天津市南开区2020届高三数学下学期模拟考试（二）试题（Word版含答案）

2019-2020 学年度第二学期南开区高三年级模拟考试(二) 数学试卷 2020．06 第 I 卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1)复数 是虚数单位)在复平面内对应点的坐标为 ( )． (A)． (B)． (C)． (D)． (2)某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为 6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身 体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 n 的样本，样本中 高三年级的学生有 21 人，则 n 等于( )． (A)35 (B)45 (C)54 (D)63 (3)方程 表示圆的一个充分不必要条件是( )． （A）． ∈ B． ∈ (C)． ∈ D． ∈ (4)设 则 a，b，c 的大小关系是( )． (A)． (B)． (C) ． (D)． (5)如图，长方体 的底面是面积为 2 的正方形，该长方体的外接球体积为 π，点 E 为棱 AB 的中点，则三棱锥 的体积是( ). (A) (B)2 4 3 (3 4 iz ii += − (1,0) (0,1) 4(5 , 3)5 − (3 5 , )4 5 − 2 2 22 2 0x k ky x y− + −+ + = k ( ), 2 (2, )−∞ − +∞ k ( )2,+∞ k ( )2.2− k ( ]0,1 ln2 1 3 2 2 , log 4, log 2,a b c= = − = b a c> > a b c> > b c a> > a c b> > 1 1 1 1ABCD A B C D− 32 3 1D ACE− 2 2 3 2(C) (D)1 (6)已知双曲线 C： 的离心率为 ，以双曲线 C 的右焦点 F 为圆心， a 为半径作圆 F，圆 F 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M，N 两点，则 ( ). (A)45° (B)60° (7)某学校食堂为了进一步加强学校疫情防控工作，降低学生因用餐而交叉感染的概率，规定： 就餐时，每张餐桌(如图)至多坐两个人，一张餐桌坐两个人时，两人既不能相邻，也不能相对 (即二人只能坐在对角线的位置上)．现有 3 位同学到食堂就餐，如果 3 人在 1 号和 2 号两张餐 桌上就餐(同一张餐桌的 4 个座位是没有区别的)，则不同的坐法种数为( )． (A) 6 (B)12 (C)24 (D)48 (8)已知函数 的图象关于直线 ， 且与 x 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，则函数 的导函数 的一个 单调减区间为( ). (9)如图，在边长 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，O 为 的中心，过点 O 的直线与直线 BC 交于点 P，与直线 DE 交于点 Q，则 的取值范围是 ( )． 3 3 2 2 2 2 1 0, 0)(x y a ba b − = > > 6 2 MFN∠ = ( )90 ( )120C D° ° ( ) ( ) ( )(sin 0,| | ),2f x y f xx πϕ ϕω ω= + > < = 5 6x π= 对称 2 π ( )f x ( )f x′ ( ) 7 5, ( ) ,12 12 12 12A B π π π π   −       ( ) 7, ( ) ,6 6 6 3C D π π π π   −       2 3 ABC∆ AP AQ⋅ (A)． (B)． (C)． (D)． 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分.请将答案填在题中横线上。 (10)已知集合 或 则 ▲ (11)若 的二项展开式中 的系数为 ，则 ▲ (12)过点 的直线与圆 相切，则直线在 y 轴上的截距为▲ (13)一袋中装有 6 个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球 的概率是 ，则袋中白球的个数为▲;从袋中任意摸出 2 个球，则摸到白球的个数 X 的数学期 望为▲. (14)已知 ab>0，则 的最小值为▲ (15) 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 上 单 调 递 增 ， 且 若 则 x 的 取 值 范 围 是 ▲; 设 函 数 若 方 程 有且只有两个不同的实数解，则实数 a 的取值范围为▲ [ )3,+∞ ( ),3−∞ 9( , )2 −∞ 9 2, −∞   { | ( 1)( 2) 0}, { | 0 3},RA x x x C B x x x= + − ≤ = ≤ >或 2 3},x = A B = 2 61( )x ax + 3x 5 2 a = ( )3,1− 2 2 4x y+ = 4 5 ( )2 2 2 2 2( 4 2 4 4 ) 5 1 a b a b ab + + + + + ( )f x ∞在（- , 0] ( 1) 1.f − = − ( )1 1 0,f x − + ≥ 2( 1) 1, 0,( ) 2 1, 0,x x a xg x x a x  + − − >=  + − +  ( )( ) 1 0f g x + =三、解答题：(本大题共 5 个小题，共 75 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) (16)(本小题满分 14 分) 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 . (Ⅰ)求 cosB 及 tan2B 的值; (Ⅱ) 求 c 的值. (17)(本小题满分 15 分) 如图所示，平面 CDEF⊥平面 ABCD，且四边形 ABCD 为平行四边形 四边形 CDEF 为直角梯形，EF∥D (1)求证： (Ⅱ)若线段 CF 上存在一点 M，满足 AE∥平面 BDM，求 的值; (Ⅲ)若 ，求二面角 的余弦值. (18)(本小题满分 15 分) 已知 为椭圆 C： 的左、右焦点，椭圆 C 过点 M ,且 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)经过点 P(2，0)的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若存在点 使得|QA|=|QB|. (i)求实数 m 的取值范围： (i)若线段 的垂直平分线过点 Q，求实数 m 的值. ABC∆ 2 2 2 10 5a c b ac+ = + 3,b =若 4A π= , 45 ,ABD °∠ = , , 3 3, , 2.C ED EF EDCD AB a AD⊥ = = = = ;AD BF⊥ CM CF 1a = D FBC− − 1 2,F F ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 21, 2       12 2 ,FMF F⊥ ( ),0 ,Q m 1F A(19)(本小题满分 15 分 设{a n}是各项都为整数的等差数列，其前 n 项和为 S n,{bn}是等比数列，且 (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)设 (i)求 (ii)求证： . (20)(本小题满分 16 分) 设函数 (Ⅰ)若 是函数 的一个极值点，求 k 的值及 单调区间； (Ⅱ)设 若 在 上是单调增函数，求实数 k 的取值 范围; (Ⅲ)证明：当 p>0，q>0 及 时， 1 1 1,a b= = * 5 23 2 7, N50,a b S b n+ = = ∈ { } { },n na b 222 1 22 2 3 1 3 ., n n nnn nn nc c c cc log b log b log b log b T a a a a++ + += + + + + = + + + +  ;nT 2 1 2 i n i T i= < −∑ ( ) 3 2 .1, ,3 2 Rkf x x x x k= − − ∈ 1x = ( )f x ( )f x ( ) ( ) ( ) ( )1 ln 1 ,g x x x f x= + + + ( )g x [ )0,+∞ *( , N )m n m n< ∈ 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 [ ( 1) ] ( 1) ] . m m i m i i n i n i i m m n i i p q p qp q n p qp p − − − − − − − − − − − − − − = = + +− > −∑ ∑