2020高考最后冲刺15天押题猜题全真卷数学（文科）试题（新课标解析版）

1 / 17 押题 1 2020 高考最后冲刺 15 天高考押题猜题全真卷 （新课标）文科数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的． 1．已知全集 ， ， ， ，则集合 ( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【押题点】一元二次不等式的解法与集合运算相结合 【详解】 全集 ， ， 。 2．复数 （ 为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A U = R 14 2A x x  = − < 2F P 2 2 1 2 1 6PF F F p⋅ =  1 2 2 2 3 4 3 2 2p c= 2 4y cx= ( )0 0,P x y ( ) 2 2 2 1 2 0 1 22 6 3PF F F c c x p c⋅ = − = =  0 2 3x c= 2 0PF a ex= − 2 0PF x c= + 0 0 0 1 a cx c a ex x e −+ = − ⇒ = + 0 2 1 3 a cx ce −= =+ 1 2 1 3 e ee − =+ 1 2e = ( )y f x= 1x = 4y x= − ( ) ( ) 1 1 f f ′ = 1 3 − ( )y f x= 1x = 4y x= − 1 ( )1 1f ′ = ( )( )1, 1f 9 / 17 直线 上，则 ，因此， . 14．A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为 ，现用随机模拟的方法估 计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生 之间整数值的随机数，并用 0，1，2，3， 4，5，6 表示没有强浓雾，用 7，8，9 表示有强浓雾，再以每 3 个随机数作为一组，代表三天的天气情况， 产生了如下 20 组随机数： 402　　978　　191　　925　　273　　842　　812　　479　　569　　683 231　　357　　394　　027　　506　　588　　730　　113　　537　　779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为_________. 【答案】 【解析】 【押题点】查模拟方法估计概率 【详解】由题意知模拟这三天中至少有两天有强浓雾的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机数，在 20 组随机数中表示三天中恰有两天有强浓雾的有，可以通过列举得到共 5 组随机数：978，479、588、779， 共 4 组随机数，所求概率为 ． 15． 直线 过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 , 两点，若线段 的长分别为 ，则 的最小值是_____. 【答案】9 【解析】 【押题点】抛物线焦点弦的性质与基本不等式相结合 【详解】由抛物线焦点弦的性质可知 ，则 ， 当且仅当 时等号成立.即 的最小值是 9. 4y x= − ( )1 1 4 3f = − = − ( ) ( ) 1 1 1 3 f f ′ = − 30% 0 9− 1 5 4 1 20 5 = 2 4y x= ,AF BF ,m n 4m n+ 1 1 2 1m n p + = = ( ) 1 1 4 44 4 5 5 2 9m n m nm n m n m n n m n m  + = + + = + + ≥ + × =   3 , 32m n= = 4m n+ 10 / 17 16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六 棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为 6cm，高为 18cm（底部及筒壁厚度忽 略不计），一长度为 cm 的圆铁棒 l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的 展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上.一位小朋友玩耍时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一 个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为_____cm2. 【答案】 【解析】 【押题点】球与六棱柱体的结构特征与计算问题 【详解】如图所示，六棱柱笔筒的边长为 6cm，高为 18cm，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部 分长 h 构成直角三角形，所以 2 ，解得 h＝14，所以容器内水面的高度为 14cm， 设球的半径为 R，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为 r 3 ，球心到截面圆的距离为 R﹣4， 所以 R2＝（R﹣4）2 ，解得 R ；所以球的表面积为 4π （cm2）. 三、解答题：（本大题共 6 小题，共计 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 12 分） 某汽车公司生产新能源汽车，2019 年 3-9 月份销售量（单位：万辆）数据如下表所示： 月份 3 4 5 6 7 8 9 2 85 1849 16 π 2 285 12 h= + 2 26 3= − = 3 ( )2 3 3+ 43 8 = 243 1849 8 16 π × =   x 11 / 17 销售量 （万辆） 3.008 2.401 2.189 2.656 1.665 1.672 1.368 （1）某企业响应国家号召，购买了 6 辆该公司生产的新能源汽车，其中四月份生产的 4 辆，五月份生产的 2 辆，6 辆汽车随机地分配给 A，B 两个部门使用，其中 A 部门用车 4 辆，B 部门用车 2 辆.现了解该汽车公 司今年四月份生产的所有新能源汽车均存在安全隐患，需要召回.求该企业 B 部门 2 辆车中至多有 1 辆车被 召回的概率； （2）经分析可知，上述数据近似分布在一条直线附近.设 关于 的线性回归方程为 ，根据表中 数据可计算出 ，试求出 的值，并估计该厂 10 月份的销售量. 【答案】（1） （2） ；该厂 10 月份销售量估计为 1.151 万辆. 