πω ωπ + ∈ +   9 112 ,6 2 2 π π πωπ  + ∈   13 8 6 3 ω  ∈  ， O 9 3 12 3 16 3 18 3 1 2O O， ,x h 2 3 3O A x= 2Rt OAO∆ 2 2 44 3 h x+ = 2 2416 3h x= − 3S xh= ( ) 22 2 2 2 2 2 2 129 12 12 12 4322 x xS x h x x  + −∴ = = − =   6x = 12 3S = 2: 2 ( 0)C y px p= > 2 2: ( 3) 3C x y+ − =′ | | 6MN = MNF 2 8 3 8 3 2 8 3 2 4 6 / 18 【答案】B 【解析】 【押题点】查抛物线与圆相交问题， 【详解】由题意圆 过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为 ，如图，由于 ， ，∴ ，∴ ， ，∴点 坐标为 ，代入抛物线方程 得 ， ，∴ ， ． 11．圆心在曲线 上，与直线 x+y+1=0 相切，且面积最小的圆的方程为（　　） A．x2+（y-1）2=2 B．x2+（y+1）2=2 C．（x-1）2+y2=2 D．（x+1）2+y2=2 【答案】A 【解析】 【押题点】导数的几何意义与圆的方程、点到直线的距离公式相结合 【详解】设与直线 x+y+1＝0 平行与曲线 相切的直线方程为 x+y+m＝0，切点为 P（x0， y0）． x0＞0．y′＝﹣ ，∴﹣ ＝﹣1，x0＞﹣1，解得 x0＝0．可得切点 P（0，1）,两条平行线之间 C′ M 3CM CN′ ′= = 6MN = C M C N′ ′⊥ 4C MN π′∠ = 4NOx π∠ = N ( 3, 3) 2( 3) 2 3p= × 3 2p = 3( ,0)4F 1 1 3 332 2 4 8FMN NS MF y∆ = × = × × = 1 ( 1)1y xx = > −+ 1 ( 1)1y xx = > −+ ( )2 1 1x + ( )2 0 1 1x + 7 / 18 的距离为面积最小的圆的半径；∴半径 r＝ ＝ ．∴圆心在曲线 上，且与直 线 x+y+1＝0 相切的面积最小的圆的方程为：x2+（y﹣1）2＝2．故选：A． 12．已知函数 （ ），若方程 恰有 3 个不同的根，则 的取值范 围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【押题点】函数的性质与方程的根 【详解】当 时， 即为 ，即 ，所以方程有 1 根，又方程 恰 有 3 个不同的根，所以当 时， 有 2 个根，即 有 2 个根，所以 与 的图象有 2 个交点，设过原点与 相切的直线切点为 ，则切线斜率 ，解得 ，所以 ，所以 与 有 2 个交点则需 ，即 ，故选：B。 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．如图所示，在边长为 2 的正方形中随机撒 1500 粒豆子，有 300 粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的 面积为______． 【答案】 0 1 1 2 + + 2 1 ( 1)1y xx = > −+ ( ) 1 , 0, 3, 0. xe a xf x x x x − + >=   + ≤ a R∈ ( ) 2 0f x − = a ( ,0)−∞ ( ,1)−∞ ( ,0]−∞ ( ,1]−∞ 0x ≤ ( ) 2 0f x − = 3 2 0x + − = 1x = − ( ) 2 0f x − = 0x > ( ) 2 0f x − = 1 (2 )xe a x− = − 1xy e −= (2 )y a x= − 1xy e −= 0 1 0( , )xx e − 0 0 1 1 0 0 0( ) 0 x x ek f x e x − − −′= = = − 0 1x = 1k = (2 )y a x= − 1xy e −= 2 1a− > 1a < 4 5 8 / 18 【解析】 【押题点】几何概型的概率的应用 【详解】正方形的面积 S=4，设阴影部分的面积为 ，∵随机撒 1500 粒豆子，有 300 粒落到阴影部分， ∴几何概型的概率公式进行估计得 ，即 ，故答案为： . 14．已知函数 关于 对称,则 的解集为_____. 【答案】 【解析】 【押题点】函数的单调性与对称性相结合 【详解】∵函数 关于 对称,∴ ,则由 ,结合图 象可得 ,求得 , 15．当 时，函数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【押题点】两角和与差正弦、余弦公式及正弦函数单调性 【详解】 ，当 时， ， 1S 1 1 300 4 1500 S SP S = = = 1 4 300 4=1500 5S ×= 4 5 ( ) 1( )2 x af x −= 1x = ( ) ( )2 2 0f x f− ≥ [ ]1,2 ( ) 1( )2 x af x −= 1x = ( ) 111, 2 x a f x − = =    ( ) ( ) 12 2 0 2f x f− ≥ = 0 2 2 2x≤ − ≤ 1 2x≤ ≤ π0, 2x  ∈    π πsin 2 cos 23 6y x x   = − − +       3,2 −  π π πsin 2 sin 2 2sin 23 3 3y x x x     = − + − = −           π0, 2x  ∈    π π 2π2 ,3 3 3x  − ∈ −   9 / 18 ∴ ， ． 16、已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2，过点 F1 作圆 x2+y2＝a2 的切线交双曲 线右支于点 M，若 tan∠F1MF2＝2，又 e 为双曲线的离心率，则 e2 的值为______． 