天津市河北区2020届高三数学总复习质量检测（二）试题（Word版含答案）

河北区 2019－2020 学年度高三年级总复习质量检测（二） 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分 钟．第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 8 页． 第Ⅰ卷（选择题 共 45 分） 注意事项： 1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位 置粘贴考试用条形码。 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3． 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。 参考公式： · 如果事件 A，B 互斥，那么 P（A∪B）＝P（A）＋P（B） · 如果事件 A，B 相互独立，那么 P（AB）＝P（A） P（B） · 球的表面积公式 S＝ 球的体积公式 V＝ 其中 R 表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知全集 ，集合 ， ，则 （A） （B） （C） （D） （2）命题“ ”的否定是 （A） （B） （C） （D） （3）若复数 （ 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 的值为 （A） （B） （C） （D） （4）袋子中有 6 个大小质地完全相同的球，其中 1 个红球，2 个黄球，3 个蓝球，从 中任取 3 个球，则恰有两种颜色的概率是 ⋅ 24 Rπ 34 3 Rπ {1 2 3 4}U = ，，， {1 3}A = ， {4}B = ( )U A B = {2} {4} {2 4}， {1 3 4}，， 0 0 0e 1xx x∃ ∈ > +R， e 1xx x∀ ∈ < +R， 0 0 0e 1xx x∃ ∈ < +R， e 1xx x∀ ∈ +R， ≤ 0 0 0e 1xx x∃ ∈ +R， ≤ 1 2 i 2 i a+ − i a 1 6 1 6 − 1 1-（A） （B） （C） （D） （5）某班同学进行社会实践，对 岁的人群随机抽取 人进行了生活习惯是否符合低碳 观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下 统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的 p，a 的值分别为 （A） ，20 （B） ，40 （C） ，60 （D） ，80 （6）已知双曲线 和直线 ，若过双曲线 的左焦点和点 的直线与直线 平行，则双曲线 的离心率为 （A） （B） （C） （D） （7）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，直线 交抛物线于 3 5 4 5 7 20 13 20 [25 55]， n 0.79 0.195 0.65 0.975 2 2 2 2: 1( 0 0)x yC a b a b − = > >， : 1 5 3 x yl + = C (0 )b−， l C 5 4 5 3 4 3 5 2 2 ( 0)y px p >= F l ( ) 2 py k x= −， 两点，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，若等边 的面积为 ， 则 的面积为 （A） （B） （C）16 （D） （8）已知函数 ，则 （A） 的最小正周期为 （B） 的图象关于点 对称 （C） 的最大值为 （D） 的图象关于直线 对称 （9）已知函数 ，若 有两个零点 ， 则下列选项中不正确的是 （A） （B） （C） （D） 河北区 2019－2020 学年度高三年级总复习质量检测（二） 数 学 第Ⅱ卷 注意事项： 1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2． 用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上。 3． 本卷共 11 小题，共 105 分。 A B A l E AEF∆ 36 3 BEF∆ 6 3 12 3 24 3 2( ) 3 sin cos cosf x x x x= + ( )f x 2π ( )f x π( 0)12 − ， ( )f x 2 ( )f x π 6x = ( ) ln ( )f x x x m m= − + ∈ R ( )f x 1 2 1 2( )x x x x >， 3 3+ 1 2 2a b = + + 2a b+ ABCD 2AB = 1AD = 60BAD∠ = ° CE ED=  2DF FB=  AE AF⋅ =  2 1( 1( ) 2 4 2 1 x xf x = x + x x   > ) ， ≤ ， - ， ，- x ( ) ( )f x a a= ∈ R a ABC∆ A B C， ， a b c， ， 2 2 2 ( cos cos )b c a c a C c A+ − = + A 3cos 3B = sin(2 )B A+ ABC∆ 4 3 3 3a = ABC∆请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 （17）（本小题满分 15 分） 如图，直三棱柱 的所有棱长都是 2， ， 分别是 ， 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角 的余弦值． 1 1 1ABC ABC- D E AC 1CC AE ⊥ 1ABD AB 1ABD 1 1B A D B− −请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 （18）（本小题满分 15 分） 已知数列 的前 项和为 ，且 ， ． （Ⅰ）证明：数列 是等比数列； （Ⅱ）若 ， ，求数列 的前 项和 ． 请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 （19）（本小题满分 15 分） 已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）设椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，左，右顶点分别为 ， ，点 ， 为 { }na n nS 2 3 4 7n nS a n= + − n ∗∈ N { 2}na − +1 2 ( 1)( 1) n n n n ab a a −= − − n ∗∈ N { }nb n nT C: 2 2 2 2 1 ( 0)x y+ = a > b > a b 4 2 1 3 C C 1F 2F A B M N椭圆上位于 轴上方的两点，且 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ， 若 ，求直线 的方程． 