大庆市高三年级第三次教学质量检测试题
理科数学
2020.06
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2. 回答选择题时，选出每道小题答案后，用 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则
A． B． C． D．
2. 已知 为虚数单位，复数 满足 ，则复数 在复平面内对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3. 执行如图所示的程序框图，输出的 值为
A． B． C． D．
4. 已知向量 ， ，设 与 的
夹角为 ，则
A． B．
C． D．
5. 设 ， ， ，则 的大小关系为
A． B． C． D．
B2
}02|{ 2 ≤−−= xxxA { }1,0,1B = − A B =
{ }1,0,1− { }0,1 { }2,1,0,1− { }1 2x x− ≤ ≤
i z ( )1z i i⋅ − = z
s
10− 3− 4 5
( )1, 3a = ( )0, 3a b+ = a b
θ θ =
6
π
3
π
2
3
π 5
6
π
1
20202019a = 2019log 2020b = 2020
1log 2019c = , ,a b c
b c a> > c b a> > a b c> > a c b> >成绩/分
频率
组距6. 在某次数学测验后，将参加考试的 名
学生的数学成绩制成频率分布直方图（如
图），则在该次测验中成绩不低于 分的
学生数是
A. B.
C. D.
7. 将 这五个数字全部取出，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的
概
率是
A． B． C． D．
8. 若 的展开式中只有第 项的二项式系数最大，则展开式中含 项的
系数是
A． B. C． D.
9. 如图，在正四棱柱 中，底面边长为 ，
直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则正四棱柱的高为
A． B． C． D．
10. 已知函数 是偶函数.若将曲线 向左平
移 个单位长度后，得到曲线 ，则函数 的单调递增区间是
A． B．
C． D．
11. 已知 为双曲线 ： （ ， ）左支上一点， ， 分别为双曲线
的左、右焦点， 为双曲线 虚轴的一个端点，若 的最小值为
，则双曲线 的离心率为
500
100
195 200
205 210
5,4,3,2,1
2
3
3
5
1
2
2
5
1( )nx x
− 7 2x
462− 462 792 792−
1 1 1 1ABCD A B C D− 2
1CC 1ACD 1
3
2 3 4 5
( ) cos 3sin3 3a x xf x
π π = − + −
( )2y f x=
12
π ( )y g x= ( )y g x=
5[ , ]( )12 12k k k Z
π ππ π− + ∈ 7[ , ]( )12 12k k k Z
π ππ π− − ∈
[ , ]( )3 6k k k Z
π ππ π− + ∈ 2[ , ]( )6 3k k k Z
π ππ π+ + ∈
P C
2 2
2 2 1x y
a b
− = 0a > 0b > 1F 2F
C (0, )M b C 2| |MP PF+
1 2F F CA． B． C． D．
12. 已知定义域为 的函数 满足 （ 为函数 的导函数），
则不等式 的解集为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.
第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知圆 与抛物线 的准线相切，则 的值为______.
14. 已知实数 满足线性约束条件 ，则 的最小值为______.
15. 在 中， ， ， 是 边上的中线，将 沿 折起，
使二面角 等于 ，则四面体 外接球的体积为______.
16. 设函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时，
当 时，函数 的极大值点从小到大依次记为 ，并记相应
的
极大值为 ，则数列 前 项的和为____________.
三、解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分 12 分）
已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
2 6
2
+
2 6+ 4
2
6+
4 6+
R ( )f x ( ) ( ) 1f x xf x′+ > ( )f x′ ( )f x
( ) ( ) ( )21 1 1x f x f x x+ − > − +
( )0,1 [ )1,+∞ ( ) ( )0,1 1,+∞ ),0( +∞
2 2 6 7 0x y x+ − − = ( )2 2 0y px p= > p
yx,
≥+−
≥+
≥
02
0
1
yx
yx
x
yxz += 2
ABC∆ 6AB AC= = 4BC = AD BC ABD∆ AD
C AD B− − 120 ABCD
( )f x R ( ) ( )1 2f x f x+ = )1,0[∈x ( ) sinf x xπ=
[ )0,x∈ +∞ ( )f x 1 2 3, , ,..., ,...na a a a
1 2 3, , ,..., ,...nb b b b { }n na b+ 9
{ }na n nS 1 2a = 1 2n nS a += −
{ }na（2）数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，
求证: .
18. （本小题满分 12 分）
在四棱锥 中，底面 为正方形，
.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 与底面 所成的角为 ，
，求二面角 的正弦值．
19.（本小题满分 12 分）
某工厂加工某种零件需要经过 ， ， 三道工序，且每道工序的加工都相互独立，三
道工序加工合格的概率分别为 ， ， . 三道工序都合格的零件为一级品；恰有两道
工序合格的零件为二级品；其它均为废品，且加工一个零件为二级品的概率为 .
（1）求 ；
（2）若该零件的一级品每个可获利 元，二级品每个可获利 元，每个废品将使工
厂损失 元，设一个零件经过三道工序加工后最终获利为 元，求 的分布列及
数学期望.
20. （本小题满分 12 分）
设函数 .
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求整数 的最大值.
（参考数值： ， ， , ）7183.2≈e 4817.42
3
≈e
{ }nb 22log 1n nb a= + { }nb n nT
4
31111
321
x 4)( +< xxf m
2945.53
5
≈e 2 7.3891e ≈21. （本小题满分 12 分）
已知椭圆 与 轴负半轴交于 ，离心率 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，过点 且与直线 垂直的直线与
直线 相交于点 ，求 的取值范围及 取得最小值时直线 的方程.
