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高 2020 级高三（下）第五次月考
数学（理科）
本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个备选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，则 中元素的个数为
A. B. C. D.
2.已知复数 （其中 为虚数单位），则 的虚部为
A. B. C. D.
3.若 ， ，则
A. B. C. D.
4.在 中，已知 ，则 的面积为
A. B. C. D.
5.下面几种推理中是演绎推理的为
A.高三年级有 30 个班，1 班 55 人，2 班 56 人，三班 57 人，由此推测各班都超过 55 人
B.猜想数列 ， ， ， 的通项公式为
C.半径为 的圆的面积 ，则单位圆的面积
D.由等差数列的性质，推测等比数列的性质
6.执行下面的程序框图，为使输出 的值小于 ，则输入的正整数 的值不可能为
A. B. C. D.
7.某几何体的三视图如上图所示，其中网格纸上的小正方形的边长为 ，则该几何体的体
积为
A. B. C. D.2
8.已知 展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则奇数项的系数和为
A. B. C. D.
9.已知 为锐角， ，则
A. B. C. D.
10.某市政府为加强数学科学研究，计划逐年加大研发资金投入.已知市政府 1979 年全年投
入研发资金 100 万元，2019 年全年投入研发资金 500 万元，若每年投入的研发资金的增
长率相同，则该市政府 2020 年全年投入的研发资金约为（ ）万元.
（本题中增长率 ，可用自然对数的近似公式: ，参考数据： ）
A. B. C. D.
11.已知实数 满足 ，则 的最大值为
A. B. C. D.
12.如图，矩形 中， ， 为边 的中点，将 沿直线 翻
折成 ．在翻折过程中，直线 与平面 所成角的正弦值最大为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13.函数 的定义域为 ．
14.如图,茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分（均为整数）,其中一个数
字模糊不清,则甲的平均得分高于乙的平均得分的概率为 ．
15.已知正 的边长为 ， 为 内切圆 的一条直径，
为 边上的动点，则 的取值范围为 ．
16.已知点 为椭圆 上的任意一点，点 分别为该
椭圆的左、右焦点，则 的最大值为 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第
17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22，23 题为选考题，考生根据要求
做答.
（一）必考题：共 60 分.
17.（本小题满分 12 分）设数列 的前 项和为 ，已知 ， ， ．
（Ⅰ）求通项公式 ；
（Ⅱ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．3
18.（本小题满分 12 分）为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织
了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，高二年级代表队和高一年级代表队（每队
3 人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得 分，答错得 分．假设
高二年级代表队中每人答对的概率均为 ，高一年级代表队中 人答对的概率分别为 ，
， ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用 表示高一年级代表队的总得分．
（Ⅰ）求 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求两队总得分之和等于 分且高二年级获胜的概率．
19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平
面 ，已知 ， 为线段 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值．
20.（本小题满分 12 分）设函数 ，若 （其中 ）．
（Ⅰ）求实数 的取值范围；（Ⅱ）证明： ．4
21. （ 本 小 题 满 分 12 分 ） 已 知 点 为 抛 物 线 的 焦 点 ． 点
在 上，点 在 轴上（位于点 右侧），直线 分别交 于
另一点 ，点 在线段 上且 ．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）设 的面积分别为 ，求 的表达式 及 的
取值范围．
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22，23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一
题计分.
22.（本小题满分 10 分）在直角坐标系中，已知曲线 的参数方程为 （
为参数），以原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，
直线 的极坐标方程为 ．
（Ⅰ）写出曲线 的极坐标方程；
（Ⅱ）设 与曲线 交于 两点， 与曲线 交于 两点，求四边形 面积
的取值范围．
23.（本小题满分 10 分）已知函数 ．
（Ⅰ）求不等式 的解集；
（Ⅱ）若方程 有三个实数根，求实数 的取值范围．5
高 2020 级高三（下）第五次月考
理科数学参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A A C B B A C B B A
1.解：
2.解： ，其虚部为
3.解：由均值不等式 ，又
4.解：由正弦定理得
5.解：A,B,C 为合情推理
6.解：
所以，当 时， 时终止循环，输出 ，不小于 ，不符合题意
7.解：该几何体为 ，所以
8.解：由题意
9.解：由 为锐角， 知
10.解:由题意 ，则 ，
则2020年全年投入资金为 万元
11. 解 ： 设 表 示 圆 上 一 动 点 ， 则 表 示 点 到 直 线6
的距离 ， 表示点 到原点 的距离 .又直线 与圆
相切，记切点为 ，则 .
