福建省泉州学科联盟2020届高三数学（理）考前冲刺适应性模拟试题（Word版含解析）

2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 1 页（共 17 页） 准考证号________________ 姓名________________ （在此卷上答题无效） 保密★启用前 泉州中学数学学科联盟 2020 届高三考前冲刺适应性模拟卷 理 科 数 学 本试卷共 23 题，满分 150 分，共 5 页．考试用时 120 分钟． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答 题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答 案使用 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．已知 ，其中 是实数， 是虚数单位，则复平面内 对应的点在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合 ， ，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 3．记等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则 A． B． C． D． 4．2019 年，泉州市区的房价依旧是市民关心的话题．总体来说， 二手房房价有所下降；相比二手房而言，新房市场依然强劲， 价格持续升高．已知销售人员主要靠售房提成领取工资．现 统计泉州市某新房销售人员 2019 年一年的工资情况的结果 如图所示，则下列说法正确的是 A．2019 年该销售人员月工资的中位数为 B．2019 年该销售人员 8 月份的工资增长率最高 5.0 ( i) i ia b+ ⋅ = + ,a b i iz a b= + 2{ | 0}A x x x= − > { }1,2,3B = { }2,3A B = A B B= { | 1}A B x x= ≥ A B A= { }na n nS 6 32 27a a+ = 5 42 29a a+ = 5S = 45 35 25 15 8.652020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 2 页（共 17 页） C．2019 年该销售人员第一季度月工资的方差小于第二季度月工资的方差 D．2019 年该销售人员第一季度月工资的平均数大于第四季度月工资的平均数 5．若 ，则 A． B． C． D． 6．执行如图所示的程序框图若输入 ，则输出的 的值为 A． B． C． D． 7．定义在 上的函数 满足 ，且在 上单调递增．若 ，则不等式 的解集为 A． B． C． D． 8．直线 交椭圆 于 两点，若 ，则 的值为 A． B． C． D． 9．法国的数学家费马（PierredeFermat）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当整数 时，找不到满足 的正整数解．该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理．费 马只是留下这个叙述并且说他已经发现这个定理的证明妙法，只是书页的空白处不够无法写下．费马 也因此为数学界留下了一个千古的难题，历经数代数学家们的努力，这个难题直到 1993 年才由我国 的数学家毛桂成完美解决，最终证明了费马大定理的正确性．现任取 ，则等式 成立的概率为（） A． B． C． D． 10．已知函数 ，若 ，且 在 至少有 个极 值点，则 的最小值为 A． B． C． D． 11． 已知双 曲线 的左 、右焦 点分别 为 ， 为坐标 原点． 若点 在 上， ， 0c b a> > > b c c ba b a b> 2ln ln lnb a c< + c ca ba b − > − log loga bc c> 1 2n = n 3 2 2 5 2 3 R ( )f x ( ) ( )f x f x− = − ( )0,+∞ ( )3 2f = 6( )f x x > ( )3,0− ( )3,+∞ ( ) ( )3,0 0,3−  ( ) ( )3,0 3,− +∞ 2y x= + 2 2 14 x y m + = ,A B 3 2AB = m 16 12 2 3 3 2n > n n nx y z+ = { }, , , 1,2,3,4,5x y z n∈ n n nx y z+ = 1 12 12 625 14 625 7 625 ( ) sin 3 cosf x x xω ω= − ( 0)ω > π(0) ( ) 03f f+ = ( )f x ），（ 30 π 6 ω 18 19 20 21 E 1 2,F F O P E 2OP OQ= − 2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 3 页（共 17 页） ， ，则 的离心率为 A． B． C． D． 12．已知函数 ，方程 有 3 个不同的解 ，现给出下述结论： ① ； ② ； ③ 的极小值 ． 则其中正确的结论的有 A．①③ B．①②③ C． ②③ D．② 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置． 13．设 满足约束条件 则 的取值范围是 ． 14．已知向量 满足 ， ，则 的最小值为 ． 15．已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， ， ， 过球心 ．若球 的表面积为 ，则此三棱锥的体积为 ． 16．记各项均为正数的数列 的前 项和为 ．若 ， （ ），则 的最 小值为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（12 分） 已知四边形 中， ， ， ． （1）求 的面积； （2）若 是等边三角形，求 ． 2 2PF OF= 1 1 3 2QF OF= E 2 2 5 3 1+ ( ) ( 1)lnf x x x tx= + + ( )f x t= 1 2 3, ,x x x 2t ≤ − 1 2 3 1x x x = ( )f x 0( ) 2f x < − ,x y 2 0, 2 4 0, 4 2 0, x y x y x y + − ≥  + − ≤  + − ≥ 2z x y= − ,a b 2=a ⋅ =a b b −a b P ABC− O 2 3AB AC= = 4BC = PB O O 36π { }na n nS 3 2 4a a= + 1 1= 1 n n n tS SS t - ++ + 2n≥ 5a ABCD 7AC = 5BC = 120ABC∠ =  ABC△ ACD△ BD2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 4 页（共 17 页） 18．