浦东新区高三三模数学试卷
一. 填空题
1. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是
2. 若一组数据：21，19， ，20，18 的平均数为 20，则该组数据的方差为
3. 椭圆 （ ）与双曲线 有公共的焦点，则
4. 函数 （ ）的反函数是
5. 函数 ，如果方程 有四个不同的实数解 、 、 、 ，
则
6. 已知
（ ），且 ，则
7. 若△ 的内角满足 ，则 的最小值是
8. 对任意实数 、 ，定义运算 为 ，其中 、 、 为常数，等
式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算，现已知 ， ，并且有一个非
零实数 ，使得对于任意实数都有 ，则
9. 在平面直角坐标系 中，点集 所对应的
平面区域的面积为
10. 设复数 满足 ，使得关于 的方程 有实根，则这样的复数 的
和为
11. 已知函数 （ ）， ，若 在区间 内
没有零点，则 的取值范围是
12. 在平面直角坐标系 中，点集 ，在 中随机取出三个点，
则这三个点两两之间距离不超过 2 的概率为
{ 1,0, }A a= − { |1 2 2}xB x= < < A B ≠ ∅ a
x
2 2
2 125
x y
b
+ = 0b >
2
2 18
x y− = b =
22y x x= − 1 2x≤ ≤
2
| | 1( ) ( 2) 1
x xf x x x
≤= − > ( )f x b= 1x 2x 3x 4x
1 2 3 4x x x x+ + + =
2 3 2 3
0 1 2 3( 3) ( 3) ( 3) ( 3)n n
nx x x x a a x a x a x a x+ + +⋅⋅⋅+ = + − + − + − +⋅⋅⋅+ −
*n∈N 0 1 2n nA a a a a= + + +⋅⋅⋅+ lim 4
n
nn
A
→∞
=
ABC sin 2sin 2sinA B C+ = cosC
x y x y∗ x y ax by cxy∗ = + + a b c
1 2 3∗ = 2 3 4∗ =
d x d x∗ = d =
xOy {( , ) | (| | | 2 | 4)(| 2 | | | 4) 0}K x y x y x y= + − + − ≤
z | | 1z = x 2 2 2 0zx zx+ + = z
2 3 1( ) sin sin2 2 2
xf x x
ω ω= + − 0ω > x∈R ( )f x ( ,2 )π π
ω
xOy {( , ) | , { 1,0,1}}Q x y x y= ∈ − Q二. 选择题
13. 已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件
A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
14. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首
创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、
左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经
90°榫卯起来，若正四棱柱的高为 6，底面正方形的边长为 1，
现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），
则该球形容器的表面积最小值为（ ）
A. B. C. D.
15. 在平面直角坐标系中，定义 （ ）为点 到点
的变换，我们把它称为点变换，已知 ， ， ， 是经过点变换得到
一组无穷点列，设 ，则满足不等式 最小正整数
的值为（ ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
16. 数学中的数形结合也可以组成世间万物的绚丽画面，一些优美的曲线是数学形象美、对称
美、和谐美的产物，曲线 为四叶玫瑰线，下列结论正确的有（ ）
（1）方程 （ ），表示的曲线在第二和第四象限；
（2）曲线 上任一点到坐标原点 的距离都不超过 2；
（3）曲线 构成的四叶玫瑰线面积大于 ；
（3）曲线 上有 5 个整点（横、纵坐标均为整数的点）；
A.（1）（2） B.（1）（2）（3）
C.（1）（2）（4） D.（1）（3）（4）
,x y ∈R x y< 1x
y
<
44π 43π 42π 41π
1
1
n n n
n n n
x x y
y x y
+
+
= −
= +
*n∈N ( , )n n nP x y 1 1 1( , )n n nP x y+ + +
1(1,0)P 2 2 2( , )P x y 3 3 3( , )P x y ⋅⋅⋅
1 1 2n n n n na P P P P+ + += ⋅
1 2 2020na a a+ +⋅⋅⋅+ > n
2 2 3 2 2: ( ) 16C x y x y+ =
2 2 3 2 2( ) 16x y x y+ = 0xy <
C O
C 4π
C三. 解答题
17. 直三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形， ， ，
， 是侧棱 上一点，设 .