【解析】 【押题点】古典概型的概率公式的应用和线性回归方程 【详解】（1）设某企业购买的 6 辆新能源汽车，4 月份生产的 4 辆车为 ， ， ， ；5 月份生产的 2 辆车为 ， ，6辆汽车随机地分配给 两个部门. 部门2辆车可能为（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ，（ ， ），（ ， ）共 15 种情况；其中，至多有 1 辆车是四月份生产 的情况有：（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ），（ ， ）， （ ， ），（ ， ）共 9 种，所以该企业 部门 2 辆车中至多有 1 辆车被召回的概率为 . （2）由题意得 ， .因为线性回归方程过样本中心点 ，所以 ，解 得 .当 时， ，即该厂 10 月份销售量估计为 1.151 万辆. 18．（本小题满分 12 分） 在 中，角 的对边分别为 ， 且 . y y x y bx a= +   0.2465b = − a 3 5  3.616a = 1C 2C 3C 4C 1D 2D A B， B 1C 2C 1C 3C 1C 4C 1C 1D 1C 2D 2C 3C 2C 4C 2C 1D 2C 2D 3C 4C 3C 1D 3C 2D 4C 1D 4C 2D 1D 2D 1C 1D 1C 2D 2C 1D 2C 2D 3C 1D 3C 2D 4C 1D 4C 2D 1D 2D B 9 3 15 5P = = 6x = 2.137y = ( )x y， ( ) 2.137 6 0.2465 a= × − +  3.616a = 10x =  0.2465 10 3.616 1.151y = − × + = ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin 3sinA B= b c= 12 / 17 （1）求角 的大小； （2）若 ，角 的平分线交 于点 ，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【押题点】正弦定理、余弦定理、三角形面积公式相结合 【详解】（1）由 及正弦定理知 ， 又 ， 由余弦定理得 . ， . （2）由（1）知 ， 又 ，在 中，由正弦定理知： ，在 中，由正弦定理 及 ， ，解得 ， 故 . 19．（本小题满分 12 分） 在矩形 中， ， 为 的中点，如图 1，将 沿 折起，使得点 到达点 的位置（如图 2），且平面 平面 （1）证明： 平面 ； A 2 3a = B AC D ABD∆ 2 3 π 3 3 2 − sin 3sinA B= 3a b= b c= 2 2 2 cos 2 b c aA bc + −= 2 2 2 2 3 1 2 2 b b b b + −= = − ( )0,A π∈ 2 3A π= 6B C π= = 2 3a = ABC∆ 2AB = ABD∆ sin sin AB AD D ABD = ∠ 12ABD π∠ = 4D π∠ = 3 1AD = − 3 3 2ABDS∆ -= ABCD 1, 2AB BC= = E AD ABE△ BE A P PBE ⊥ BCDE PB ⊥ PEC 13 / 17 （2）若 为 的中点， 为 的中点，求三棱锥 的体积. 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【押题点】线面垂直的判定以及三棱锥的体积的求解 【详解】（1）证明：由题意，易得 ，∴ 即 ， 又∵平面 平面 ，交线为 ∴ 平面 ∴ 又∵ ∴ 平面 （2）取 中点 ，连接 ，∵ ∴ ， 又∵平面 平面 ，交线为 ∴ 平面 ∵ 为 的中点， 为 的中点 ∴ 20．（本小题满分 12 分） 已知过圆 ： 上一点 的切线，交坐标轴于 、 两点，且 、 恰好分别为椭圆 ： 的上顶点和右顶点. （1）求椭圆 的方程； （2）已知 为椭圆的左顶点，过点 作直线 、 分别交椭圆于 、 两点，若直线 过定点 ，求证： . M PB N PC M CDN− 2 24 2, 2BE CE BC= = = 2 2 2BE CE BC+ = BE CE⊥ PBE ⊥ BCDE BE CE ⊥ PBE CE PB⊥ PB PE⊥ PB ⊥ PEC BE O PO PB PE= PO BE⊥ 2 2PO = PBE ⊥ BCDE BE PO ⊥ BCDE M PB N PC 1 1 1 1 1 1 2 22 12 4 4 4 3 2 2 24M CDN M PCD B PCD P BCDV V V V− − − −= = = = × × × × × = 1C 2 2 1x y+ = 1 3,2 2E       A B A B 2C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2C P P PM PN M N MN ( )1,0Q − PM PN⊥ 14 / 17 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 【押题点】椭圆的几何性质与直线与椭圆的位置关系 【详解】（1）直线 的方程为 ，则直线 的斜率 . 所以 ： ，即 ， ，椭圆方程为： ； （2）①当 不存在时， ， ， 因为 ，所以 . ②当 存在时，设 ， ， ： ， 联立 得： . 所以 ， ，又已知左顶点 为 ， ， 又 ， 所以 ， 2 2 144 3 x y+ = OEl 3y x= ABl 3 3ABk = − ABl 3 2 3 3 3y x= − + 2 30, 3A       ( )2,0B 2 2 144 3 x y+ = MNk ( )1,1M − ( )1, 1N − − ( ) ( )1,1 1, 1 0PM PN⋅ = − ⋅ − − =  PM PN⊥  MNk ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y MNl ( )1y k x= + ( ) 2 2 1 144 3 y k x x y  = +  + =   ( )2 2 2 21 3 6 3 4 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 2 6 1 3 kx x k + = − + 2 1 2 2 3 4 1 3 kx x k −= + P ( )2,0− ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 22, 2, 2 4x y x y x x x x y yPM PN + ⋅ + = + + +⋅ = +  ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y k x k x k x x x x= + + = + + + 2 2 3 1 3 k k −= + 2 2 2 2 2 2 3 4 12 341 3 1 3 1 3 k k kPM PN k k k − −⋅ = − + ++ + +   2 2 2 2 2 3 4 12 4 12 3 01 3 k k k k k − − + + −= =+ 15 / 17 所以 .