（12 分） 如图，在六棱锥 中，底面 是边长为 的正六边形， ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ，求二面角 的余弦值． 19．（12 分） 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与 相交于 两点． （1）以 为直径的圆与 轴交 两点，若 ，求 ； （ 2 ） 点 在 上 ， 过 点 且 垂 直 于 轴 的 直 线 与 分 别 相 交 于 两 点 ， 证 明 ： ． 20．（12 分） 2019 年泉州市农村电商发展迅猛，成为创新农产品交易方式、增加农民收入、引导农业供给侧结构性 改革、促进乡村振兴的重要力量，成为乡村振兴的新引擎。2019 年大学毕业的李想，选择回到家乡泉 州自主创业，他在网上开了一家水果网店． 2019 年双十一期间，为了增加水果销量，李想设计了下面两种促销方案： 方案一：购买金额每满 120 元，即可抽奖一次，中奖可获得 20 元，每次中奖的概率为 （ ），假设每次抽奖相互独立． 方案二：购买金额不低于 180 元时，即可优惠 元，并在优惠后的基础上打九折． （1）在促销方案一中，设每 10 个抽奖人次中恰有 6 人次中奖的概率为 ，求 的最大值点 ； （2）若促销方案二中，李想每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的八折，求 的最大值； （3）以（1）中确定的 作为 的值，且当 取最大值时，若某位顾客一次性购买了 360 元，则该 顾客应选择哪种促销方案？请说明理由． P ABCDEF− ABCDEF 4 2 7PA PC= = PAC ⊥ PBE 2 5PB = B PA F− − 2: 4E y x= F l F E ,A B AB y ,C D 10AB = CD P l F x ,PA PB ,M N =MF NF p 0 1p< < x ( )f p ( )f p 0p x 0p p x A B C D E F P2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 5 页（共 17 页） 21．（12 分） （1）求函数 在 的最大值； （2）证明：函数 在 有两个极值点 ，且 ． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．［选修 4—4：坐标系与参数方程］（10 分） 直角坐标系 中，曲线 的方程为 ．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，点 ，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求 的极坐标方程与 的直角坐标方程； （2）设直线 过点 交 于点 （异于原点），射线 分别交 于点 ，求证： 为定值． 23．［选修 4—5：不等式选讲］（10 分） 已知函数 ， ， ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若正数 满足 ，且 ，证明： ． ( ) sin xf x x e−= + 3[ ,2 ]2 π π 1( ) sin2 xg x x x e−= − + (0,2 )π 1 2,x x 1 2 1( ) ( ) 2g x g x+ > π − xOy 1C 2 2 116 4 x y+ = O x (1, )6Q π 2C 2cos( )6 ρ θ π= − 1C 2C l Q 2C ,M N ,OM ON 1C ,A B 2 2 1 1 | | | |OA OB + ( ) 2f x x x= + ( ) 1 4g x k x= + + 0k ＞ 1k = ( ) ( )f x g x＞ , ,a b c a b c k+ + = ( ) ( ) 14g x g x+ − ≥ ( ) ( ) ( ) 6f a f b f c+ + ≥2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 6 页（共 17 页） 泉州数学学科联盟 2020 届高三考前冲刺适应性模拟卷 理科数学试题答案及评分参考 评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制定相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的 解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、单项选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的． 1．D 2．A 3．B 4．C 5．A 6．C 7．D 8．B 9．B 10．C 11．D 12．C 1．【解析】由 ，得 ，由复数相等的意义可得 ，所以 ， 故选 D． 2．【解析】由 ，得 或 ，所以 ，故选 A． 3. 【解法一】设等差数列 的公差为 ． 由已知得 解得 ，所以 ．故选 B． 【解法二】设等差数列 的公差为 ．则 ， 又 ，所以 ，则 ．故选 B． 4．【解析】2019 年该销售员的月工资由少到多依次排列为 1．3、1．9、2．3、2．5、3．5、4．2、4．3、 4．3、5．6、8．1、9．2，中位数为 ，故 A 错； 由图像得，从 5 月份到 6 月份的线段斜率最大，故 6 月份工资增长率最高，B 错； 由图像得，第一季度的月工资比第二季度的月工资波动小，故方差小，C 正确； 第一季度的月工资和为 10．3，第四季度的月工资和为 11．8， D 错，故选 C． 5．