东营市一中 2018 级高二下学期期中考试
（满分：150 分 考试时间：120 分钟）
一、选择题（共 80 分，每题 5 分，其中 1-8 题为单选，9-12 为多选，13-16 为单选）
1．命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．设 ，则（ ）
A． B． C． D．
4．设函数 ，则满足 的 x 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
6．围棋棋盘共 19 行 19 列，361 个格点，每个格点上可能出现黑、白、空三种情况，因此有 种不同的
情况，我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化
大约有“连书万字五十二”种，即 ，下列最接近 的是（注： ）（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛．若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局
[0, )x∀ ∈ +∞ 3 0x x+ ≥
(0, )x∀ ∈ +∞ 3 0x x+ < ( ,0)x∀ ∈ −∞ 3 0x x+ ≥
0 [0, )x∃ ∈ +∞ 3
0 0 0x x+ < 0 [0, )x∃ ∈ +∞ 3
0 0 0x x+ ≥
{ | 4 }A x N y x= ∈ = − { | 2 , }B x x n n Z= = ∈ A B∩ =
[0,4] {0,2,4} { }2,4 [2,4]
0.5 log , log sin 5,a b e cπ π
ππ= = =
c b a< < a c b< < b a c< < b c a< <
1
1, 0( ) 2 , 0x
x xf x x−
+ ≤= > ( ) 1f x >
1 ,2
+∞ ( ,1)−∞ (1, )+∞ 1 ,4
− +∞
( )
2( ) 1
x xx e e
f x x
−−
= −
6133
5210000
361
52
3
10000 lg3 0.477≈
2510− 2610− 3510− 3610−数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 各局比赛结果相互独立．则甲在 4 局以
内（含 4 局）赢得比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数 在区间 内恒有 ，则 的单调增区间是
（ ）
A． B． C． D．
9-12 为多选题
9．某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调査了 50 名男生和 50 名女生，每位学生对食堂的服
务给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表．经计算 的观测值 ，则可以推断出（ ）
满意 不满意
男 30 20
女 40 10
0.100 0.050 0.010
2.706 3.841 6.635
A．该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为
B．调研结果显示，该学校女生比男生对食堂服务更满意
C．有 95%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
D．有 99%的把握认为男、女生对该食堂服务的评价有差异
10．下列有关说法正确的是（ ）
A．当 时， ； B．若 ，则
C．函数 的最小值为 2 D．若 ，则 的最小值为 3
11．下列命题正确的是（ ）
1
3
2
3
17
81
56
81
64
81
25
81
( )2( ) log 2 ( 0, 1)af x x x a a= + > ≠ 10, 2
( ) 0f x < ( )f x
1, 4
−∞ −
1 ,4
− +∞
1, 2
−∞ − (0, )+∞
2K 4.762k ≈
( )2P K k≥
k
3
5
0x > 1lg 2lgx x
+ ≥ 2 2
a b
c c
> 2 2a c b c− > −
2
2
4( )
3
xf x
x
+=
+ 3 3log (2 ) 1 loga b ab+ = + 2a b+ A．已知幂函数 在 上单调递减则 或
B．函数 的有两个零点，一个大于 0，一个小于 0 的一个充分不必要条件是
．
C．已知函数 ，若 ，则 的取值范围为
D ． 已 知 函 数 满 足 ， ， 且 与 的 图 像 的 交 点 为
则 的值为 8
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并
列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则
称为高斯函数，例如： ．已知函数 ，则关于函数 的
叙述中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数 C． 在 R 上是增函数 D． 的值域是
13-16 为单选
13．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少
分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种
