绝密★启用前 试卷类型：A
2021 届新高考全国卷第一次适应性考试
数 学
注意事项： 2020.6
1．本试卷共 6 页，包含单项选择题（第 1 题～第 8 题，共 40 分）、多项选择题（第 9
题～第 12 题，共 20 分）、填空题（第 13 题～第 16 题，共 20 分）和解答题（第 17
题～第 22 题，共 70 分）四部分。本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在
答题卡、试卷和草稿纸的指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用 0.5
毫米黑色墨水的签字笔将答案写在答题卡上。写在本试卷或草稿纸上均无效。
4．考试结束后，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设集合 A＝{(x，y)|x－y＋1＝0}，B＝{(x，y)|x2＋y2＝5}，则 A∩B＝
A．{(1，2)} B．{(－2，－1)}
C．{(1，2)，(－2，－1)} D．Ø
2．已知 a＋bi(a，b∈R)是(1＋i)2＋ 2
1＋i
的共轭复数，则 2a＋b＝
A．3 B．－3 C．－1 D．1
3．设向量 a＝(1，－1)，a－2b＝(k－1，2k＋2)，且 a⊥b，则 k＝
A．－5 B．5 C．3 D．－3
4．温度对许多化学反应的反应速率有非常大的影响．一般来说，温度每升高 10 K，化学反
应的反应速率大约增加 2～4 倍．瑞典科学家 Arrhenius 总结了大量化学反应的反应速率
与温度之间关系的实验数据，得出一个结论：化学反应的速率常数(k)与温度(T)之间呈指
数关系，并提出了相应的 Arrhenius 公式：式中 A 为碰撞频率因子(A＞0)，e 为自然对数的底数，Ea 为活化能，R 为气体常数．通过
Arrhenius 公式，我们可以获得不同温度下化学反应的速率常数之间的关系．已知温度为 T1
时，化学反应的速率常数为 k1；温度为 T2 时，化学反应的速率常数为 k2．则
A． B． C． D．
5． 的展开式中的常数项为
A．－160 B．－64 C．160 D．64
6．南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：
“幂势既同，则积不容异”。其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行
于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何
体的体积相等。如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为 V1，V2，被平
行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为 S1，S2，则命题 p：“V1，V2 相等”
是命题 q：“S1，S2 总相等”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数 ，设 a＝f(π－1)，b＝f(3－0.2)，c＝f(－31.1)，则
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c
8．已知双曲线 C：x2
a2
－y2
b2
＝1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为 F1，F2，实轴长为 4，渐近线方
程为 y＝±1
2x，|MF1|－|MF2|＝4，点 N 在圆 A：x2＋y2－4y＝0 上，则|MN|＋|MF1|的最小值
为
A． B．5 C．6 D．7
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分。
RT
Ea
Ak
−
= e
=
2
1ln k
k
AE
RTT
a ln
)( 12 −
AE
RTT
a ln
)( 21 −
21
12 )(
TRT
TTEa −
21
21 )(
TRT
TTEa −
3
2
2 )44( −+
x
x
15
πcos)( += xxf
72 + 9．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指
标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息
关注度也越高．下图是 2019 年 9 月到 2020 年 2 月这半年中，某个关键词的搜索指数变
化的走势图．
根据该走势图，下列结论不正确的是
A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度与时间具有比较明显的线性相关性
B．2019 年 10 月网民对该关键词的搜索指数变化的走势图具有较好的对称性，与正态曲
线相近，故当月搜索指数的平均值约为 29 000
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，2019 年 10 月的方差小于 11 月的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，2019 年 12 月的平均值大于 2020 年 1 月的平均值
10．已知函数 f(x)＝Asin (ωx＋φ) (A＞0，ω＞0，|φ|＜π
2)的最大值为 2，其图像相邻的两条对称
轴之间的距离为π
2
，且 f(x)的图像关于点( ，0)对称，则下列结论正确的是
A．函数 f(x)的图像关于直线 对称
B．当 时，函数 f(x)的最小值为－ 2
2
C．若 ，则 sin4α－cos4α 的值为
D．要得到函数 f(x)的图像，只需要将 g(x)＝ 2cos 2x 的图像向右平移 个单位
11．如图，在三棱锥 P－ABC 中，D，E，F 分别为棱 PC，AC，AB 的中
点，PA⊥平面 ABC，∠ABC＝90°，AB＝PA＝6，BC＝8，则
A．三棱锥 D－BEF 的体积为 6
B．直线 PB 与直线 DF 垂直
C．平面 DEF 截三棱锥 P－ABC 所得的截面面积为 12
D．点 P 与点 A 到平面 BDE 的距离相等
12
π−
12
5π=x
]6
π,6
π[−∈x
5
23)6
π( =−αf 5
4−
6
π12．已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时， ．则下列结论正确的是
A．当 x＜0 时，f(x)＝－ex(x＋1)
B．函数 f(x)在 R 上有且仅有三个零点
C．若关于 x 的方程 f(x)＝m 有解，则实数 m 的取值范围是 f(－2)≤m≤f(2)
D．∀x1，x2∈R，|f(x2)－f(x1)|＜2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．盒子里有 3 个分别标有号码 1，2，3 的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒
子中，共取 3 次．则取得小球标号最大值是 3 的取法有__________种．（用数字作答）
14．已知 a，b∈R，给出下面三个论断：①a＞b；②1
a
＜1
b
；③a＜0 且 b＜0．以其中的两个