请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 （20）（本小题满分 16 分） 已知函数 ，其中 ． （Ⅰ）若 为单调递减函数，求 的取值范围； （Ⅱ）若 有两个不同的零点，求 的取值范围． 请将答案写在答题纸上 x 1 2F M F N∥ AM BN 1k 2k 1 23 2 0k k+ = 1FM 1 ln( ) 12 xf x ax a x − + −= a ∈ R ( )f x a ( )f x a河北区 2019－2020 学年度高三年级总复习质量检测（二） 数 学 答 案 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分． 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 答案 B C A D C A B D B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． （10）15； （11） ，或 ； （12） ， ； （13） ； （14） ； （15） ，或 ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分． （16）（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）∵ ， 由余弦定理得， ． .…….……2 分 化简得， ． .…….……3 分 ∴ ． .…….……4 分 又 ， ∴ ． .…….……5 分 （Ⅱ）由已知得， ． .…….……6 分 ∴ ， ． .…….……8 分 2 2( 1) ( 3) 9x y− + − = 2 2( 1) ( 3) 9x y+ + + = e 1+ (e 1) 2y x+ −= 6 2 3+ 5 2 10 2a< < 1 2a 0)y 2 2( )M x y′ ， 1 2F M F N∥ 2 2( )N x y- ，- 2 2 1 19 8 x my x y = + = - ， ， x 2 2(8 9) 16 64 0m y my+ − − = 2 2( 16 ) 4 (8 9) ( 64) 0m m∆ = − − × + × − > 1 2 2 16 8 9 my + y m + = 1 2 2 64 8 9y y m + ⋅ = - 1 23 2 0k + k = 1 2 1 2 3 2 02 2 y y+my my =+ + 1 2 1 25 6 4 0my y y + y⋅ + = 1 2 128 8 9 my m = + 2 2 112 8 9 my m = − + 1 > 0y >0m 1 2 2 2 2 128 112 64( )8 9 8 9 8 9 m my y m m m + ⋅ = ⋅ − =+ + - 6 12 m = 1F M 6 112x y= − 2 6 2 6 0x y− + =则 ． ∴ 对 恒成立． .…….……4 分 设 ． 令 ， 解得 ． ∴ ． ∵函数 在 单调递减，在 单调递增， ∴函数 的最小值为 ． .…….……6 分 ∴ ，即 的取值范围是 ． .…….……7 分 （Ⅱ）由已知， ． 设 ， 则函数 有两个不同的零点等价于函数 有两个不同的零点． ∵ ， .…….……8 分 ∴（1）当 时， 函数 在 单调递减，在 单调递增． 若函数 有两个不同的零点， 则 ，即 ． 当 时， 当 时， ． 当 时， ， ∵ ， ∴ ． ( ) 0f x′ ≤ 2 2 2ln xa x −≤ (0 )x∈ + ∞， 2 2 2ln( ) xg x x −= 3 4ln 6( ) 0xg x x −′ == 3ln 2x = 3 2ex = ( )g x 3 2(0 e )， 3 2(e + )∞， ( )g x 3 2 3 1(e ) eg −= 3 1 ea −≤ a 3 1( ]e −∞ −， 21 ( 1) ln2( ) ax a x x f x x − − − = 21( ) ( 1) ln2h x ax a x x− − −= ( )f x ( )h x 21 ( 1) 1 ( 1)( 1)( ) ( 1) ax a x ax xh x ax a x x x − − − + −′ − − −= = = 0a≥ ( )h x (0 1)， (1 + )∞， ( )h x 1(1) 1 02h a− + 2a > (1 + )x ∈ ∞， (2) 2 2( 1) ln2 2 ln2 0h a a− − − − >= = (0 1)x ∈ ， 21( ) ( 2 ) ln2h x a x x x x− + −= 21 2 0x x− < − < 1( ) ln2h x a x x> + −-∴ ． ∴函数 在 ， 上各有一个零点． 故 符合题意． .…….……11 分 （2）当 时， ∵函数 在 单调递减， ∴函数 至多有一个零点，不符合题意． .…….……12 分 （3）当 时， ∵函数 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减， ∴函数 的极小值为 ． ∴函数 至多有一个零点，不符合题意． .…….……14 分 （4）当 时， ∵函数 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减， ∴函数 的极小值为 ． ∴函数 至多有一个零点，不符合题意． 综上， 的取值范围是 ． .…….……16 分 注：其他解法可参照评分标准酌情给分 1 1 1 1 2 2 2 21(e ) e lne e 02 a a a a h a − − − −> + − >- = ( )h x (0 1)， (1 + )∞， 2a > 1a = − ( )h x (0 )+ ∞， ( )h x 1 0a− < < ( )h x (0 1)， 1(1 ) a −， 1( + ) a − ∞， ( )h x 1(1) 1 02h a= + >- ( )h x 1a < − ( )h x 1(0 ) a −， 1( 1) a − ， (1 + )∞， ( )h x 1 1( ) 1 ln( ) 02h aa a − = + − >- ( )h x a (2 )∞，+