请考生在第 22、23 两题中任意选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，
用 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以坐标原点 为
极点,以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程;
（2）直线 与 轴的交点为 ,经过点 的直线 与曲线 交于 两点,若
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > x ( )2,0A − 1
2e =
C
( )1,0F l C M N F l
4x = T
| |
| |
TF
MN
| |
| |
TF
MN l
2B
xoy C
=
=
α
α
cos6
sin6
y
x α O
x l cos( ) 2.3
πρ θ + =
C l
l x P P m C BA,,求直线 的倾斜角.
23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）若“ ， ”为假命题，求 的取值范围.
2020 大庆三模数学理科参考答案
一、选择题 ABACC BDDCA CD
13.2 14.1 15. 16,
17.解（Ⅰ）因为 ，①
当 时， ，② ...............................2 分
由①-②得 ，即 ， ............................................4 分
当 时， ， ，
所以数列 为等比数列，其首项为 ，公比为 ，
所以 ； ..................................................................6 分
34=+ PBPA m
( ) | 1| | |f x x x a= + − +
1a = − 1)( −≥xf
x R∀ ∈ ( ) | 2 1|f x a< + a
32 3π 1103
2
1 2n nS a += −
2n ≥ 1 2n nS a− = −
1n n na a a+= − 1 2n na a+ =
1n = 2 1 2 4a a= + =
2
1
4 22
a
a
= =
{ }na 1 2a = 2
1
1 2n n
na a q −= =（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，
所以 ， ........................................................8 分
所以 ，
........10 分
因为 所以 ............................12 分
18.解（1）证明：连接 AC,BD 交点为 O，∵四边形 ABCD 为正方形，∴
∵ ， ,∴ ,...........................................................2 分
又∵ ,∴
又 ,∴ ...........................................................4 分
（2）方法 1：∵ ，过点 P 做 ,垂足为 E
∴ ∵PA 与底面 ABCD 所成的角为 ，∴
,...............................................................6 分
又 ，设 ,则
过 F 做 FE 垂直于 AB,垂足为 F,则 AF=
如图所示，以 A 为坐标原点， 为 x,y 轴的正方向建立空间直角坐标系
..........8 分
设面 法向量为 ，
22log 1 2 1n nb a n= + = +
( )2nT n n= +
( )
1 1 1 1 1
2 2 2kT k k k k
= = − + +
1
1 1 1 1 1 1 1 1 11 ...2 3 2 4 1 1 2
n
k kT n n n n=
= − + − + + − + − − + +
∑
3 1 1 1
4 2 1 2n n
= − + + +
02
1
1
1 >+++ nn 4
31
1
4
x
xm xe
+< + 0x >
4( ) x
xh x x e
+= +
2
( 4) 3 3( ) 1 1
x x x
x x x
e x e x e xh x e e e
− + − − − −′ = + = + =
( ) 3,xs x e x= − − ( ) 1xs x e′ = − 0> 0x >
( )s x (0, )+∞ 05.44817.42
9)2
3( 2
3
−−≈−−= es )3
5,2
3(0 ∈x 0( ) 0s x =
0(0, )x x∈ ( ) 0s x < 0)( 0)( >′ xh ( )h x
0(0, )x 0( , )x +∞
0
0
min 0 0
4( ) ( ) x
xh x h x x e
+= = +
0 0
0 0 0( ) 0, 3 0, 3.x xs x e x e x= − − = ∴ = +
0
0 0
min 0 0 0 0
0 0
4 4 1( ) ( ) 13 3x
x xh x h x x x xx xe
+ += = + = + = + ++ + )3
5,2
3(0 ∈x
3
11)( +++=
xxxg )3
5,2
3(∈x 0)3(
11)( 2
>+−=′
xxg )(xg )3
5,2
3(
)3
5()()2
3( gxgg 16,则 ...........................11 分
综上可知， 最小值为 1，此时直线 的方程为 ......................................12 分
22.解（1）曲线 C 的普通方程为 ...............................................2 分
因为 ,所以
所以直线 l 的直角坐标方程为 ...................................4 分
（2）点 P 的坐标为（4,0）
设直线 m 的参数方程为 （t 为参数， 为倾斜角）..........6 分
联立直线 m 与曲线 C 的方程得：
设 A、B 对应的参数分别为 ，则
所以 ...................................................8 分
.................................................................................10 分
23.解：（1）当 时， ....................2 分
2
2
2
42
22
2
2
11
)43(
4
1)43(
4
1
14
43
k
k
kk
k
kk
k
MN
TF
+
+
=+
+=
+
+=
1,11 2
>=+ ttk
6194
1 ++=
ttMN
TF
0)(,1,19)(,619)( 2
>′∴>−=′++= tftttftttf
16194
1 >++=
ttMN
TF
| |
| |
TF
MN l 1x =
622 =+ yx
2)3cos( =+ πθρ 04sin3cos =−− θρθρ
043 =−− yx
=
+=
θ
θ
sin
cos4
ty
tx θ
010cos82 =++ θtt
2,1 tt
>−=∆
=
−=+
040cos64
10
cos8
2
21
21
θ
θ
tt
tt
34cos82121 ==+=+=+ θttttPBPA
6
5
6
0,2
3cos
ππ
θ
或的倾斜角为故直线
且满足得
m
>∆±=
1a = − ( )
2, 1,
1 1 2 , 1 1,
2, 1.
x
f x x x x x
x
− ≤ −
= + − − = − <
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