高 2020 级高三（下）强化训练三
数 学 试 题（文）
考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120
分钟．
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工
整，字迹清楚．
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷
上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第 I 卷 （选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2． 若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则
A． B． C． D．
3． 已知直线 ， ， ，则“ ”是“ ”
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4． 若 为实数，且 ，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
5． 抛物线 的焦点为 F，直线 与抛物线交于点 A（异于原点），则点 A 到焦
点 F 的距离为
A．12 B．14 C．18 D．24
6． 为了得到函数 的图象，可以将函数 的图象
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
{ })2lg(| −== xyxA { }045| 2 22 bcac >
xy 242 = xy 3=
)4
32sin()(
π+= xxf xxg cos2)( =
4
π
4
πC．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
7． 等差数列 的前 项和为 ， ，则 取最小值时， 的值
为
A．2 B．3 C．4 D．5
8． 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ， ， ，则 的
面积为（ ）
A． B． C． D．
9． 函数 ，则不等式 的解集是
A． B． C． D．
10．已知 是双曲线 的左右焦点，以 为圆心、 为半径的圆与
双曲线的一条渐近线交于 两点，若 ,则双曲线的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
11．2020 年新型冠状病毒肺炎蔓延全国，作为主要战场的武汉，仅用了十余天就建成了“小
汤山”模式的火神山医院和雷神山医院，再次体现了中国速度．随着疫情发展，某地也
需要参照“小汤山”模式建设临时医院，其占地是由一个正方形和四个以正方形的边为
底边、腰长为 400m 的等腰三角形组成的图形（如图所示），为使占地面积最大，则等腰
三角形的底角为
A． B．
C． D．
12．在边长为 2 的菱形 中， ，将菱形 沿对角线 折起，使得平面
平面 ，则所得三棱锥 的外接球表面积为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题, 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．已知向量 ， 满足 ， ， ，则 ．
8
π
8
π
{ }na n nS 20123 1062 =−=+ Saa ， nS n
ABC∆
3C
π= 7c = 3b a= ABC∆
3 3
4
2 3
4
−
2 2+ 3
4
1)( +=
x
xxf )(log)2( 2 xff <
)4,0( )4,4
1( ),4( +∞ ),4()4
1,0( +∞∪
21, FF )0(12
2
2
2
>>=− bab
y
a
x
2F a
BA, 2
21FFAB >
)5
102,1( )3
62,1( )2,1( )17
344,1(
3
π
4
π
6
π
8
π
ABCD 32=BD ABCD AC
⊥ABC ACD BCDA −
3
8π
3
14π
3
20π
3
32π
a b 1=a 2=b 3− =a b ⋅ =a b14．已知函数 ，若直线 是曲线 的一条对称轴，
则 ．
15．《史记·卷六十五·孙子吴起列传第五》中记载了“田忌赛马”的故事．齐王有上等、中
等、下等马各一匹；田忌也有上等、中等、下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中
等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌
的下等马劣于齐王的下等马．现规定从双方的马匹中随机各选取一匹进行一场比赛,有优
势的马一定会获胜,则在一场比赛中齐王获胜的概率为_________．
16．已知圆 ，动圆 与圆 内切，则
动圆 的圆心轨迹 的方程为_____________________；斜率为 的直线 与曲线 仅
有一个公共点，则直线 l 的方程为________．
三、解答题：共 70 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17．(本小题满分 12 分)
某校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课
的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试．全学年共 1500 人，现从中抽取了 人的
数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所
示）．已知这 人中 分数段的人数比
分数段的人数多 6 人．
(1) 根据频率分布直方图，求 的值，并估计抽
取的 名同学数学成绩的中位数；（中位数保
留两位小数）
(2) 现用分层抽样的方法从分数在 ，
的两组同学中随机抽取 名同学，从这
名同学中再任选 名同学作为“网络课堂学习
优秀代表”发言，求这 2 名同学的分数不在同
一组内的概率．
18．(本小题满分 12 分)
已知等差数列 的前 项和为 ， ，数列 的前 项和为
．
xxxf cos3sin)( += θ=x )(xfy =
=θ2cos
2 2 2 2
1 2:( 3) 1, :( 3) 81C x y C x y+ + = − + = C 1 2C C外切，圆
C E 2 l E
100
100 [110,120)
[100,110)
,a b
100
[130,140)
[ ]140,150 6
6 2
{ }na n nS 5,3 51 =−= Sa { }nb n
22 1 −+n
o 70 80 90 100 110 120
频率/组距
0.008
a
0.01
0.002
0.014
0.005
130 140 分数
0.015
b
150(1) 求数列 ， 的通项公式；
(2) 设 ，求数列 的前 项和 ．
19．(本小题满分 12 分)
三棱柱 中，平面 平面 ， ， ，
，点 为棱 的中点，点 为线段 上的动点．
(1) 求证： ；
(2) 若点 为线段 的中点，求点 到平面 的距离．
20．(本小题满分 12 分)
已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，上、下顶点分别为
，四边形 的面积为 ，坐标原点 到直线 的距离为 ．
(1) 求椭圆 的方程；
(2) 若直线 与椭圆 相交于 两点，点 为椭圆 上异于 的一点，四边形
为平行四边形，探究：平行四边形 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若
不是，请说明理由．
21． (本小题满分 12 分)
已知函数 ， ．
(1) 为函数 的导数，讨论函数 的单调性；
(2) 若函数 与 的图象有两个交点 、 ，求
证： ．
{ }na { }nb
nnn bac = { }nc n nT
1 1 1ABC A B C− 1 1AA B B ⊥ ABC 1 1 4AB AA A B= = = 2BC =
2 3AC = F AB E 1 1AC
EF BC⊥
E 11CA C BEF
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 1 2,A A
1 2,B B 1 1 2 2A B A B 4 3 O 1 1A B 2 217
C
l C ,A B P C ,A B OAPB
OAPB
( ) ( )ln 1 lnf x mx x m x= − + 0m >
( )f x′ ( )f x ( )f x′
( )f x ( ) 3g x xe
= − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )1 2x x<
2 1
1x x ee
+ < +
E
F
C
BA
C1
B1A1（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程] (本小题满分 10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 (θ 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 曲线 与曲线 相交于 M,N
两点.