【解析】选项 A 中，由于 ，所以 成立． ( i) i ia b+ ⋅ = + 1 i ia b− + = + 1, 1a b= = − 1 iz = − 2 0x x− > 1x > 0x < { }2,3A B = { }na d ( ) ( ) 1 1 1 1 5 2 2 27, 6 2 3 29, a d a d a d a d + + + = + + + = 1 3, 2, a d =  = 5 15 10 35S a d= + = { }na d d = 5 4( 2 )a a+ 6 3( 2 )a a− + 29= 27 2− = 6 3 32 3 3 27a a a d+ = + = 3 7a = 1 5 5 3 5( ) 5 352 a aS a += = = 4.2 4.3 4.252 + = ( ) 1 b c b c c b b c c b a b aa ba b b − − −= = > b c c ba b a b>2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 7 页（共 17 页） 选项 B 中， 与 大小不能确定，故 B 错误； 选项 C 中，由于 ，故 A 错误，或构造函数 在 单调递增，所以 ； 选项 D 中，让 ，则 ，故 D 错误．故选 A． 6．【解析】程序的运行过程为 当 时， ； 时， ，此时输出 ，故选 C． 7．【解析】由条件可得 为奇函数，所以 ． 利用如下特殊情形的图像， 可得 的解集为 ．故选 D． 8．【解法一】由于椭圆的上顶点为 ，直线 也过 ， 所以 为直线与椭圆的一个交点． 设 ，则 = , 所以 ， 或 （不合，舍去）， 把 代入椭圆方程得： ，故 ．故选 B． 【解法二】由 得 ，所以 ， 又 ， 所以 = ， 2b ac ( ) ( )(1 ) 0c c ca b a ba b ab − − − = − + < ( ) cf x x x = − (0, )+∞ ( ) ( )f a f b< 1c = log log 0a bc c= = n 1 2 1 3 2 2 5 2 a 5 2 2 3 2 1 1 2 b 1ln 2 0 3ln 2 ln 2 5ln 2 2n = 1 ln 2> 5 2n = 1 5ln2 2 < 5 2n = ( )f x ( 3) (3) 2f f− = − = − 6( )f x x > ( ) ( )3,0 3,− +∞ (0,2) 2y x= + (0,2) (0,2)A ( , )B BB x y 2 2( ) ( )B A B AAB x x y y= − + − 21 B Ak x x= + − 2 Bx= 3 2 3Bx = ± ( 3, 1)B − − (3,5)B ( 3, 1)B − − 9 1 14m + = 12m = 2 2 2 14 y x x y m = + + = ， ， 2(4 ) 4 0m x mx+ + = 40, 4A B mx x m −= = + 2 2( ) ( )B A B AAB x x y y= − + − 21 B Ak x x= + − 2 Bx= 42 4 m m+ 3 22020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 8 页（共 17 页） 因为 ，所以 ， ．故选 B． 9．【解析】任取 ，则基本事件总数为 ， 当 时，由费马大定理知等式 不成立， 当 时， 可取 或 ，共 种情况， 当 时，等式即为 ， 可取 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种情况， 综上，使等式成立的基本事件个数为 ，故等式成立的概率为 ，选 B． 10．【解析】 ，由 ， 可得 ，即 或 ， 化简得， 或 ， 由于 ，即 ， 所以要使 在 至少有 个极值点，则只需 ，即 ． 若 时，则 ，即 ． 若 时，则 ， ． 所以 的最小值为 ．故选 C． 11．【解析】作 中点 ，则 关于原点对称，所以 ， 由 ， ，易得 为正三角形. 中， ， ，易得 。 所以 的离心率 ．故选 D． 12．【解析】由 ， 所以 在 递减， 递增． 若 ，即 时， ，此时不符合题意，即①错误． 0m > 4 34 m m =+ 12m = { }, , , 1,2,3,4,5x y z n∈ 45 625= 2n > n n nx y z+ = 2n = ( , , )x y z (3,4,5) (4,3,5) 2 1n = x y z+ = ( , , )x y z (1,1,2) (1,2,3) (2,1,3) (2,2,4) (1,3,4) (3,1,4) (1,4,5) (4,1,5) (2,3,5) (3,2,5) 10 12 12 625 ( ) 2sin( )3f x x πω= − π(0) ( ) 03f f+ = 2sin( ) 2sin 2sin( )3 3 3 3 π π π πω− − = = − 23 3 3 k π π πω π= − + 23 k π ω π π= + 2 23 3 k π πω π= − 23 k π ω π π= + 0 3x π∈（， ） ( , )3 3 3 3x π π π πω ω− ∈ − − ( )f x ），（ 30 π 6 11 3 3 2 π πω π− > 35 3 6 π πω > 2 23 3 k π πω π= − min 20( )3 3 π πω = min 20ω = 23 k π ω π π= + min( ) 73 π ω π= min 21ω = ω 20 OP M ,M Q 2 1 3 2MF QF c= = 2 2PF OF c= = 2 3 2MF c= 2OPF△ 1OPF△ 1OP OF c= = 1 2 3POF π∠ = 1 3PF c= E 1 2 2 2 2e 3 12 3 c c c c a a PF PF c c = = = = = +− − 2 2 1 1 1 1( ) ln 1 , ( ) xf x x t f xx x x x −′ ′′= + + + = − = ( )f x′ (0,1) (1, )+∞ (1) 2 0f t′ = + ≥ 2t ≥ − ( ) (1) 0f x f′ ′≥ ≥2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 9 页（共 17 页） 若 时， ，又 时， ； 时， ， 所以 有两个零点 ，不妨 ，则 ． 当 时， ；当 时， ；当 时， ． 因为 时， ； ； 时， ， 所以此时 有三个零点，即为 ，不妨设 ，则 ． 因为 ，则 ， 所以 ，从而 ，即②正确． 由上面可知 ，所以③正确． 故选 C． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在答题卡的相应位置． 13． 14． 15． 16． 13．【解析】如图，阴影部分为可行域，解得 ， 所以 ，故 的取值范围为 ． 14．【解析】 ，所以 的最小值为 ． 