A．36 B．48 C．60 D．16
14．已知 的展开式的所有项系数之和为 27，则实数 ________，展开式中含 的项的
系数是___________．
A． ，23 B． ，16 C．2，16 D．2，23
15 ． 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 满 足 ， 且 当 时 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．1
2 1( ) ( 1) mf x m x− −= + (0, )+∞ 0m = 2m = −
2( ) (2 4) 3f x x m x m= − + +
1m < −
3 1( ) sin ln 1
xf x x x x
+ = + + − (2 1) 0f a − > a 1 ,2
+∞
( )f x ( ) ( ) 2f x f x− + = 1( ) xg x x
+= ( )f x ( )g x
( ) ( ) ( )1 1 2 2 8 8, , , ,x y x y x y 1 2 8 1 2 8x x x y y y+ +…+ + + +…+
x R∈ [ ]x x [ ]y x=
[ 3.5] 4,[2.1] 2− = − = 1( ) 1 2
x
x
ef x e
= −+ ( ) [ ( )]g x f x=
( )g x ( )f x ( )f x ( )g x
{ 1,0,1}−
( )2 32 (1 )x ax− − a = 2x
2− 2−
( )f x ( ) ( ) 0, ( 1) (1 )f x f x f x f x− + = + = − ( 1,0)x ∈ −
4
1( ) log ( )2f x x= − − 17
2f =
1
2 1− 1
2
−16．已知 ， 是互不相同的正数，且 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．解答题：本题共 6 小題，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分 10 分）
已知奇函数 的定义域为 ，当 时， ．
（1）求函数 在 上的值域；
（2）若 时，函数 的最小值．
18．（本小题满分 12 分）
在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的菱形，侧面 底面 ， ，
， ， 分别是 和 的中点．
（Ⅰ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角 的正弦值．
19．（本小題满分 12 分）为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机
抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．
2
2
log ,0 2
( ) 1 5 3, 28 4
x x
f x
x x x
< ≤= − + >
, , ,a b c d ( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = =
abcd
(18,28) (16,24) (21,24) (20,25)
( )f x [ 1,1]− [ 1,0)x ∈ − 1( ) 2
x
f x = −
( )f x (0,1]
(0,1]x ∈ 2 ( ) 2 ( ) 1y f x af x= − +
P ABCD− ABCD PAD ⊥ ABCD 60BCD °∠ =
2PA PD= = E Q BC PC
BQ PAB
E DQ P− −（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩 ；（精确到个位）
（2）研究发现，本次检测的理科数学成绩 X 近似服从正态分布 （ ， 约为 19.3），按以
往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占 40%
（Ⅰ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）
（Ⅱ）从该市高三理科学生中随机抽取 4 人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为 Y，求 Y 的
分 布 列 及 数 学 期 望 ．（说 明 表 示 的 概 率 ． 参 考 数 据 ：
， ）
20．（本小题满分 12 分）某投资公司准备在 2020 年年初将两千万投资东营经济开发区的“示范区”新型物
流，商旅文化两个项目中的一个之中．
项目一：新型物流仓是为企业提供仓储、运输、配送、货运信息等综合物流服务的平台．现准备投资建设 10
个新型物流仓，每个物流仓投资 0.2 千万元，假设每个物流仓盈利是相互独立的，据市场调研，到 2022 年
底每个物流仓盈利的概率为 ，若盈利则盈利为投资额的 40%，否则盈利额为 0．
项目二：购物娱乐广场是一处融商业和娱乐于一体的现代化综合服务广场．据市场调研，投资到该项目上，
到 2022 年底可能盈利投资额的 50%，也可能亏损投资额的 30%，且这两种情况发生的概率分别为 和
．
（1）若投资项目一，记 为盈利的物流仓的个数，求 （用 表示）；
