河北区 2019－2020 学年度高三年级总复习质量检测（二）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分
钟．第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 8 页．
第Ⅰ卷（选择题 共 45 分）
注意事项：
1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位
置粘贴考试用条形码。
2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3． 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。
参考公式：
· 如果事件 A，B 互斥，那么
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
· 如果事件 A，B 相互独立，那么
P（AB）＝P（A） P（B）
· 球的表面积公式 S＝
球的体积公式 V＝
其中 R 表示球的半径
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集 ，集合 ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）命题“ ”的否定是
（A） （B）
（C） （D）
（3）若复数 （ 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数 的值为
（A） （B）
（C） （D）
（4）袋子中有 6 个大小质地完全相同的球，其中 1 个红球，2 个黄球，3 个蓝球，从
中任取 3 个球，则恰有两种颜色的概率是
⋅
24 Rπ
34
3
Rπ
{1 2 3 4}U = ，，， {1 3}A = ， {4}B = ( )U A B =
{2} {4}
{2 4}， {1 3 4}，，
0
0 0e 1xx x∃ ∈ > +R，
e 1xx x∀ ∈ < +R， 0
0 0e 1xx x∃ ∈ < +R，
e 1xx x∀ ∈ +R， ≤ 0
0 0e 1xx x∃ ∈ +R， ≤
1 2 i
2 i
a+
− i a
1
6
1
6
−
1 1-（A） （B）
（C） （D）
（5）某班同学进行社会实践，对 岁的人群随机抽取 人进行了生活习惯是否符合低碳
观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下
统计表和各年龄段人数频率分布直方图如下，则图表中的 p，a 的值分别为
（A） ，20 （B） ，40
（C） ，60 （D） ，80
（6）已知双曲线 和直线 ，若过双曲线 的左焦点和点
的直线与直线 平行，则双曲线 的离心率为
（A） （B）
（C） （D）
（7）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，直线 交抛物线于
3
5
4
5
7
20
13
20
[25 55]， n
0.79 0.195
0.65 0.975
2 2
2 2: 1( 0 0)x yC a b
a b
− = > >， : 1
5 3
x yl + = C
(0 )b−， l C
5
4
5
3
4
3
5
2 2 ( 0)y px p >= F l ( )
2
py k x= −， 两点，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，若等边 的面积为 ，
则 的面积为
（A） （B）
（C）16 （D）
（8）已知函数 ，则
（A） 的最小正周期为 （B） 的图象关于点 对称
（C） 的最大值为 （D） 的图象关于直线 对称
（9）已知函数 ，若 有两个零点 ，
则下列选项中不正确的是
（A） （B）
（C） （D）
河北区 2019－2020 学年度高三年级总复习质量检测（二）
数 学
第Ⅱ卷
注意事项：
1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
2． 用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上。
3． 本卷共 11 小题，共 105 分。
A B A l E AEF∆ 36 3
BEF∆
6 3 12 3
24 3
2( ) 3 sin cos cosf x x x x= +
( )f x 2π ( )f x π( 0)12
− ，
( )f x 2 ( )f x π
6x =
( ) ln ( )f x x x m m= − + ∈ R ( )f x 1 2 1 2( )x x x x >， 3 3+ 1
2 2a b
=
+ + 2a b+
ABCD 2AB = 1AD = 60BAD∠ = ° CE ED=
2DF FB= AE AF⋅ =
2
1( 1( ) 2
4 2 1
x xf x =
x + x x
>
) ， ≤ ，
- ， ，-
x ( ) ( )f x a a= ∈ R
a
ABC∆ A B C， ， a b c， ，
2 2 2 ( cos cos )b c a c a C c A+ − = +
A
3cos 3B = sin(2 )B A+
ABC∆ 4 3
3 3a = ABC∆请将答案写在答题纸上
得 分 评卷人
（17）（本小题满分 15 分）
如图，直三棱柱 的所有棱长都是 2， ， 分别是 ， 的中点．
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角 的余弦值．
1 1 1ABC ABC- D E AC 1CC
AE ⊥ 1ABD
AB 1ABD
1 1B A D B− −请将答案写在答题纸上
得 分 评卷人
（18）（本小题满分 15 分）
已知数列 的前 项和为 ，且 ， ．
（Ⅰ）证明：数列 是等比数列；
（Ⅱ）若 ， ，求数列 的前 项和 ．
请将答案写在答题纸上
得 分 评卷人
（19）（本小题满分 15 分）
已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，左，右顶点分别为 ， ，点 ， 为
{ }na n nS 2 3 4 7n nS a n= + − n ∗∈ N
{ 2}na −
+1
2
( 1)( 1)
n
n
n n
ab
a a
−=
− − n ∗∈ N { }nb n nT
C:
2 2
2 2 1 ( 0)x y+ = a > b >