15．【解析】如图，设 的外心为 ，外接圆半径为 ． 中， ， ，所以 ， ． 中，由勾股定理得 ，解得 ． 因为球 的表面积为 ，可求得球 的半径 ，所以 ． 2t < − (1) 0f ′ < 0x → ( )f x′ → +∞ x → +∞ ( )f x′ → +∞ ( )f x′ ,a b a b< 0 1a b< < < (0, )x a∈ ( ) 0f x′ > ( , )x a b∈ ( ) 0f x′ < ( , )x b∈ +∞ ( ) 0f x′ > 0x → ( )f x → −∞ (1)f t= x → +∞ ( )f x → +∞ ( )f x t= 1 2 3, ,x x x 1 2 3x x x< < 2 1x = 3 3 33 ( 1) n( )lf tx x txx += + = 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( 1)ln1 1 1( ( 1)ln 1) x x t txf tx x x x x tt − +=+= + + = = 1 3 1x x = 1 2 3 1x x x = 0( ) ( ) (1) 2f x f b f t= < = < − [ 2,13]− 3 8 27 (0,2), (2,0), (6, 1)A B C − 2 [ 2,13]z x y= − ∈ − z [ 2,13]− −a b 2 2 2= + − ⋅a b a b 2 2 4= − +b b ( )21 3 3= − + ≥b −a b 3 ABC△ 1O r ABC△ 2 3AB AC= = 4BC = 2BD = 2 2AD = 1BDO△ ( )22 22 2 2r r= − + 3 2 2r = O 36π O 3R = 2 2 1 3 2 2OO R r= − =2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 10 页（共 17 页） 又 过球心 ，因此点 到平面 的距离为 ． 因为 ， 所以 ． 16.【解析】因为 ，所以 ，即 ． 所以数列 是从第二项起，公比为 的等比数列．因为 ，所以 ， ．因此 ． 令 ，则 ， 所以当 时， ；当 时， ． 故 ，即 的最小值为 ． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17～21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，查 函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分 12 分． 解：（1） 中， ，.............................................................1 分 化简得 ，解得 或 （舍去）；.....................................................3 分 所以 的面积 ．.....................................5 分 PB O P ABC 12 3 2OO = 1 4 2 2 4 22ABCS = × × =△ 1 1 4 2 3 2 83 3P ABC ABCV S h− = ⋅ ⋅ = × × =△ 1 1= 1 n n n tS SS t - ++ + ( )1 1=n n n nt S S S S- +- - ( )1 2n na ta n+ = ≥ { }na t 3 2 4a a= + 2 2 4ta a= + 2 4 1a t = − 3 3 5 2 4 1 ta a t t= × = - ( ) 34 1 tf t t= - ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 12 1 4 4 2 3 1 1 t t t t tf t t t - - -¢ = = - - 30, 2t  ∈   ( ) 0f t′ < 3 2t  ∈ + ∞  ， ( ) 0f t′ > ( ) min 3 272f t f æ öç ÷= =ç ÷è ø 5a 27 ABC△ 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC= + − ⋅ ⋅ ∠ 2 5 24 0AB AB+ − = 3AB = 8AB = − ABC△ 1 sin2S BA BC ABC= ⋅ ⋅ ∠ 1 33 52 2 = × × × 15 3 4 = D O1 O P CB A2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 11 页（共 17 页） （2） 中， ，所以 ，.........................7 分 ． ........................................................................................................................................8 分 ．............................................................................................................................................................10 分 中， ， 所以 ． ..........................................................................................................................................12 分 18．【命题意图】本小题考查面面垂直的判定、二面角的求解等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理 及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与应用 性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注．满分 12 分． 解：（1）设 ，连结 ． 