（2）若投资项目二，记投资项目二的盈利为 千万元，求 （用 表示）；
（3）在（1）（2）两个条件下，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由．
21．（本小题满分 12 分）某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费 （单位：
万元）对年销量 （单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响对近 6 年宣传费 和年销量
的数据做了初步统计，得到如下数据：
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018
年宣传费 （万元） 38 48 58 68 78 88
年销售量 （吨） 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5
经电脑模拟，发现年宣传费 （万元）与年销售量 （吨）之间近似满足关系式 ，
0u
( )2,N µ σ 0u u= σ
( )E Y ( ) 1
1 1 x uP X x ϕ σ
− > = − 1X x>
(0.7257) 0.6ϕ = (0.6554) 0.4ϕ =
(0 1)p p< <
p
1 p−
1X ( )1E X p
2X ( )2E X p
x
y ix ( 1,2,3,4,5,6)iy i =
x
y
x y ( 0, 0)by a x a b= ⋅ > >两边取对数，即 ，令 ，即 对上述数据作了初步处理，得
到相关的值如下表：
75.3 24.6 18.3 101.4
（Ⅰ）从表中所给出的 6 年年销售量数据中任选 2 年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售
量低于 21 吨的概率．
（Ⅱ）根据所给数据，求 关于 的回归方程；
（Ⅲ）若生产该产品的固定成本为 200（万元），且每生产 1（吨）产品的生产成本为 20（万元）（总成本=
固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为 （万元），假定该产品产销
平衡（即生产的产品都能卖掉），2019 年该公司计划投入 108 万元宣传费，你认为该决策合理吗？请说明理
由．（其中 为自然对数的底数， ）
附：对于一组数据 ，其回归直线 中的斜率和截距的最小二乘估计
分别为．
22．（本小题满分 12 分）
（1）求 在 上的单调区间；
（2）当 时，设函数 时，证明 ．
（3）证明： ．
期中考试答案
一、选择题（共 80 分，每题 5 分，其中 1-8 题为单选，9-12 为多选，13-16 为单选）
1 ． C 2 ． B 3 ． A 4 ． C 5 ． C 6 ． D 7 ． A 8 ． D 9 ． BC 10 ． BD 11 ． BD
12．BC． 13．A 14．A 15．B 16．B
ln ln lny b x a= + ln , lni i i iu x v y= = lnv a bu= +
( )6
1
i i
i
u v
=
⋅∑ ( )6
1
i
i
u
=
∑ ( )6
1
i
i
v
=
∑ ( )6 2
1
i
i
u
=
∑
y x
( ) (40 20 ) 500R x x e x= − + + +
e 2.71828e =
( ) ( ) ( )1 1 2 2, , , , , ,n nu v u v u v v uβ α= ⋅ +
( )( )
( )
1
2
1
ˆ ,
n
i i
i
n
i
i
u u v v
b v u
u u
α β=
=
− −
= = − ⋅
−
∑
∑
( )21( ) 1 ln ,( 0)g x m x m x xx
= − − + >
( )g x (1, )+∞
0m = ( ) ( )( )1 2 1 2
1( ) ( ),f x g x f x f x x xx
= − = < 1 2 2x x+ >
1 1 1 11 ln(2 1)3 5 2 1 2 2 1
nnn n
+ + +…+ > + +− +二、解答题
17．（1）设 ，则 时，所以 ．
又因为 为奇函数，所以有 ，
所以当 时， ， 3 分
所以 在 上的值域为 ， 4 分
（2）令 ∴
∴ ，
∴令 ， 5 分
∴当 时，∴ 在 上单调递增，∴无最小值 6 分
当 时，∴ 在 上单调递减，∴ 7 分
当 时，∴ 在 上单调递减，在 单调递增
∴ 8 分
综上所述：∴当 时，无最小值
当 时，
当 时， 10 分
18．（Ⅰ）取 中点 O，连接 ， ， ．
因为 ，所以 ． 1 分
又侧面 底面 ，面 面 ， 平面 ，
所以 平面 ，易知 ． 2 分
又在菱形 中， ，O 为 中点，则
故建立以 O 为坐标原点， 分别为 轴的坐标系． 3 分
因为 菱形，且 ， ，
(0,1]x ∈ [ 1,0)x− ∈ − 1( ) 22
x
xf x
− − = − = −
( )f x ( ) ( )f x f x− = −
(0,1]x ∈ ( ) ( ) 2xf x f x= − − =
( )f x (0,1] (1,2]
( )t f x= (1,2]t ∈
2 2( ) 2 ( ) 1 2 1y f x af x t at= − + = − + (1,2]t ∈