(1)求曲线 的直角坐标方程与直线 MN 的一般方程；
(2)点 求|PM|+|PN|.
23．[选修 4-5：不等式选讲] (本小题满分 10 分)
已知函数 f (x)=|x-1|+|2x+2a|
(1)若 a=1,求不等式 f (x)≥4 的解集；
(2)证明:对任意 x∈R,2 f (x)≥|a+2|-|a|.
2020 年高三学年文科数学模拟测试卷答案及评分标准
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D A C B D C A C A D C
二、填空题：
13. 1 14. 15. 16. ；
三、解答题：
17. (1) 依题意 ，
解得 ……………………………………………..…………………3 分
中位数为 …………………………………………………………………..………6 分
1
2 2cos ,: 2sin ,C x
y
θ
θ
= +
=
2
2 : 4 sin 3,C ρ ρ θ= − 1C 2C
2C
3( ,0),4P −
2
1
3
2 11625
22
=+ yx 2 66y x= ±
6)(1000,046.0 =−=+ abba
026.0,020.0 == ba
13
4112(2) 设“抽取的 2 名同学的分数不在同一组内”为事件 A
由题意知，在分数为 的同学中抽取 4 人，分别用 表示，
在分数为 的同学中抽取 2 人，分别用 表示， ……………………..… 7 分
从这 名同学中抽取 2 人所有可能出现的结果有：
， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
共 15 种 ………………………………..… 9 分
抽取的 2 名同学的分数不在同一组内的结果有：
， ， ， ， ， ， ，
共 8 种 ………………………………..…10 分
所以 ，抽取的 2 名同学的分数不在同一组内的概率为 ………..… 12 分
18. 解：（1） ，
又 ，解得 ， .........................................................................2 分
所以 ， ......................................3 分
的前 项和
时， ............................................................................4 分
时，
；. . .....................................................................................6 分（2）
①
②
①减去②可得
[ )130,140 4321 ,,, aaaa
[ ]150,140 21 ,bb
6
( )21 ,aa ( )31,aa ( )41,aa ( )11 ,ba ( )21 ,ba ( )32 ,aa ( )42 ,aa ( )12 ,ba ( )22 ,ba
( )43 ,aa ( )13 ,ba ( )23 ,ba ( )14 ,ba ( )24 ,ba ( )21,bb
( )11 ,ba ( )21 ,ba ( )12 ,ba ( )22 ,ba ( )13 ,ba ( )23 ,ba ( )14 ,ba ( )24 ,ba
15
8)( =AP 15
8
12,55 135 =+== daaS
31 −=a 2=d
522)1(3)1(1 −=−+−=−+= nndnaan
nb n 22 1 −= +n
nG
1=∴n 2222
1 =−=b
2≥n nnn
nnn GGb 22222 1
1 =+−−=−= +
−
)(2 *Nnb n
n ∈=∴
nn cccT +++= 21
n
n nT 2)52(212)1(2)3( 321 −++⋅+⋅−+⋅−=
1432 2)52(212)1(2)3(2 +−++⋅+⋅−+⋅−= n
n nT
1143 2)52(2226 ++ −−++++−=− nn
n nT ................................................................................12 分
19. 证明：（1）因为 为 中点，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，故 ，……………………3 分
又因为 ，所以 ，又 在三棱柱 中，
又 ，故 面 ，
又 面 ，所以 …………………………………5 分.