在正六边形 中，易得 ， ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 又因为 ，所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 又 ，所以 平面 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 又 平面 ，所以平面 平面 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）在正六边形 中， ，所以 ， ． 又因为 ，所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 因为 ，所以 ，即 ， 所以 、 、 两两互相垂直．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 以 、 、 所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐 标系 （如图所示）． 则 ， ， ， ， ， ， ．...8 分 设平面 的一个法向量为 ． 由 得 令 ，解得 ， ． 所以 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 设平面 的一个法向量为 ． ABC△ sin sin BC AC BAC ABC =∠ ∠ sin 5 3sin 14 BC ABCBAC AC ⋅ ∠∠ = = 11cos 14BAC∠ = cos cos 3BAD BAC π ∠ = ∠ +   1 3cos sin2 2BAC BAC= ∠ − ∠ 1 11 3 5 3 2 14 2 14 = × + × 13 14 = BAD△ 2 2 2 2 cosBD AB AD AB AD BAD= + − ⋅ ⋅ ∠ 2 2 133 7 2 3 7 14 = + − × × × 19= 19BD = AC BE O= PO ABCDEF AC BE⊥ AO CO= PA PC= AC PO⊥ BE PO O= AC ⊥ PBE AC ⊂ PAC PAC ⊥ PBE ABCDEF 4AB BC= = 2 3AO CO= = 2BO = 2 7PA PC= = 4PO = 2 5PB = 2 2 2PB BO PO= + PO BO⊥ AC BE PO AC BE PO x y z O xyz− ( 2 3,0,0)A − (0, 2,0)B − ( 2 3,4,0)F − (0,0,4)P (2 3, 2,0)AB = − (2 3,0,4)AP = (0,4,0)AF = ABP 1 1 1( )m x ,y ,z= 0, 0, AB m AP m  ⋅ = ⋅ =     1 1 1 1 2 3 2 0, 2 3 4 0, x y x z  − = + = 1 2=x 1 2 3y = 1 3z = − (2,2 3, 3)m = − APF 2 2 2( )=n x ,y ,z z y x O P F E DC B A2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 12 页（共 17 页） 由 得 令 ，解得 ． 所以 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 因此 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙11 分 因为二面角 的平面角为钝角， 故二面角 的余弦值为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12 分 19．【命题意图】本小题主要考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质，直线与圆、直线与抛物线的 位置关系等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查数形结合思想，函数与 方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养；体现 基础性，综合性与创新性．满分 12 分． 解：（1）设 的中点为 ， 在 上的射影分别为 ， 则 .................................................................................................2 分 ， 所以 到 轴的距离 ． 故 .....................................................................................................................................4 分 ．......................................................................................5 分 （2）当直线 斜率为 0 时，不满足题意． 设直线 ， ， ． 由 得 ， ...........................................................................................................6 分 所以 .......................................................................................................................................7 分 直线 ， 0, 0, AF n AP n  ⋅ = ⋅ =     2 2 2 4 0, 2 3 4 0, y x z = + = 2 2x = 2 3z = − (2,0, 3)n = − 7 133cos , 1919 7 m nm n m n ⋅= = = ×⋅      B PA F− − B PA F− − 133 19 − AB T , ,A B T l 1 1 1, ,A B T ( )1 1 1 1 2TT AA BB= + ( )1 2 AF BF= + 1 52 AB= = T y 1 1 4d TT= − = 2 22CD TC d= − 2 22 2 AB d  = −    2 22 5 4= − 6= AB :AB 1x my= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )1,P t− 2 4 , 1, y x x