2 2 2( ) 2 1 ( ) 1y g t t at t a a= = − + = − + − (1,2]t ∈
1a ≤ ( )y g t= (1,2]
2a ≥ ( )y g t= (1,2] min (2) 5 4y g a= = −
1 2a< < ( )y g t= (1, ]a ( ,2]a
2
min ( ) 1y g a a= = −
1a ≤
2a ≥ min (2) 5 4y g a= = −
1 21a< < 2
min ( ) 1y g a a= = −
AD OP OB BD
PA PD= PO AD⊥
PAD ⊥ ABCD PAD ∩ ABCD AD= PO ⊂ POD
PO ⊥ ABCD PO OB⊥
ABCD 60BCD °∠ = AD BO AD⊥
, ,OA OB OP , ,x y z
ABCD 60BCD °∠ = 2PA PD= =则 ，
又 ， 是中点，则 、 ，
所以 4 分
设面 的一个法向量为 ，直线 与平面 所成角 ，
则
取 ，则 ，
故 ， 6 分
所以 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 8 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，
所 ，
所以平面 的一个法向量为 ， 9 分
因 ，
(1,0,0), (0, 3,0), (0,0,1), ( 2, 3,0), ( 1,0,0,)A B P C D− −
E Q ( 1, 3,0)E − 3 11, ,2 2Q
−
3 1( 1,0,1), ( 1, 3,0), 1, ,2 2AP AB BQ
= − = − = − −
PAB ( , , )n x y z= BQ PAB θ
0
3 0
AP n x z
AB n x y
⋅ = − + = ⋅ = − + =
1y = 3, 3x z= =
( 3,1, 3)n =
3 33 422 2sin cos , | | | 147 2
n BQθ
− − +
= 〈 〉 = =
×
BQ PAB 42
14
3 1( 1,0,0), ( 1, 3,0), (0,0,1), ( 2, 3,0), 1, ,2 2D E P C Q
− − − −
3 1(0, 3,0), 0, ,2 2DE DQ
= =
DEQ 1 (1,0,0)n =
3 1( 1, 3,0), 0, ,2 2DC DQ
= − =
设平面 的一个法向量为 ，二面角 为 ，
则 即 ．
令 ，则 ，即 11 分
所以 ，
所以 ，
故所求二面角的正弦值为 ． 12 分
19．解：（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：
3 分
（2）（Ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为 ，
根据题意， ，即 5 分
由 得， ， 7 分
所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为 117 分．
（Ⅱ）因为 ，∴ ， 9 分
所以 Y 的分布列为
Y 0 1 2 3 4
P
所以 12 分
20．（1）解：由题意，
DQC 2 ( , , )n x y z= E DQ P− − α
2
2
0
0
DC n
DQ n
⋅ = ⋅ =
3 0
3 1 02 2
x y
y z
− + =
+ =
3x = 1, 3y z= = −
1 2
1 2
1 2
21cos , 7
n nn n n n
⋅= =
2
1 2
2 7sin 1 cos , 7n nα = − =
2 7
7
0 65 0.05 75 0.08 85 0.12 95 0.15u = × + × + × + ×
105 0.24 115 0.18 125 0.1 135 0.05 145 0.03 103.2 103+ × + × + × + × + × = ≈
1x
( ) 1 1
1
1031 1 0.419.3
x u xP x x ϕ ϕσ
− − > = − = − =
1 103 0.619.3
xϕ − =
(0.7257) 0.6ϕ = 1
1
103 0.7257 117.0 11719.3
x x
− = ⇒ = ≈
2~ 4, 5Y B
4
4
2 3( ) 5 5
i i
iP Y i C
− = = 0,1,2,3,4i =
81
625
216
625
216
625
96
625
16
625
2 8( ) 4 5 5E Y = × =
1 ~ (10, )X B p则盈利的物流仓数的均值 ． 2 分
（2）若投资项目二，则 的分布列为
1
盈利的均值 . 5 分
（3）若盈利，则每个物流仓盈利 （千万元），
所以投资建设 10 个物流仓，盈利的均值为 （千万元）
8 分
①当 时， ，解得 ．
而 ．故选择项目一．
②当 时， ，解得 ．此时选择项目一．
③当 时， ，解得 ．
此时选择项目二． 12 分
备注：在 计算正确的前提下，若考虑投资风险，仅用 ，
确定选择项目一．
21．（Ⅰ）记事件 A 表示“至多有一年年销量低于 20 吨”，由表中数据可知 6 年中有 3 年的年销量低于 21
吨，故
3 分
（Ⅱ）对 两边取对数得 ，令 得 ，
由题中数据得： ， ，
， ，
( )1 10E X p=
2X
2X
0.6−
p p 1 p−
( )2 0.6(1 ) 1.6 0.6E X p p p= − − = −