a b
4 2 1
3
C
C 1F 2F A B M N椭圆上位于 轴上方的两点，且 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，
若 ，求直线 的方程．
请将答案写在答题纸上
得 分 评卷人
（20）（本小题满分 16 分）
已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）若 为单调递减函数，求 的取值范围；
（Ⅱ）若 有两个不同的零点，求 的取值范围．
请将答案写在答题纸上
x 1 2F M F N∥ AM BN 1k 2k
1 23 2 0k k+ = 1FM
1 ln( ) 12
xf x ax a x
− + −= a ∈ R
( )f x a
( )f x a河北区 2019－2020 学年度高三年级总复习质量检测（二）
数 学 答 案
一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分．
题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）
答案 B C A D C A B D B
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
（10）15； （11） ，或 ；
（12） ， ； （13） ； （14） ；
（15） ，或 ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．
（16）（本小题满分 14 分）
解：（Ⅰ）∵ ，
由余弦定理得， ． .…….……2 分
化简得， ． .…….……3 分
∴ ． .…….……4 分
又 ，
∴ ． .…….……5 分
（Ⅱ）由已知得， ． .…….……6 分
∴ ，
． .…….……8 分
2 2( 1) ( 3) 9x y− + − = 2 2( 1) ( 3) 9x y+ + + =
e 1+ (e 1) 2y x+ −= 6 2 3+ 5
2
10 2a< < 1 2a 0)y 2 2( )M x y′ ，
1 2F M F N∥
2 2( )N x y- ，-
2 2
1
19 8
x my
x y
= + =
- ，
，
x 2 2(8 9) 16 64 0m y my+ − − =
2 2( 16 ) 4 (8 9) ( 64) 0m m∆ = − − × + × − >
1 2 2
16
8 9
my + y m +
= 1 2 2
64
8 9y y m +
⋅ = -
1 23 2 0k + k =
1 2
1 2
3 2 02 2
y y+my my
=+ + 1 2 1 25 6 4 0my y y + y⋅ + =
1 2
128
8 9
my m
= + 2 2
112
8 9
my m
= − +
1 > 0y
>0m
1 2 2 2 2
128 112 64( )8 9 8 9 8 9
m my y m m m +
⋅ = ⋅ − =+ + -
6
12
m =
1F M 6 112x y= − 2 6 2 6 0x y− + =则 ．
∴ 对 恒成立． .…….……4 分
设 ．
令 ，
解得 ．
∴ ．
∵函数 在 单调递减，在 单调递增，
∴函数 的最小值为 ． .…….……6 分
∴ ，即 的取值范围是 ． .…….……7 分
（Ⅱ）由已知， ．
设 ，
则函数 有两个不同的零点等价于函数 有两个不同的零点．
∵ ， .…….……8 分
∴（1）当 时，
函数 在 单调递减，在 单调递增．
若函数 有两个不同的零点，
则 ，即 ．
当 时，
当 时， ．
当 时， ，
∵ ，
∴ ．
( ) 0f x′ ≤
2
2 2ln xa x
−≤ (0 )x∈ + ∞，
2
2 2ln( ) xg x x
−=
3
4ln 6( ) 0xg x x
−′ ==
3ln 2x =
3
2ex =
( )g x
3
2(0 e )，
3
2(e + )∞，
( )g x
3
2
3
1(e ) eg −=
3
1
ea −≤ a 3
1( ]e
−∞ −，
21 ( 1) ln2( )
ax a x x
f x x
− − −
=
21( ) ( 1) ln2h x ax a x x− − −=
( )f x ( )h x
21 ( 1) 1 ( 1)( 1)( ) ( 1) ax a x ax xh x ax a x x x
− − − + −′ − − −= = =
0a≥
( )h x (0 1)， (1 + )∞，
( )h x
1(1) 1 02h a− +
2a >
(1 + )x ∈ ∞， (2) 2 2( 1) ln2 2 ln2 0h a a− − − − >= =
(0 1)x ∈ ， 21( ) ( 2 ) ln2h x a x x x x− + −=
21 2 0x x− < − <
1( ) ln2h x a x x> + −-∴ ．
∴函数 在 ， 上各有一个零点．
故 符合题意． .…….……11 分
（2）当 时，
∵函数 在 单调递减，
∴函数 至多有一个零点，不符合题意． .…….……12 分
（3）当 时，
∵函数 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减，
∴函数 的极小值为 ．
∴函数 至多有一个零点，不符合题意． .…….……14 分
（4）当 时，
∵函数 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减，
∴函数 的极小值为 ．
∴函数 至多有一个零点，不符合题意．
综上， 的取值范围是 ． .…….……16 分
注：其他解法可参照评分标准酌情给分
1 1 1 1
2 2 2 21(e ) e lne e 02
a a a a
h a
− − − −> + − >- =
( )h x (0 1)， (1 + )∞，
2a >
1a = −
( )h x (0 )+ ∞，
( )h x
1 0a− < <
( )h x (0 1)， 1(1 )
a
−， 1( + )
a
− ∞，
( )h x 1(1) 1 02h a= + >-
( )h x
1a < −
( )h x 1(0 )
a
−， 1( 1)
a
− ， (1 + )∞，
( )h x 1 1( ) 1 ln( ) 02h aa a
− = + − >-
( )h x
a (2 )∞，+
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