my  =  = + 2 4 4 0y my+ − = 1 2 1 2 4 , 4. y y m y y + = −  = − :PA ( )1 1 11 y ty x tx −= + ++2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 13 页（共 17 页） 令 ，得 ，即 ． ............................8 分 同理可得： ． ...................................................................................................................9 分 要证 ，即证 ， 又 ， 即证 ， ...............................................................................................................10 分 即证 ， 即证 ， 即证 …（※），..........................................................................................................11 分 又因为 所以（※）式显然成立，故 ，命题得证．.................................................................................12 分 20．【命题意图】本小题主要考查二项分布的概率、期望等基础知识；考查抽象概括能力数据处理能力、 运算求解能力、推理论证能力、创新意识；考查统计与概率思想、化归与转化思想；考查 数学运算素养、数学建模素养、数据分析素养，体现基础性、综合性、创新性与应用 性．满分 12 分． 解：（1）依题意得： ，.............................................................................................1 分 则 ， ......................................2 分 当 ；当 时， ， ............................................................3 分 故 在 时取得最大值，所以 ．.....................................................................................4 分 （2）设顾客一次购买水果的促销前总价为 ， 当 元时，有 恒成立，.........................................................................6 分 1x = 1 1 2 1 y ty tx −= ++ 1 1 2 2 y t tmy −= ++ ( ) 1 1 2 2 mt y my += + ( ) 1 1 21, 2 mt yM my +   +  ( ) 2 2 21, 2 mt yM my +   +  =MF NF ( ) ( )1 2 1 2 2 2 2 2 mt y mt y my my + +=+ + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 2 02 2 1 1 1 1 mt y mt y mt y y mt my my x x x x + + + − +⋅ = =   时 3,15p  ∈   ( ) 0f p′ < ( )f p 3 5p = 3 5p = y 180y ≥ ( ) 90% 80%y x y− × ≥ ×2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 14 页（共 17 页） 即 恒成立，所以 ，故 的最大值为 20 元． ......................................8 分 （3）若参加活动一，顾客可得减负金额为 元． ......................................9 分 若参加活动二，顾客可抽奖三次．设 X 表示顾客在三次抽奖中中奖的次数， 由于顾客每次抽奖的结果相互独立，则 ， .....................................................................10 分 所以 ． 由于顾客每中一次可获得 20 元现金奖励， 因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为 元， ..........................................11 分 又因为 ，所以顾客应该选择活动一．.......................................................................................12 分 21．【命题意图】本题以三角函数作为问题背景，考查导数与函数单调性的关系、函数的零点、函数的极 值等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思 想、化归与转化思想、分类与整合思想等思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等 核心素养，体现综合性、应用性与创新性．满分 12 分． 解法一：（1） ，则 在 上单调递增， ..................................................................1 分 又 ， 所以 在 有唯一的零点 ． ................................................................................................... 