综上 得证. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 . （Ⅰ）若 ，求曲线 在 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，要使 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【押题点】导数的几何意义以及利用导数研究恒成立问题 【详解】（Ⅰ）当 时， ，则 .所以 . 又 ，故所求切线方程为 ，即 . （Ⅱ）依题意，得 ，即 恒成立. 令 ，则 . ①当 时，因为 ，不合题意. ②当 时，令 ，得 ， ，显然 . 令 ，得 或 ；令 ，得 . 所以函数 的单调递增区间是 ， ，单调递减区间是 . PM PN⊥  PM PN⊥ 2 1( ) ln 2f x mx x = +   1m = ( )y f x= (1, (1))f 1m £ ( ) lnf x x x> m 32 2y x= − 1 ,1 2 e      1m = 2 1( ) ln 2f x x x = +   1( ) 2 ln 2f x x x x ′ = + +   (1) 2f ′ = 1(1) 2f = 1 2( 1)2y x− = − 32 2y x= − 2 1ln ln2mx x x x + >   2 1ln ln 02mx x x x + − >   2 1( ) ln ln2g x mx x x x = + −   ( ) (2 1)(ln 1)g x mx x′ = − + 0m ≤ 1(1) 02g m= ≤ 0 1m< ≤ ( ) 0g x′ = 1 1 2x m = 2 1 ex = 1 1 2 em > ( ) 0g x′ > 10 x e < < 1 2x m > ( ) 0g x′ < 1 1 2xe m < < ( )g x 10, e      1 ,2m  +∞   1 1, 2e m      16 / 17 当 时， ， ，所以 ， 只需 ，所以 ，所以实数 的取值范围为 . 请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方 （其中 为参数， )，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 （1）若点 在直线 上，且 求 的值； （2）若 求曲线 上的点到直线 的距离的最大值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【押题点】直线的参数方程和圆的极坐标方程相结合 【详解】（1）设点 ，则 整理可得 ，再结合 ，可得 （2）曲线 的方程可化为 ，化成普通方程可得 ，即 曲线 表示圆心为 ，半径为 1 的圆.直线 的参数方程化成直角坐标方程为 . 10, e  ∈  x 2 0mx x− < ln 0x < 2 1( ) ln ln2g x mx x x x = + −   ( )2 21ln 02mx x x mx= − + > 1 1 1 1ln 02 4 2 8g m m m m   = − + >   1 2 e m > m 1 ,1 2 e      xOy l 2 cos 2 sin x t y t α α = − +  = + t [0,π)α ∈ O x C 2 .sinρ θ= ( ),P x y l 24 x y x y + =− + sinα 4 πα = C l 10 10 3 2 12 + ( )2 ,2P tcos tsinα α− + + sin cos sin cos 24 cos sin cos sin x y t t x y t t α α α α α α α α + + += = =− + − − 3sin cosα α= [ )2 2 1, 0,πsin cosα α α+ = ∈ 10sin 10 α = C 2 2 sinρ ρ θ= 2 2 2x y y+ = ( )22 1 1x y+ − = C ( )0,1C l 4 0x y− + = 17 / 17 圆心 到直线 的距离 则曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 23．选修 4-5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 已知函数 . （1）求 的最小值 ； （2）若正实数 满足 ，求证： . 【答案】(1) ；(2)证明见解析. 【解析】 【押题点】绝对值三角不等式及基本不等式相结合 【详解】(1)因为 ，所以 . (2)由(1)知， . 因为 ， 所以 ，所以 ， 故 ，所以 . C l | 0 1 4 | 3 2 22 d − += = C l 3 2 12 + ( ) ( )3 4 5f x x x= + + − ( )f x M , ,a b c ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1a b c M+ + + + + = 12a b c+ + ≤ 27M = ( ) ( ) ( ) ( )3 4 5 3 4 5 27f x x x x x= + + − ≥ + − − = 27M = ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 27a b c+ + + + + = ( ) ( ) ( ) 21 1 1a b c+ + + + +   ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 21 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1a b c a b b c a c= + + + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1a b c a b b c a c≤ + + + + + + + + + + + + + + + + + ( ) ( ) ( )2 2 23 1 1 1 81a b c ≤ + + + + + =  ( ) ( ) ( )1 1 1 9a b c+ + + + + ≤ 3 9a b c+ + + ≤ 3 3 9a b c a b c+ + − ≤ + + + ≤ 12a b c+ + ≤