论 断 作 为 条 件 ， 余 下 的 一 个 论 断 作 为 结 论 ， 写 出 一 个 正 确 的 命 题 ：
_______________________．
15．已知抛物线 C：x2＝8y 的焦点为 F，P 是抛物线在第一象限的一点，且点 P 到抛物线的对
称轴和准线的距离相等，则点 P 的坐标为__________；O 为坐标原点，PQ⊥OP 交抛物
线的准线于点 Q，则三角形 OPQ 内切圆的面积为__________．（本题第一空 2 分，第二
空 3 分．）
16．已知点 P 是单位正方体（棱长均为 1）ABCD－A1B1C1D1 的对角面 BB1D1D 上的一动点，
过点 P 作垂直于平面 BB1D1D 的直线，与正方体的侧面相交于 M，N 两点，则△BMN 的
面积的最大值为__________．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）在①Sn＝2bn－1；②－4bn＝bn－1(n≥2)；③bn＝bn－1＋2(n≥2)．这三个条件中任
选一个，补充在下面问题中，若问题中的 k 存在，求出 k 的值；若 k 不存在，说明理
由．
已知数列{an}为等比数列，a1＝2
3
，a3＝a1a2，数列{bn}的首项 b1＝1，其前 n 项和为 Sn，
__________，是否存在 k，使得对于任意 n∈N*，anbn≤akbk 恒成立？
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
18．（12 分）在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，点 D 为 BC 边上的中点，△ABC
x
xxf
e
1)(
−=的面积为 ．
（1）求 sin∠BAD·sin∠BDA 的值；
（2）若 BC＝6AB，AD＝2 2，求 b．
19．（12 分）如图 1，在边长为 5 的菱形 ABCD 中，AC＝6，现沿对角线 AC 把△ADC 翻折到
△APC 的位置得到四面体 P－ABC，如图 2 所示．已知 PB＝4 2．
（1）求证：平面 PAC⊥平面 ABC；
（2）若 Q 是线段 AP 上的点，且AQ→
＝1
3AP→
，求二面角 Q－BC－A 的余弦值．
20．（12 分）某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100 位居民作
为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调
査．经统计这 100 位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5]，(5，10]，(10，15]，
(15，20]，(20，25]，(25，30]分成 6 组，其频率分布直方图如图所示．
B
AD
sin3
2（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；
（2）将网购消费金额在 20 千元以上者称为“网购迷”，补全下面的 2×2 列联表，并判
断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；
男 女 总计
网购迷 20
非网购迷 45
总计 100
（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也
互不影响．统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：
网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数
甲 80 40 16 24
乙 90 60 18 12
将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购 2 次，记两人采用支付宝支付的
次数之和为 X，求 X 的数学期望．
附：χ2＝ n(ad－bc)2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，n＝a＋b＋c＋d．
临界值表：
P(χ2≥x0) 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
21．（12 分）如图所示，椭圆 E：x2
a2
＋y2
b2
＝1(a＞b＞0)的离心率是 3
2
，点 P(0，1)在短轴 CD 上，且PC→
·PD→
＝－1．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点．是否存在常数 λ，使得
OA→
·OB→
＋λPA→
·PB→
为定值？若存在，求出 λ 的值；若不存在，请说明理由．
22．（12 分）已知函数 f(x)＝ln (2x＋a) (x＞0，a＞0)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线在 y
轴上的截距为 ln 3－2
3
．
（1）求 a；
（2）讨论函数 g(x)＝f(x)－2x (x＞0)和 h(x)＝ (x＞0)的单调性；
（3）设 a1＝ ，an＋1＝f(an)，求证： (n≥2)．
12
2)( +−
x
xxf
5
2 021
2
25 1
=⋅−⋅=− +
−−+
+ n
nnnnn
nn cc分
∵－4bn＝bn－1(n≥2)，所以 bn＝－1
4bn－1(n≥2)，又∵b1＝1，
∴{bn}是首项为 1，公比为－1
4
的等比数列，∴bn＝1·(－1
4)n－1＝(－1
4)n－1 …………………5
分
令 cn＝anbn，则 cn＝(2
3)n·(－1
4)n－1＝(－1)n－1·2
3· ，当 n 为偶数时，cn＜0；…………6
分
当 n 为奇数时，可令 φn＝c2n－1＝2
3· ＞0(n∈N*)，∴
∴ {φn} 是 一 个 单 调 递 增 数 列 ， （ 通 过 作 差
，得{φn}是一个单调递增数列，亦正确）
∴当 n 为奇数时，{cn}是一个单调递增数列，∴0＜cn≤c1(n 为奇数)，…………………8 分
又∵当 n 为偶数时，cn＜0，∴cn≤c1(n∈N*)，
∴存在 k＝1，使得对于任意 n∈N*，anbn≤akbk 恒成立．…………………………………10
分
选③：根据题意，∵a1＝2
3
，a3＝a1a2，{an}是等比数列，∴{an}的公比 q＝a1＝2
3
，（通过
设{an}的公比为 q，由 a1q2＝a1·a1·q 得 q＝2
3
或 q＝0(舍去)的，亦正确）……………………
2 分
∴an＝2
3·(2
3)n－1＝(2
3)n．…………………………………………………………………………3
分
∵bn＝bn－1＋2(n≥2)，b1＝1，∴{bn}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，
∴bn＝1＋2(n－1)＝2n－1 ……………………………………………………………………5
分
令 cn＝anbn，则 cn＝(2n－1)·(2
3)n，若存在 k 满足题意，至少有 ，
∴ ，∴ ，又∵k∈N*，∴k＝3，
1)6
1( −n
12)6
1( −n 136
1
)6
1(3
2
)6
1(3
2
12
12
1
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