2 分 当 时， ； 时， ． .....................................................................3 分 又 ， 所以 在 的最大值为 ．....................................................................................................4 分 （2）证法一： ， 则当 时， 单调递增，又 ， 所以 在 有唯一的零点 ， 此时， 时， ； 时， ， 所以 是极小值点，不妨让 ． .......................................................................................................6 分 当 时， ，所以 ； ..................................7 分 ( )9 8y x y− ≥ min 209 yx  ≤ =   x ( )360 360 20 90% 54− − × = 3~ 3, 5X B     ( ) 33 1.85E X np= = × = 1.8 20 36× = 36 54< ( ) cos xf x x e−′ = − ( )f x′ 3[ ,2 ]2 π π 3( ) 0, (2 ) 02f f π π′ ′< > ( )f x′ 3( ,2 )2 π π t 3( , )2x t π∈ ( ) 0f x′ < 0( ,2 )x x π∈ ( ) 0f x′ > 3 223( ) 1 0 (2 )2f e f e π ππ π− −= − + < < = ( )f x 3[ ,2 ]2 π π 2e π− 1( ) cos2 xg x x e−′ = − − (0, )2x π∈ ( )g x′ 4 21 2 1( ) 0, ( ) 04 2 2 2 2g e g e π ππ π− −′ ′= − − < = − > ( )g x′ (0, )2x π∈ 0 ( , )4 2x π π∈ 0(0, )x x∈ ( ) 0g x′ < 0( , )2x x π∈ ( ) 0g x′ > 0x 0 1x x= 3( , )2 2x π π∈ cos 0x < 21 1 1( ) cos 02 2 2 x xg x x e e e π−− −′ = − − > − > − >2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 15 页（共 17 页） 当 ， ． 由（1）知， 有唯一的零点 ， 则 时， ，即 单调递减； 时， ，即 单调递增 又 ， 所以 在 有唯一的零点 ， 此时 时， ； 时， ，所以 是极大值点，即 ， 所以 在 有两个极值点 ，其中 ， ， ..........................................9 分 且 ，由于 ，所以 ． 因为 ， ， 所以 ，即 ．...............................................................................................................10 分 又 ，所以 ，同理 ， 所以 ．.........................................................................12 分 ．……………… 12 分 解法二：（1）同解法一． （2）前面同证法一． 由 ． ..............................................................................10 分 ． 令 ，则 ， 所以 ， .......................................................11 分 ． 令 ， 则 ． 3( ,2 )2x π π∈ ( ) sin ( )xg x x e f x−′′ = + = ( )g x′′ 1 3( ,2 )2t π π∈ 1 3( , )2x t π∈ ( ) 0g x′′ < ( )g x′ 1( ,2 )x t π∈ ( ) 0g x′′ > ( )g x′ 7 243 7 1 2 1( ) 0, ( ) 0, (2 ) 02 4 2 2 2g g e g e π ππ π π− −′ ′ ′> = − − < = − − < ( )g x′ 3( ,2 )2x π π∈ 3 3 7( , )2 4x π π∈ 3 3( , )2x x π∈ ( ) 0g x′ > 3( ,2 )x x π∈ ( ) 0g x′ < 3x 3 2x x= ( )g x (0,2 )π 1 2,x x 1 ( , )4 2x π π∈ 2 3 7( , )2 4x π π∈ 1 2 1 2 1 cos2 1 cos2 x x x e x e − −  − =  − = 1 2x xe e− −> 1 2 2cos cos cos(2 )x x xπ< = − 1 ( , )4 2x π π∈ 22 ( , )4 2x π ππ − ∈ 1 22x xπ> − 1 2 2x x π+ > 1 ( , )4 2x π π∈ 1 1 1sin cos 2 sin( ) 24x x x π+ = + < 2 2 2sin cos 2 sin( ) 04x x x π+ = + < 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1( ) ( ) sin sin2 2 x xg x g x x x e x x e− −+ = − + + − + 1 2 1 1 2 2 1 1( ) (sin cos ) (sin cos ) 1 2 12 2x x x x x x π π= + − + − + + > − + > − 1 2 1 1 2 2 1 1cos 3 52 2 ( , ), ( , )1 1 3 2 2 3cos2 2 x x e x x x e x π π π π − −  − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3( ) sin sin ( ) ( )2 2 3 6 2 xg x x x e x x t x t π π−= − + > − = > = − 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1( ) sin sin cos2 2 2 xg x x x e x x x−= − + = + − − 1 1 3 5( ) sin cos , ( , )2 2 2 3h x x x x x π π= + − − ∈ 1 1 1 5( ) cos sin sin sin 02 2 2 3h x x x x π′ = − + < + < + =2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 16 页（共 17 页） 所以 ， 所以 ．...................................................................................12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．