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，求直线 与平面 所成的角.
18. 方舱医院的启用在本次武汉抗击新冠疫情的关键时刻起到了至关重要的作用，图 1 为某
方舱医院的平面设计图，其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等的三角形所
得，图 2 中所示多边形 ，整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横轴
米，两根竖轴 米，记整个方舱医院的外围隔离线（图 2 实线
部分，轴和边框的粗细忽略不计）总长度为 ， 与 、 的交点为 、 ， 与
、 的交点为 、 ， （ ）.
（1）若 ，且两根横轴之间的距离 米，求外围隔离线总长度 ；
（2）由于疫情需要，外围隔离线总长度 不超过 240 米，当整个方舱医院（多边形
的面积）最大时，给出此设计方案中 的大小与 的长度.
1 1 1ABC A B C− ABC AB AC⊥ 2AB AC= =
1 4AA = M 1CC MC h=
1BM AC⊥ h
2h = 1BA ABM
ABCDEFGH
80AF BE= = 60CH DG= =
L CH AF BE M N DG
AF BE P Q CBN θ∠ = 0 2
πθ< <
6
πθ = 30AB EF= = L
L
ABCDEFGH θ BC19. 已知曲线 ， 为曲线 上一动点，过 作两条渐近线的垂线，垂足分别
是 和 .
（1）当 运动到 时，求 的值；
（2）设直线 （不与 轴垂直）与曲线 交于 、 两点，与 轴正半轴交于 点，与 轴
交于 点，若 ， ，且 ，求证 为定点.
20. 已知数列 满足： ， ， ， .
（1）求 、 、 、 的值；
（2）设 ， ，试求 ；
（3）比较 、 、 、 的大小关系.
2 2
: 13 6
x yC − = Q C Q
1P 2P
Q (3,2 3) 1 2QP QP⋅
l x C M N x T y
S SM MTλ= SN NTµ= 1λ µ+ = T
{ }na 1 0a = 2 2 1n na a= + 2 1 2 1n na a n+ = + + *n∈N
4a 5a 6a 7a
2 1
2
n
n n
ab −= 2
1 23 3 3n
n nS b b b= + +⋅⋅⋅+ 2020S
2017a 2018a 2019a 2020a21. 已知 为实数，用 表示不超过 的最大整数，例如 ， ， ，
对于函数 ，若存在 ， ，使得 ，则称函数 是“ 函
数”.
（1）判断函数 ， 是否是“ 函数”；
（2）设函数 是定义在 上的周期函数，其最小正周期是 ，
若 不是“ 函数”，求 的最小值；
（3）若函数 是“ 函数”，求 的取值范围.
参考答案
一. 填空题
x [ ]x x [1.2] 1= [ 1.2] 2− = − [1] 1=
( )f x m∈R m∉Z ( ) ([ ])f m f m= ( )f x Ω
2 1( ) 3f x x x= − ( ) | sin |g x xπ= Ω
( )f x R T
( )f x Ω T
( ) af x x x
= + Ω a1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
二. 选择题
13. D 14. D 15. C 16. A
三. 解答题
17.（1） ；（2） .
18.（1） ；（2） ， ， ，
， ，
.
19.（1） ；（2） .
20.（1）3、5、5、8；（2） ， ， ；
（3） .
21.（1） 是， 不是；（2）1；（3） ，且 ， .
(0,1) 2 4 21y x= − (0 1)x≤ ≤
4 4
3
6 2
4
−
4
32
3
3
2
− 1 1 7(0, ] [ , ]12 6 12
5
14
1h = 10arcsin 5
340 60 3− 24800 sin2S x θ= −
2
100 201 sin2 x x
θ≥ ≥ + 10 10 2x ≥ +
2 2
2
100 204800 sin2 4800 ( ) 4700 20 4500 200 2S x x xx x
θ= − ≤ − + = − ≤ −
4
πθ =
10 10 2BC x= = +
2
3 (3,0)
1
2n
nb
−= 12 3 938 8
n
n
nS +−= ⋅ +
2021
2020
4037 3 9
8S
⋅ +=
2017 2018 2020 2019a a a a= = <
( )f x ( )g x 0a > 2[ ]a m≠ [ ]([ ] 1)a m m≠ +
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