12.解：分别取 的中点 ，易得点 的轨迹是以 为直径的圆，建系如图，
则 ，平面 的其中一个法向量为 ，由
，设 ，则 .记
直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
令 ， ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值最大为 ．
二、填空题：
题号 13 14 15 16
答案
13. 解： 或 ，定义域为 ；
注：必须写出集合形式
14.解：设模糊不清的数字为 ，甲的平均分高于乙的平均分等价于甲的总分高于乙的总
分，所以 ，所以
15.解：易得圆 的半径
当 为正 边的中点是 最小为 ，当 为正 的顶点时 最大为
，故 的取值范围为 .
16. 解：设 的外接圆半径为 ，由正弦定理得
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．7
17.解：（Ⅰ） ， ，得 ，
当 时， ， 两式相减得 ，即 ，
当 时， ， ，满足 ，.....5 分
，则数列 是公比 的等比数列，则通项公式 ．.....6 分
（Ⅱ） .....9 分
所以 ．.....12 分
18.解：（Ⅰ）由题意知， 的可能取值为 ，
由于高一年级代表队中 人答对的概率分别为 ， ， ，
，
，
，
，
的分布列为：
0 100 200 300
．......7 分
（Ⅱ）由 表示“甲队得分等于 乙队得分等于 ”，
表示“甲队得分等于 乙队得分等于 ”，可知 、 互斥．
又 ， ，
则甲、乙两队总得分之和等于 30 分且甲队获胜的概率为
．......12 分
19.解：（Ⅰ）证明：连结 和 交于 ，连结 ， （2 分）
为正方形， 为 中点，又 为 中点， ， （4 分）
平面 ， 平面 ， 平面 ． （5 分）
（Ⅱ）解： 平面 ， 平面 ，
， 为正方形， ，
， ， 平面 ， 平面 ，8
过 作 ，则 平面 （7 分）
以 为原点，以 为 轴建立如图所示的坐标系，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ， （9 分）
同理可得平面 的法向量 （10 分）
由 得
二面角 的平面角的余弦值为 （12 分）
20. （Ⅰ） 的定义域为 ， .....2 分
所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增......3 分
又当 时， ；当 时， ，且
当 且 时， ；当 时， .
因为 ，所以 ......5 分
（Ⅱ）法一：∵ ，∴欲证 ，
即证 .....6 分
即证 ，即证 .....8 分
令 （ ）即证： .....9 分
令 （ ）9
∵ ，
∴ 在 递增，∴ ，证毕......12 分
法二：由（1）易得： ，∴ .....7 分
故，欲证： ，即证：
即证： ，即证： .....8 分
∵ ，即： ，∴ .....9 分
令 （ ），∴ ∴即证： .....10 分
即证： ，即证： ，令
∵ ，∴ 在 递增，∴ ，证毕......12 分
21.解：（Ⅰ）由点 在 上得：
…………………………………4 分
（Ⅱ）点 ，则直线 ，联立 得
从而 ，则点 ，
由 可知点 为 的重心，则 ，即
， ………6 分
则直线 的方程为
令 可得 ，由 可得 …………8 分
且10
则
…………10 分
令 ，则 ， ，
……12 分
22.解：（Ⅰ）由 （ 为参数）消去参数 得 ，
将 的直角坐标方程化为极坐标方程得 ......5 分
（Ⅱ）设 ，由 与 联立可得 ，
所以 ，则
，
用 代替 ，可得 ，
又因为 ，所以
，
因为 ，所以 ......10 分
23.解：（Ⅰ） 或 或 ，
解得 ．.....5 分
（Ⅱ） 方程 有三个实数根，令 ，则11
，
作出 的图象如图所示，由 的图象可知，
，即 ．
.....10 分
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