0.2 40% 0.08× =
( ) ( )1 10.08 0.08 0.08 10 0.8E X E X p p= = × =
( ) ( )2 2
1 10.08 0.08 0.08 10 (1 ) 0.064 (1 )D X D X p p p p= = × − = −
( ) 2 2
2 (1 1.6 0.6) ( 0.6 1.6 0.6) (1 ) 2.56 (1 )D X p p p p p p= − + + − − + − = −
( ) ( )1 20.08E X E X= 0.8 1.6 0.6p p= − 3
4p =
( ) ( )1 20.08D X D X<
( ) ( )1 20.08E X E X> 0.8 1.6 0.6p p> − 30 4p< <
( ) ( )1 20.08E X E X< 0.8 1.6 0.6p p< − 3
4p >
( ) ( ) ( )1 1 20.08 , 0.08 ,E X D X D X ( ) ( )1 20.08D X D X<
2 1 1
3 3 3
2
6
4( ) 5
C C CP A C
+= =
( 0, 0)by ax a b= > > ln ln lny a b x= + ln , lni i i iu x v y= = lnv a bu= +
24.6 4.16u = = 18.3 3.056v = =
( ) ( )6 6
1 1
ln ln 75.3i i i i
i i
u v x y
= =
⋅ = ⋅ =∑ ∑ ( )6 6 22
1 1
ln 101.4i i
i i
u x
= =
= =∑ ∑所以 ， 6 分
由 ，
得 ，故所求回归方程为 7 分
（Ⅲ）设该公司的年利润为 ，因为利润=销售收入-总成本，所以由题意可知
10 分
当 即 时，利润 取得最大值 500 万元），故 2019 年该公司计划投入 108 万元宣传费的
决策不合理 12 分
22．（1）
∴ 1 分
故函数 在 的单调性为：
当 时， 的递减区间为 ； 2 分
当 时， 的递减区间为 ，递增区间为 ； 3 分
当 时， 的递增区间为 ； 4 分
当 时， 的递减区间为 ，递增区间为 5 分
（2）由题意得 ，即
要证 ，需证 ，即证 6 分
设 ， 则 要 证 ， 等 价 于 证 ： 令 ， 则
( )6
1
6 2
2 2
1
75.3 6 4.1 3.05 1
101.4 6 (4.1) 2( )
i i
i
i
i
u v nuv
b
u n u
=
=
⋅ − − × ×= = =− ×−
∑
∑
1ln 3.05 4.1 12a v bu= − = − × =
a e= y e x=
( )f x
2( ) (40 20 ) 500 (200 20 ) 2 40 300 2( 10) 500f x x e x e x x x x x= − + + + − + + = − + + = − − +
10x = 100x = ( )f x
( )21( ) 1 ln ,( 0)g x m x m x xx
= − − + >
2
( 1)( )( ) mx x mg x x
− −′ =
( )g x (1, )+∞
0m ≤ ( )g x (1, )+∞
0 1m< < ( )g x (1, )m 1 ,m
+∞
1m = ( )g x (1, )+∞
1m > ( )g x 11, m
( , )m +∞
1 2
1 2
1 1ln lnx xx x
+ = + 2 1 2
1 2 1
ln 0x x x
x x x
− = >
1 2 2x x+ > ( ) 2 1 2
1 2
1 2 1
2lnx x xx x x x x
−+ > 2 1 2
1 2 1
2lnx x x
x x x
− >
2
1
( 1)x t tx
= > 2 1 2
1 2 1
2lnx x x
x x x
− > 1 2ln ( 1)t t tt
− > > 1( ) 2lnu t t tt
= − −， 7 分
∴ 在区间 内单调递增， ，
即 ，故 8 分
（3）由（1）知 时， 在 为增函数，
∴ ，
即 ， 9 分
令 ， 10 分
得 ，
即 ，
所以 ， 11 分
上式中 ，
然后 个不等式相加得 ．
故不等式成立． 12 分
2
2
1 2 1( ) 1 1 0u t t t t
′ = + − = − >
( )u t (1, )+∞ ( ) (1) 0u t u> =
1 2lnt tt
− > 1 2 2x x+ >
1m = ( )g x (1, )+∞
( ) (1) 0g x g> =
1 2ln ( 1)x x xx
− > >
2 1, *2 1
nx n Nn
+= ∈−
2 1 2 1 2 12ln2 1 2 1 2 1
n n n
n n n
+ − +− >− + −
2 2 2 11 1 2ln2 1 2 1 2 1
n
n n n
+ + − − > − + −
1 1 2 1 1 1 1ln2 1 2 2 1 2 2 1 2 1
n
n n n n
+ > + − − − − +
1,2,3, ,n n=
n ( )*1 1 1 11 ln(2 1)3 5 2 1 2 2 1
nn n Nn n
+ + +…+ > + + ∈− +
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