【答案】C 【解析】 【押题点】双曲线与圆、解三角形相结合 【详解】如图：|MF1|﹣|MF2|＝2a，设|MF2|＝t，则|MF1|＝2a+t，∵sin∠MF1F2 ，若 tan∠F1MF2 ＝2，则 sin∠F1MF2 ，cos∠F1MF2 ，在△MF1F2 中，由正弦定理得 ， 即 ，∴t a，∴|MF2| a，|MF1|＝（ 2）a，由余弦定理得 4c2＝5a2+（9+4 ）a2﹣2 a×（2 ）a ，4c2＝（10+2 ）a2，∴c2═ a2，∴e2 . 三、解答题：（本大题共 6 小题，共计 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分） 为迎接 2022 年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参 π 3sin 2 ,13 2x   − ∈ −      3,2y  ∈ −  ( )2 2 2 2 1x y a ba b − = ＞ ＞0 1 ON a OF c = = 2 5 = 1 5 = 2 1 2 1 2 1 2 MF F F sin MF F sin F MF =∠ ∠ 2 2 5 t c a c = 5= 5= 5 + 5 5× 5+ 1 5 × 5 5 5 2 + 2 2 5 5 2 c a += = 10 / 18 加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组： ， ， ， ， ， ，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求 的值； （2）估计这 100 名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）在抽取的 100 名学生中，规定：比赛成绩不低于 80 分为“优秀”，比赛成绩低于 80 分为“非优秀”．请 将下面的 2×2 列联表补充完整，并判断是否有 99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？ 优秀 非优秀 合计 男生 40 女生 50 合计 100 参考公式及数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）74 （3）见解析，没有 的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”． 【解析】 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] a 2 2 ( ) ,( )( )( )( ) n ad bcK n a b c da b c d a c b d −= = + + ++ + + + 2 0( )P K K≥ 0K 0.025a = 99.9% 11 / 18 【押题点】频率分布直方图和独立性检验的应用问题 【详解】（1）由题可得 ，解得 ． （2）平均成绩为： （3）由（2）知，在抽取的 名学生中，比赛成绩优秀的有 人，由此可得完整的 列 联表： 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 ∵ 的观测值 ， ∴没有 的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”． 18．（本小题满分 12 分） 在 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 所对的边长，且满足 ，记此三角形的面积为 S. （1）若 ，求 S 的值；（2）若 ，求 的取值范围. 【答案】（1） .（2） 【解析】 【押题点】余弦定理及三角形面积公式、三角恒等变换相结合 【详解】（1）由余弦定理和已知条件得： ， ( )0.005 0.010 0.020 0.030 0.010 10 1a+ + + + + × = 0.025a = 45 0.05 55 0.1 65 0.2 75 0.3 85 0.25 95 0.1× + × + × + × + × + × 74= 100 100 0.35 35× = 2 2× 10 40 50 25 25 50 35 65 100 2K ( )2100 10 25 25 40 900 9.890 10.82835 65 50 50 91k × × − ×= = ≈ 2( ) 1f x x mx≥ + + m ( ) xf x e x= + ( ,e 1]m∈ −∞ − ( ) exf x a′ = + ( )0 1 2f a=′ + = 1a = ( )0 1 1f b= + = 0b = ( ) xf x e x= + 0x > 2 1xe x x mx+ ≥ + + e 1 1 x m xx x ≤ − − + ( ) e 1 1( 0) x h x x xx x = − − + > ( ) ( ) 2 2 e 1 1x x xh x x ′ − − += ( )( ) 2 1 e 1xx x x − − − = ( ) e 1( 0)xx x xϕ = − − > ( ) e 1 0xxϕ =′ − > ( )0,x∈ +∞ ( )xϕ ( ) ( )0 0xϕ ϕ> = ( )0,1x∈ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ > ( )h x ( ) ( )min 1 1h x h e= = − ( ],e 1m∈ −∞ − ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 21, 2       C C 6 ,03P       C E F 2 2 1 1 EP FP + 15 / 18 若不为定值，请说明理由 【答案】（1） ；（2）为定值 ，理由见解析. 