选修 ：坐标系与参数方程 【命题意图】本小题主要考查直角坐标方程和极坐标方程，极坐标方程和直角坐标方程的互化，极径、 极角以及应用极坐标下曲线方程来解决问题的方法；考查推理论证能力，运算求解能力； 考查化归与转化思想，函数与方程思想，数形结合思想；体现基础性与综合性，导向对 发展逻辑推理，直观想象，数学运算核心素养的关注．满分 10 分． 解：（1）由 ，得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 整理得 的极坐标方程为 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 由 两边同时乘以 ，得 ， 故 的直角坐标方程为 ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）依题意可知点 为圆 的圆心，故 为圆 的直径，故 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 不妨设点 的极坐标为 ，点 的极坐标为 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 则 ， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 所以 为定值．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 23．选修 ：不等式选讲 【命题意图】本小题主要考查绝对值不等式、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，推理论证 能力；考查分类与整合思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想；体现基 础性和综合性；导向对发展数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注．满分 10 分． 解：（1）由题意得，原不等式等价于 ， 当 时，原不等式可化为 ，即 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1 分 4 5− 2 2 5 5 3( ) ( ) ( )3 6 2g x h x h π π= > = + 1 2 3 5 3 1( ) ( ) 6 2 6 2 2g x g x π π π π+ > − + + = > − 4 4− cos sinx yρ θ ρ θ= =， ( ) ( )2 2cos sin 116 4 ρ θ ρ θ+ = 1C 2 2 16 1 3sin ρ θ= + 3cos sinρ θ θ= + ρ 2 3 cos sinρ ρ θ ρ θ= + 2C 2 2 3 0x y x y+ − − = Q 2C MN 2C 90oAOB∠ = A ( )1,ρ θ B ( )2 , 90oρ θ + 2 1 2 16 1 3sin ρ θ= + ( )2 2 22 16 16 1 3cos1 3sin 90o ρ θθ = = ++ + 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 3sin 1 3cos 5 | | | | 16 16 16OA OB θ θ ρ ρ + ++ = + = + = 2 1 4x x x+ + +＞ 1x < − 2 1 4x x x+ − − +＞ 2 2 3 0x x+ − ＞2020 届高三数学考前冲刺适应性模拟卷（理科）试题　　第 17 页（共 17 页） 解得 或 ，故 ；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2 分 当 时，原不等式可化为 ，即 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3 分 解得 或 ，故 ；∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4 分 综上所述不等式 的解集为 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5 分 （2）因为 ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6 分 由题意 ，可得 ， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙7 分 ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8 分 又因为 ， ， ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9 分 故 ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10 分 1x＞ 3x −＜ 3x −＜ 1x ≥ − 2 1 4x x x+ + +＞ 2 5x ＞ 5x＞ 5x −＜ 5x＞ ( ) ( )f x g x＞ ( ) ( ), 3 5,−∞ − +∞ ( ) ( ) ( )1 1 8g x g x k x x+ − = + + − + ( )1 1 8 2 8k x x k+ − − + = +≥ ( ) ( ) 14g x g x+ − ≥ 3k ≥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2f a f b f c a a b b c c+ + = + + + + + ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 1 1 3a b c a b c= + + + + + + + + − 2 1 2a a+ ≥ 2 1 2b b+ ≥ 2 1 2c c+ ≥ ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 6f a f b f c a b c k+ + + + − −≥ = ≥