(2) ,
在三棱柱中， …………………………7 分
取 中点 ,连 , ， ,
由（1）知 ，所以 ,
,
所以 , ……………………………10 分
设点 到平面 的距离为 ，则
点 到平面 的距离为 …………………………………12 分
20.（1）直线 的方程为 ，
1
1
3 2)52(21
2126 +
−
−−−
−+−=− n
n
n nT 12 2)52(286 ++ −−+−−= nn n
12)72(14 +−−−=− n
n nT
12)72(14 +−+= n
n nT
1 1 ,AB AA A B F= = AB 1A F AB⊥
1 1AA B B ⊥ ABC ∩BBAA 11 ABC AB= 1A F ⊂ 1 1AA B B
1A F ⊥ ABC BC ⊂ ABC 1A F BC⊥
2 2 2BC AC AB+ = BC AC⊥ 1 1 1ABC A B C−
EABCCABCCAAC 11111 ,// ⊥⊥∴
1 1 1 1
=∩AC A E A BC ⊥ 1A EF
EF ⊂ 1A EF BC EF⊥
BCFEBEFC VV −− =
23
1
1 =⋅= ∆− FASV BCFBCFE
BC M EM FM FAEM 1//
ABCFA 平面⊥1 ABCEM 平面⊥
1,3,32 === BMFMEM
2
51,2,13,15 ==== ∆BEFSBFBEEF
C BEF h hV BEFC ⋅⋅==− 2
51
3
12
5117
4=∴h
C BEF 5117
4
1 1A B 1x y
a b
− + =由题意可得 ，解得 ，
椭圆 的方程为 .…………………………………………………………4 分
（2）当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时 .…5 分
当直线 的斜率存在时，设 ， ，
联立 ，可得 ，
则 ，
，
，……………………………………………….7 分
四边形 为平行四边形， ， ，
点 在椭圆上， ，整理得 ，……8 分
，……………………..….9 分
原点 到直线 的距离 ，
，…………………………………….11 分
综上，四边形 的面积为定值 3………………………………………………….12 分
21. 解: （1）
....................................................................1 分
..............................................................2 分
,
2 2
2 4 3
1 2 21
71 1
ab
a b
=
=
+
2
3
a
b
= =
∴ C
2 2
14 3
x y+ =
AB AB 1x = ± 3OAPBS =
AB :AB y kx m= + 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2
14 3
x y
y kx m
+ =
= +
2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
2 248(4 3) 0k m∆ = − + >
2
1 2 1 22 2
8 4 12,4 3 4 3
km mx x x xk k
−+ = − =+ +
1 2 1 2 2
6( ) 2 4 3
my y k x x m k
+ = + + = +
OAPB ∴ OA OB OP+ = ∴
2 2
8 6( , )4 3 4 3
km mP k k
− + +
P
2 2
2 2
8 6( ) ( )4 3 4 3 14 3
km m
k k
− + +∴ + = 2 2 3
4m k= +
2 2
2 2
1 2 2
4 3 4 31 1 4 3
k mAB k x x k k
⋅ − += + − = + ⋅ +
O AB 2 1
md
k
=
+
2 2
2
4 3 4 3 =34 3OAPB
m k mS AB d k
− += ⋅ = +
OAPB
x
mxmxf 1)ln1()(
+−+=′
22
)1(1])([ x
mmx
x
m
x
mxf
++=++=′′
010 >++∴> mmxm, 在 上为单调递增 .......................................4 分
（2）设
，由于 ，
恒成立………………………………….………………………6 分
知函数 在 上为增函数且 ……………………….……………7 分
- 0 +
递减 极小值 递增
， ……………..…10 分
知 在区间 以及 内各有一个零点，即为 ， ，
知 ，即 .…………………………………………………12 分
22.（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
解：（1）……………………（2 分）
，……………………（4 分）
∴，∴…………………（5 分）
（2），∴在上，
直线的参数方程为（为参数），代入，……（7 分）
整理得，
∴，，∴………………………………………（9 分）
………………………………………………………（10 分）
23. （本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
（1）解：当时，；
①当 时，，得；
②当时， ，∴ ；
0])([ >′′∴ xf )(xf ′∴ ),0( +∞
( ) ( ) ( ) ( ) 3ln 1 lnF x f x g x mx x m x x e
= − = − + + −
( ) ( )1ln 1mF x m x m xx
ϕ+′ = + − + = 0m > 0x >
( ) 2
1 0m mx x x
ϕ +′ = + >
( )F x′ ( )0,+∞ ( )1 0F′ =
x ( )0,1 1 ( )1,+∞
( )F x′
( )F x
( ) 3 31 1 0eF e e
−= − = <
1 1 2 0e eF me e e
− − = + >
( ) ( ) ( )1 31 0e eF e m e e
− −= − + >
( )F x 1 ,1e
( )1,e 1
1 ,1x e
∈
( )2 1,x e∈
2 1
1x x e e
− < − 2 1
1x x ee
+ < +③当时， ，得，
∴ . ……………………………………………（5 分）
（2）证明：
………………………………（10 分）
微信/支付宝扫码支付