【解析】 【押题点】椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系及定值问题 【详解】 （1）由题意可得 ，解得 ，因此，椭圆 的方程为 ； （2）当直线 的斜率为零时，则点 、 为椭圆长轴的端点， 则 ； 当直线 不与 轴重合时，设直线 的方程为 ，设点 、 ， 联立 ，消去 得 ， 恒成立， 由韦达定理得 ， ， 因此， 2 2 12 x y+ = 3 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 c a a b a b c  =        + =   = +    2 1 1 a b c  =  =  = C 2 2 12 x y+ = EF E F 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 42 2 43 31 1 1 1 3 3 2 46 6 22 2 3 33 3 EP FP    + + −    +   + = + = = =        −− +               EF x EF 6 3x ty= + ( )1 1,E x y ( )2 2,F x y 2 2 6 3 12 x ty x y  = +  + = x ( )2 2 2 6 42 03 3 tt y y+ + − = ( )2 2 28 16 322 8 03 3 3t t t∆ = + + = + > ( )1 2 2 2 6 3 2 ty y t + = − + ( )1 2 2 4 3 2 y y t = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 21 1 1 1 1 1 1 1 y y y yy y t y t y t y y t y yEP FP + −++ = + = = + + + + 16 / 18 . 综上所述， （定值）. 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 参数， 为常数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 的交点为 ， 两点，曲线 和 轴交点为 ，若 面积为 ，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】直线的参数方程以及直线与抛物线的位置关系 【押题点】（1）由 得 ，然后得到 即可 （2）将直线的参数方程化为 ， ，然后联立直线与曲线 的方程消元可得 ，然后算出 ，然后由 的面积即可得出答案. 【详解】（1）由 得 ， 所以 ，即 ，所以 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 222 2 2 2 2 22 2 16 18 8 3 23 2 3 2 16 9 316 16 3 161 1 9 2 9 2 tt tt t t t t t + + ++ + = = = × = + ⋅ + ⋅ + + 2 2 1 1 3 EP FP + = xOy l 2 cos sin x t y t α α = +  = t α O x C 2sin 12 θρ = C l C P Q C x A APQ 6 6 tanα 2 4 4y x= + 3tan 3 α = ± 2sin 12 θρ ⋅ = 1 cos 12 θρ −⋅ = 2 2 2x y x+ = + ( )2y k x= − tank α= C 2 4 12 0y yk − − = 1 2y y− APQ 2sin 12 θρ ⋅ = 1 cos 12 θρ −⋅ = cos 2ρ ρ θ− = 2 2 2x y x+ = + 2 4 4y x= + 17 / 18 （2）由 ，消去参数 得到 ，所以 ， ， 与 轴交点为 ，由 ，得 ， 记 ，则 ， ， 面积 ， 所以 ，即 ，所以 . 23．选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知 ， ，且 （I）若 恒成立，求 x 的取值范围；（II）证明： . 【答案】（I） （II）证明见解析 【解析】 【押题点】基本不等式与绝对值不等式相结合 【详解】（I）由 ，得 . 故 . 当且仅当 ，即 时，等号成立.即 的最小值为 . 因为 恒成立，所以 .解得 . （II） 2 cos sin x t y t α α = +  = t tan2 y kx α= =− ( )2y k x= − tank α= 2 4 4y x= + x ( )1,0A − ( ) 2 4 4 2 y x y k x  = + = − 2 4 12 0y yk − − = 1t k = 2 4 12 0y ty− − = ( )2 2 1 2 4 4 12 4 3y y t t− = + × = + APQ 2 2 1 2 1 1 3 4 3 6 3 6 62 2S AM y y t t= ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ + = + = 3t = ± 3 3k = ± 3tan 3 α = ± 0a > 0b > 2a b+ = 11 4 2xa b + ≥ − ( )3 31 1 4a ba b  + + ≥   7 11 4 4x− ≤ ≤ 2a b+ = ( )1 12 a b+ = ( )1 4 1 1 4 1 4 1 4 91 4 1 4 22 2 2 2 b a b aa ba b a b a b a b     + = + + = + + + ≥ + + ⋅ =            2b a= 2 4,3 3a b= = 1 4 a b + 9 2 1 4 2 1xa b + ≥ − 9 2 12 x≥ − 7 11 4 4x− ≤ ≤ ( )3 31 1 a ba b  + +   3 3 2 2 b aa b a b = + + + ( ) 3 3 2 2b aa b aba b = + + + − 18 / 18 ，当且仅当 时等号成立.( ) ( )3 3 2 22 2 4b aa b ab a ba b ≥ + + ⋅ − = + = 1a b= =